高中数学 第一章 常用逻辑用语 1_3_2 命题的四种形式课件 新人教b版选修2-1

第一章1 3充分条件 必要条件与命题的四种形式 1 3 2命题的四种形式 1 了解四种命题的概念 会写出所给命题的逆命题 否命题和逆否命题 2 认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系 3 会利用命题的等价性解决问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一四种命题的概念 思考 初中已学过命题与逆命题的知识 什么叫做命题的逆命题 答案 在两个命题中 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论 且第一个命题的结论是第二个命题的条件 那么这两个命题叫做互为逆命题 梳理 结论和条件 逆命题 否定 否定 否命题 结论的否定和 条件的否定 逆否命题 知识点二四种命题间的相互关系 思考1 命题与其逆命题之间是什么关系 答案 互逆 思考2 原命题与其逆命题 否命题 逆否命题之间又是什么关系 答案 原命题与其逆命题是互逆关系 原命题与其否命题是互否关系 原命题与其逆否命题是互为逆否关系 梳理 1 四种命题间的关系 2 四种命题间的真假关系 真 假 真 假 真 假 真 假 由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系 两个命题互为逆否命题 它们有的真假性 即两命题等价 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性关系 即两个命题不等价 相同 没有 题型探究 类型一四种命题的关系及真假判断 解答 原命题 若a是正数 则a的平方根不等于0 逆命题 若a的平方根不等于0 则a是正数 否命题 若a不是正数 则a的平方根等于0 逆否命题 若a的平方根等于0 则a不是正数 命题角度1四种命题的写法例1把下列命题写成 若p 则q 的形式 并写出它们的逆命题 否命题与逆否命题 1 正数的平方根不等于0 解答 原命题 若x 2 则x2 x 6 0 逆命题 若x2 x 6 0 则x 2 否命题 若x 2 则x2 x 6 0 逆否命题 若x2 x 6 0 则x 2 2 当x 2时 x2 x 6 0 解答 原命题 若两个角是对顶角 则它们相等 逆命题 若两个角相等 则它们是对顶角 否命题 若两个角不是对顶角 则它们不相等 逆否命题 若两个角不相等 则它们不是对顶角 3 对顶角相等 由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论 根据其他三种命题的定义 确定所写命题的条件和结论 反思与感悟 跟踪训练1写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 1 实数的平方是非负数 解答 逆命题 若一个数的平方是非负数 则这个数是实数 否命题 若一个数不是实数 则它的平方不是非负数 逆否命题 若一个数的平方不是非负数 则这个数不是实数 解答 逆命题 若两个三角形全等 则这两个三角形等底等高 否命题 若两个三角形不等底或不等高 则这两个三角形不全等 逆否命题 若两个三角形不全等 则这两个三角形不等底或不等高 2 等底等高的两个三角形是全等三角形 命题角度2四种命题的真假判断例2写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断其真假 1 若a b 则ac2 bc2 解答 逆命题 若ac2 bc2 则a b 真命题 否命题 若a b 则ac2 bc2 真命题 逆否命题 若ac2 bc2 则a b 假命题 2 若四边形的对角互补 则该四边形是圆的内接四边形 解答 逆命题 若四边形是圆的内接四边形 则该四边形的对角互补 真命题 否命题 若四边形的对角不互补 则该四边形不是圆的内接四边形 真命题 逆否命题 若四边形不是圆的内接四边形 则该四边形的对角不互补 真命题 反思与感悟 若原命题为真命题 则它的逆命题 否命题可能为真命题 也可能为假命题 原命题与逆否命题互为逆否命题 否命题与逆命题互为逆否命题 互为逆否命题的两个命题的真假性相同 在原命题及其逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数要么是0 要么是2 要么是4 跟踪训练2下列命题中为真命题的是 若x2 y2 0 则x y不全为零 的否命题 正三角形都相似 的逆命题 若m 0 则x2 x m 0有实根 的逆否命题 若x 是有理数 则x是无理数 的逆否命题 A B C D 答案 解析 原命题的否命题为 若x2 y2 0 则x y全为零 故为真命题 原命题的逆命题为 若两个三角形相似 则这两个三角形是正三角形 故为假命题 原命题的逆否命题为 若x2 x m 0无实根 则m 0 方程无实根 判别式 1 4m 0 m 0 故为真命题 原命题的逆否命题为 若x不是无理数 则x 不是有理数 x不是无理数 x是有理数 又是无理数 x 是无理数 不是有理数 故为真命题 故正确的命题为 故选B 类型二等价命题的应用 例3证明 已知函数f x 是 上的增函数 a b R 若f a f b f a f b 则a b 0 证明 方法一原命题的逆否命题为 已知函数f x 是 上的增函数 a b R 若a b 0 则f a f b f a f b 若a b 0 则a b b a 又 f x 在 上是增函数 f a f b f b f a f a f b f a f b 即原命题的逆否命题为真命题 原命题为真命题 方法二假设a b 0 则a b b a 又 f x 在 上是增函数 f a f b f b f a f a f b f a f b 这与已知条件f a f b f a f b 相矛盾 因此假设不成立 故a b 0 反思与感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的 可以证明一个命题的逆否命题成立 从而证明原命题也是成立的 正确写出原命题的逆否命题是证题的关键 同时注意这种证明方法与反证法的区别 跟踪训练3证明 若a2 4b2 2a 1 0 则a 2b 1 证明 若a2 4b2 2a 1 0 则a 2b 1 的逆否命题为 若a 2b 1 则a2 4b2 2a 1 0 a 2b 1 a2 4b2 2a 1 2b 1 2 4b2 2 2b 1 1 4b2 1 4b 4b2 4b 2 1 0 命题 若a 2b 1 则a2 4b2 2a 1 0 为真命题 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知 原命题得证 当堂训练 1 命题 若綈p 则q 的逆否命题为A 若p 则綈qB 若綈q 则綈pC 若綈q 则pD 若q 则p 答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 2 下列命题为真命题的是A 命题 若x y 则x y 的逆命题B 命题 若x 1 则x2 1 的否命题C 命题 若x 1 则x2 x 2 0 的否命题D 命题 若x2 1 则x 1 的逆否命题 对A 即判断 若x y 则x y的真假 显然是真命题 答案 解析 5 1 2 3 4 3 命题 若x 1 则x 0 的逆命题是 逆否命题是 若x 0 则x 1 若x 0 则x 1 答案 5 4 在原命题 若A B B 则A B A 与它的逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数为 1 2 3 4 5 逆命题为 若A B A 则A B B 否命题为 若A B B 则A B A 逆否命题为 若A B A 则A B B 全为真命题 答案 解析 4 5 已知命题p 若ac 0 则二次不等式ax2 bx c 0无解 1 写出命题p的否命题 2 3 4 5 1 命题p的否命题为 若ac0有解 解答 2 判断命题p的否命题的真假 2 3 4 5 1 命题p的否命题是真命题 判断如下 因为ac0 b2 4