高中数学 第二章 函数 2_2_2 二次函数的性质与图象课件 新人教b版必修11

2 2 2二次函数的性质与图象 第二章 2 2一次函数和二次函数 学习目标1 掌握二次函数的概念 能用 描点法 作二次函数的图象 2 掌握二次函数解析式的基本形式 会求二次函数图象的对称轴及顶点坐标 3 会根据图象研究二次函数的性质 4 会求二次函数在给定区间上的最值 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一二次函数的概念 结合一次函数的特征 请给出二次函数的定义 定义域 答案 答案函数y ax2 bx c a 0 叫二次函数 定义域为R 1 二次函数的定义函数叫做二次函数 定义域为R 2 二次函数的解析式 1 一般式 y ax2 bx c a 0 2 顶点式 y a x h 2 k 其中 h k 为顶点 3 两根式 y a x x1 x x2 其中x1 x2为方程ax2 bx c 0 a 0 的根 梳理 y ax2 bx c a 0 思考1 知识点二二次函数的图象与性质 二次函数的图象是一条抛物线 那么哪一个是影响图象的开口方向 答案 答案x2的系数a影响开口方向 思考2 二次函数的图象是轴对称图形 那么对称轴的位置与哪些量有关 对称轴方程是什么 答案 答案对称轴的位置与a b两个量有关 梳理 二次函数的性质与图象 题型探究 例1画出函数f x x2 2x 3的图象 并根据图象回答下列问题 1 比较f 0 f 1 f 3 的大小 解答 类型一二次函数的图象 解f x x2 2x 3 x 1 2 4的图象如图所示 由图可知 二次函数f x 的图象对称轴为x 1且开口向下 且 0 1 3 1 故f 1 f 0 f 3 2 若x1 x2 1 比较f x1 与f x2 的大小 解答 解 x1 x2 1 x1 1 x2 1 f x1 f x2 3 由图象判断x为何值时 y 0 y 0 y 0 解答 解由图可知 当x 3或x 1时 y 0 当x 1或x 3时 y 0 当 1 x 3时 y 0 观察图象主要是把握其本质特征 开口方向决定a的符号 在y轴上的交点决定c的符号 值 对称轴的位置决定的符号 另外 还要注意与x轴的交点 函数的单调性等 从而解决其他问题 反思与感悟 解由y 2x2 4x 6 2 x 1 2 8 图象如图 由图象可知 函数图象开口向上 对称轴是直线x 1 顶点坐标是 1 8 跟踪训练1已知二次函数y 2x2 4x 6 1 画出该函数的图象 并指明此函数图象的开口方向 对称轴及顶点坐标 解答 解由图象可知 x 3 或x 1时 y 0 x 1或x 3时 y 0 1 x 3时 y 0 2 由图象判断x为何值时 y 0 y 0 y 0 解答 例2已知函数f x x2 ax的单调增区间为 2 1 求参数a的值 类型二二次函数的对称性与单调性 解答 又f x 的单调增区间为 2 解对称轴方程为x 2 2 求对称轴方程 解答 3 求在R上的最小值 解f x min f 2 4 引申探究1 若f x x2 ax在 2 上单调递增 则a的取值范围为 4 答案 解析 解 f x x2 ax在 1 3 上单调 2 若f x x2 ax在 1 3 上单调 求a的范围 解答 a 2或a 6 即a 2 6 1 利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法已知函数的单调性 求函数解析式中参数的范围 是函数单调性的逆向思维问题 解答此类问题的关键在于借助于函数的对称轴 通过集合间的关系来建立变量间的关系 2 比较二次函数函数值的大小的方法 若抛物线开口向上 则离对称轴越近 函数值越小 若抛物线开口向下 则离对称轴越近 函数值越大 反思与感悟 跟踪训练2已知函数y ax2 a 1 x 在 1 上是减函数 求a的范围 解答 a 0 综上所述a 0 例3求二次函数f x x2 2ax 2在 2 4 上的最小值 类型三二次函数在给定区间上的最值的求法 解答 解 f x x2 2ax 2的对称轴为x a且开口向上 当a 2时 f x 在 2 4 上为增函数 f x min f 2 6 4a 当2 a 4时 f x min f a 2 a2 当a 4时 f x 在 2 4 上为减函数 f x min f 4 18 8a 引申探究1 若求f x x2 2ax 2在 2 4 上的最大值 如何分类 解答 解区间 2 4 的中点为3 f x x2 2ax 2的对称轴为x a且开口向上 当a 3时 f x max f 4 18 8a 当a 3时 f x max f 2 6 4a 2 若f x x2 2ax 2在 2 4 上的最大值为10 求a的值 解答 解由探究1知 当a 3时 f x max 18 8a 10 a 1 当a 3时 f x max 6 4a 10 a 1 舍 综上所述 a 1 3 若f x x2 2ax 2 当x 2 4 时 f x a恒成立 求a的取值范围 解答 解由探究1知 当a 3时 f x max 18 8a a恒成立 a 2 即a 2 3 当a 3时 f x max 6 4a a a a 3 综上所述 a 2 二次函数最值问题的解题策略 1 确定对称轴 抛物线的开口方向 作图 2 在图象上标出定义域的位置 3 观察单调性写出最值 反思与感悟 跟踪训练3已知函数f x x2 2ax 2a 1 若函数f x 没有零点 求实数a的取值范围 解答 解 2a 2 8a 0 解得0 a 2 2 若x 1 2 时 f x 2恒成立 求实数a的取值范围 解答 解f x x2 2ax 2a 对称轴为x a 当a 2时 f x min f 2 4 2a 2 解得2 a 3 当 1 a 2时 f x min f a a2 2a 2 解得1 a 2 当a 1时 f x min f 1 1 4a 2 解得a 综上所述 a的取值范围是 1 3 当堂训练 解析 解析由于y x2 2x 2 x 1 2 3 所以函数y x2 2x 2的图象的顶点坐标是 1 3 1 函数y x2 2x 2的图象的顶点坐标是A 2 2 B 1 2 C 1 3 D 1 3 答案 2 3 4 5 1 2 已知一元二次函数y x2 2x 4 则函数A 对称轴为x 1 最大值为3B 对称轴为x 1 最大值为5C 对称轴为x 1 最大值为5D 对称轴为x 1 最小值为3 解析 解析由y x2 2x 4 x 1 2 5 知对称轴为x 1 最大值为5 答案 2 3 4 5 1 解析 解析对称轴x 2 m 16即y 4x2 16x 5 当x 1时 y 4 16 5 25 3 二次函数y 4x2 mx 5的对称轴为x 2 则当x 1时 y的值为A 7B 1C 17D 25 答案 2 3 4 5 1 解析 解析由题意 得 1 解得a 2 4 若二次函数y 3x2 2 a 1 x b在区间 1 上为减少的 则A a 2B a 2C a 2D a 2 答案 2 3 4 5 1 5 函数f x x2 2x 1在 2 1 上的最大值是 最小值是 答案 解析 解析f x x2 2x 1的对称轴x 1 开口向下 f x max f 1 1 2 1 2 f x min f 2 4 4 1 7 2 3 4 5 1 2 7 规律与方法 1 画二次函数的图象 抓住抛物线的特征 三点一线一开口 三点 中有一个点是顶点 另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点 常取与x轴的交点 一线 是