高中数学 第三章 不等式 3_4 不等式的实际应用课件 新人教b版必修5

第三章 不等式 学习目标 1 能根据实际情境建立不等式模型 并能用相关知识作出解答 2 掌握一元二次不等式与均值不等式在实际问题中的应用 3 4不等式的实际应用 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 下列各命题正确的有 1 x 1 2 x 0的解集是 x 1 x 2 2 x20的解集是 x x3 5 不等式ax2 bx c 0的解集是全体实数的条件是a 0且 b2 4ac 0 解析对于 1 x 1 2 x 0 x 1 x 2 0 所以解集是 x x 2或x 1 故不正确 2 3 显然正确 对于 4 0 x 1 x 3 0 所以解集是 x x3 对于 5 当a b 0且c 0也满足题意 故不正确 答案 2 3 4 预习导引 1 解不等式的应用题解有关不等式的应用题 首先要选用合适的字母表示题中的 再由题中给出的 列出关于未知数的 然后解所列出的不等式 组 最后再结合问题的实际意义写出答案 不等式 组 未知数 不等量关系 2 一元二次不等式恒成立问题 1 转化为一元二次不等式解集为R的情况 即ax2 bx c 0 a 0 恒成立 ax2 bx c 0 a 0 恒成立 2 分离参数 将恒成立问题转化为求最值问题 即 k f x 恒成立 k f x 恒成立 a 0 0 a 0 0 k f x min k f x max 要点一利用比较法解决实际生活问题例1某商品计划两次提价 有甲 乙 丙三种方案如下 其中p q 0 经过两次提价后 哪种方案提价幅度大 解设商品原价为a 设按甲 乙 丙三种方案两次提价后价格分别为N甲 N乙 N丙 则N甲 a 1 p 1 q N乙 a 1 q 1 p N丙 a 1 p q 1 p q a 1 2 显然甲 乙两种方案最终价格是一致的 因此 只需比较a 1 2与a 1 p 1 q 的大小 N丙 N甲 按丙方案提价比甲 乙方案提价幅度大 规律方法一般说来 谁优 谁劣 谁省 哪一种方案更好 涉及比较的应用题 常常作差比较得出正确结论 跟踪演练1有一批货物的成本为A元 如果本月初出售 可获利100元 然后可将本利都存入银行 已知银行的月利息为2 如果下月初出售 可获利120元 但货物贮存要付5元保管费 试问是本月初还是下月初出售好 并说明理由 解若本月初出售到下月初获利为m元 下月初出售获利为n元 则m 100 100 A 2 102 0 02A n 120 5 115 故n m 13 0 02A 令n m 0 得A 650 当A 650元时 本月初 下月初出售获利相同 当A 650元时 n mm 下月初出售好 要点二均值定理在实际生活中的应用例2提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的车流速度v 单位 千米 时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车流密度达到200辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为0 当车流密度不超过20辆 千米时 车流速度为60千米 时 研究表明 当20 x 200时 车流速度v是车流密度x的一次函数 1 当0 x 200时 求函数v x 的表达式 解由题意知 当0 x 20时 v x 60 当x 200 v 0 当20 x 200时 设v x ax b 解根据题意 由 1 可得当0 x 20时 f x 为增函数 当x 20时 其最大值为60 20 1200 2 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 时 f x x v x 可以达到最大 并求出最大值 精确到1辆 时 当且仅当x 200 x 即x 100时 等号成立 当x 100时 f x 在区间 20 200 上取得最大值 综上可知 当x 100时 f x 在区间 0 200 上取得最大值 3333 即当车流密度为100辆 千米时 车流量可以达到最大 最大值约为3333辆 时 规律方法 1 求最值或者求取值范围问题 首先考虑建立函数关系 通过函数的方法来求 均值不等式也是求最值的重要方法 尤其是出现和与积的形式 把所求的量放在不等式中去考查 2 建立函数时一定要注意函数的定义域 定义域是函数的三要素之一 不能忽视 在利用均值不等式解题时 要注意 一正 二定 三相等 若取等号时的自变量的值取不到 此时应考虑用函数的单调性 跟踪演练2某单位决定投资3200元建一长方体仓库 高度恒定 它的后墙利用旧墙不花钱 正面用铁栅 每米造价40元 两侧用砖墙 每米造价45元 顶部每平方米造价20元 1 仓库底面积S m2 的最大允许值是多少 解设铁栅长为xm 一侧砖墙长为ym 则有S xy 由题意得40 x 2 45y 20 xy 3200 由均值不等式 得 3200 2 20 xy 120 20 xy 120 20S S 6 160 即 16 10 0 16 0 10 0 S 100 S的最大允许值是100m2 2 为使S达到最大 而实际投资又不超过预算 那么正面铁栅应设计为多长 解取得此最大值的条件是40 x 90y 而xy 100 由此求得x 15 即铁栅的长应是15m 要点三一元二次不等式在生活中的应用例3某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元 辆 出厂价为12万元 辆 年销售量为10000辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品质量 适度增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为x 0 x 1 则出厂价相应地提高比例为0 75x 同时预计年销售量增加的比例为0 6x 已知年利润 出厂价 投入成本 年销售量 1 写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式 解由题意得y 12 1 0 75x 10 1 x 10000 1 0 6x 0 x 1 整理得y 6000 x2 2000 x 20000 0 x 1 2 为使本年度的年利润比上年度有所增加 则投入成本增加的比例x应在什么范围内 解要保证本年度的年利润比上年度有所增加 必须有 解得0 x 所以投入成本增加的比例应在 0 范围内 规律方法不等式应用题常以函数 数列为背景出现 多是解决现实生活 生产中的最优化问题 在解题中主要涉及到不等式的解法等问题 构造数学模型是解不等式应用题的关键 跟踪演练3在一个限速40km h以内的弯道上 甲 乙两辆汽车相向而行 发现情况不对 同时刹车 但还是相碰了 事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m 乙车的刹车距离略超过10m 又知甲 乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm h之间分别有如下关系 S甲 0 1x 0 01x2 S乙 0 05x 0 005x2 问超速行驶谁应负主要责任 解由题意列出不等式S甲 0 1x 0 01x2 12 解得x30 S乙 0 05x 0 005x2 10 解得x40 由于x 0 从而得x甲 30km h x乙 40km h 经比较知乙车超过限速 应负主要责任 要点四不等式的恒成立问题例4设函数f x mx2 mx 1 1 若对于一切实数x f x 0恒成立 求实数m的取值范围 解要使mx2 mx 1 0恒成立 若m 0 显然 1 0 故实数m的取值范围是 4 0 2 对于x 1 3 f x 0时 g x 在x 1 3 上是增函数 g x max g 3 7m 6 0 0 m 当m 0时 6 0恒成立 当m 0时 g x 在 1 3 上是减函数 g x max g 1 m 6 0 得m 6 m 0 综上所述 实数m的取值范围是 方法二当x 1 3 时 f x 0 故实数m的取值范围是 规律方法有关不等式恒成立求参数的取值范围 通常处理方法有两种 1 首先考虑能否进行参变量分离 若能 则构造关于变量的函数 转化为求函数的最大 小 值 从而建立参变量的不等式 2 若参变量不能分离 则应构造关于变量的函数 如一元一次 一元二次函数 并结合图象建立参变量的不等式求解 跟踪演练4当a为何值时 不等式 a2 1 x2 a 1 x 1 0的解集为R 解 当a2 1 0时 a 1或 1 若a 1 则原不等式为 1 0 恒成立 若a 1 则原不等式为2x 1 0 即x 不合题意 舍去 当a2 1 0时 即a 1时 原不等式的解集为R的条件是解得 a 1 综上a的取值范围是 1 1 某工厂第一年产量为A 第二年增长率为a 第三年的增长率为b 这两年的平均增长率为x 则 B 1 2 3 4 解析由题意知A 1 x 2 A 1 a 1 b 2 3 4 1 2 若产品的总成本y 万元 与产量x 台 之间的函数关系式是y 3000 20 x 0 1x2 0 x 240 若每台产品的售价为25万元 则生产者不亏本 销售收入不小于总成本 时的最低产量是 A 100台B 120台C 150台D 180台解析y 25x 0 1x2 5x 3000 0 x2 50 x 30000 0 解得x 150或x 200 舍去 C 3 某公司租地建仓库 每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比 如果在距离车站10公里处建仓库 这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元 那么 要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车站 公里 1 2 3 4 答案5 1 2 3 4 1 2 3 4 4 某小型服装厂生产一种风衣 日销售量x件与单价P元之间的关系为P 160 2x 生产x件所需成本为C 500 30 x元 该厂日产量多大时 每天获利不少于1300元 解由题意得 160 2x x 500 30 x 1300 化简得x2 65x 900 0 解得20 x 45 答该厂每天产量在20件至45件之间时 每天获利不少于1300元 课堂小结1 解不等式实际应用题的解题思路 2 建立一元二