第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛,初一组二试试题及解答.doc

第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛初一组二试试题及解答1甲、乙两家医院同时接受同样数量的病人，每个病人患x病或y病中的一种，经过几天治疗，甲医院治好的病人多于乙医院治好的病人。问：经过这几天治疗后，是否可能甲医院对x病的治愈率和对y病的治愈均低于乙医院的？举例说明。(x病治愈率=解。可能。列表如下：X病Y病病愈甲医院病人数10900+63=63甲医院病愈人数百分比0%70%乙医院病人数901045+10=55乙医院病愈人数百分比50%100%设乙医院接受90个x病人，10个y病人，治愈率分别为50%和100%；甲医院接受10个x病人，90个y病人治愈率分别为0%和70%。则乙医院治愈的病人数是55人；甲医院治愈的病人数是63人。 2在长方形ABCD中，BF=AE=3厘米，DE=6厘米。三角形GEC的面积是20平方厘米，三角形GFD的面积是16平方厘米。那么，长方形ABCD的面积是多少平方厘米？ 解。设AG=a厘米，BG=b厘米。则所以以及，所以，由（1）和（2）得到，平方厘米）。解2。 分别向长方形ABCD外作梯形AQSD和BPRC使得AQ=AG, BP=BG, SD=CD=CR.设CD=AB=AG+BG=x.则即整理得3甲、乙、丙三辆汽车分别从的顶点,A,B,C出发，选择一个地点相会(AB=c,AC=b,BC=a)。每辆车沿直线路段到相会地点。三辆车的单位路程耗油量分别为。要使三辆车路上所用的油量之和最少，相会地点应选在何处？最小油量是多少（用a,b,c表示）？解。设会面地点在O，（O在AB上取等号）（O在AC上取等号）（O在AB和AC的交点出A取等号）又（当x=0时，即O取在A点时取等号）。答。相会地点选在A点三人在路上所用的油量之和最少；最少值为4用十进位制表示的某些自然数等于它的各位数字之和的16倍。求所有这样的自然数之和。解。n不可能是一位数、两位数和四位数， 。5求同时满足下列三个条件的自然数 1） 2） 3）。解。若不是整数。设所以， k是169的因数。因此， 当k=169时，不满足要求。当不满足要求。答。6如图，长方阵，行距和列距都是1。第6列上(除与第0行相交处外)，每一个阵点上放有一个靶标，而前5列上所有的阵点上都放有障碍物。神枪手站在第0行第0列的位置，要击中靶标，必须先扫清子弹前进弹道（直线）上的一切障碍物。若神枪手每发子弹都能击中目标，而且每发子弹能击毁且仅能击毁一个障碍物。那么 1）不需要扫除障碍物就能击中的靶标有多少个？ 2）要扫清一个障碍物才能击中的靶标有多少个？ 解。我们将第x列第y行的阵点记为(x,y).在（6，a）处有一个靶标，从(0,0)到(6,a)的直线上若有阵点B(x,y)(如下图),则连接OA, B点在OA上，连接BC.，此即 ，令最大公约数AB线段上共有d-1个阵点。因此，在击毁靶标(6,a)之前，先要清除d-1个障碍物。所以，要击毁靶标(6,a)就要用d发子弹。1） 若, 且最大公约数(6,a)=1, 则靶标(6,a)只需要1发子弹就能击毁。不超过100的自然数中，既不能被2整除，也不能被3整除的数与6互质。1到100的自然数被2整除的数的个数=100/2=50；1到100的自然数被3整除的数的个数=100/3=33；1到100的自然数被6整除的数的个数=100/6=16。故1到100的自然数或被2整除，或被3整除的数的个数=50+33-16=67。因此，100以内的自然数与6互质的数的个数=100-67=33，即有33个靶标只需要一发子弹就能击毁。2） 若靶标(6,a) 前面只