课件3-4.ppt

3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 边值问题 在给定的边界条件下 求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程 为了简化计算 静态场可以通过位函数获得 同时 位函数在边界上须满足一定边界条件 对于静电场 位函数是电位 满足 对于静磁场 位函数是磁矢位 满足 3 4 1边值问题的类型 已知场域边界面上的位函数值 即 第一类边值问题 狄里赫利问题 已知场域边界面上的位函数的法向导数值 即 已知场域一部分边界面上的位函数值 而其余边界面上则已知位函数的法向导数值 即 第三类边值问题 混合边值问题 第二类边值问题 纽曼问题 自然边界条件 无界空间 源分布在有限区域 分界面的衔接条件 对于区域中包含两个以上介质的问题 边值问题还要考虑介质分界面上的边界条件 称为分界面的连接条件 如 例 第一类边值问题 第三类边值问题 例 求解静态场边值问题的方法可分为 解析法 数值法和实验法 解析法 在整个域内求出满足边值问题的待求函数的解析表达式 如分离变量法 镜像法等 数值法 在整个域内各个离散点上求出一组满足边值问题的待求函数的数值 如有限差分法和有限元法等 实验法 用实验装置模拟实际的物理场和边界条件 测量出相应的待求函数值 如导电纸模拟法 电解槽模拟法等 解析法的优点是解可以用解析公式表示 公式中的参数值可在一定范围内任意变化 便于研究不同参数下场的不同分布 缺点是只有少数规则问题可以得出解析解 数值法求得的解仅是待求函数在某种特定的参数值下的一组数值 但它能解决边界形状复杂的场域的求解问题 实验法受到实验设备和条件的限制 在场域V的边界面S上给定或的值 则泊松方程或Laplace方程在场域V具有惟一值 3 4 2惟一性定理 惟一性定理的重要意义 给出了静态场边值问题具有惟一解的条件 为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据 为求解结果的正确性提供了判据 惟一性定理的表述 唯一性定理给出了定解的充分必要条件 虽然没有给出具体的求解方法 但对于求解有着重要的指导意义 一方面 我们在构造求解方程时 可以依据唯一性定理设置必要的边界条件 另一方面 如果我们利用某种方法获得了解 则可以肯定解是唯一的 即使采用不同的方法获得了不同形式的解 也可以肯定这些解是等价的 3 5 1镜像法的基本原理3 5 2接地导体平面的镜像3 5 3导体球面的镜像3 5 4点电荷与无限大电介质平面的镜像 3 5镜像法 前面只是学过一些简单静态场的计算方法 媒质均匀分布的空间中有限带电体产生的电位 积分法 利用高斯定理计算具有对称性的电位 实际中经常遇到的问题都是带有边界的 因此 目前已经学过的方法无能为力 当有电荷存在于导体或介质表面附近时 导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷 而感应电荷或极化电荷将影响场的分布 非均匀感应电荷产生的电位很难求解 可以用等效电荷的电位替代 1 问题的提出 几个实例接地导体板附近有一个点电荷 如图所示 q q 非均匀感应电荷 等效电荷 3 5 1镜像法的基本原理 接地导体球附近有一个点电荷 如图 非均匀感应电荷产生的电位很难求解 可以用等效电荷的电位替代 等效电荷 结论 所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用 问题 这种等效电荷是否存在 这种等效是否合理 2 镜像法的原理 以镜像电荷代替边界的影响 将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间 从而使计算简化 根据惟一性定理 只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件 那就是该问题的解答 并且是惟一的解答 镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理 面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法 3 镜像法的理论基础 解的惟一性定理 镜像电荷的个数 位置及其电量大小 三要素 4 镜像法应用的关键点 5 确定镜像电荷的两条原则 镜像电荷的确定 镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中 镜像电荷的个数 位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定 只是一种 凑 的方法 仅对于某些特殊边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷 6 镜像法的局限性 1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 满足原问题的边界条件 所得的结果正确 3 5 2接地导体平面的镜像 电位函数 镜像电荷 原问题与等效问题 在上半平面问题相同 电位函数 可见 镜像法的实质是以一个处于镜像位置的电荷代替边界的影响 使整个空间变成均匀的介电常数为 的空间 则空间任一点P的电位由q及其镜像电荷 q共同产生 即 上半空间 z 0 的电位函数 q 导体平面上的感应电荷密度为 导体平面上的总感应电荷为 镜像电荷的电量应该等于感应电荷的总电量 2 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 对于半无限大导体平面形成的劈形边界 当导体劈的夹角满足 n为整数 时 也可采用镜像法 镜像电荷为2n 1个 分布在半径为r0的圆上 r0为点电荷到角顶点的距离 镜像的角度为 电荷量为 为点电荷与劈的夹角 如果 则无法应用镜像原理 如图所示 两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板 点电荷q位于 d1 d2 处 显然 q1对平面2以及q2对平面1均不能满足边界条件 对于平面1 有镜像电荷q1 q 位于 d1 d2 对于平面2 有镜像电荷q2 q 位于 d1 d2 只有在 d1 d2 处再设置一镜像电荷q3 q 所有边界条件才能得到满足 电位函数 R R1 R2 R3 3 5 3导体球面的镜像 1 点电荷对接地导体球面的镜像 球面上的感应电荷可用镜像电荷q 来等效 q 应位于导体球内 显然不影响原方程 且在点电荷q与球心的连线上 距球心为d 则有 如图所示 点电荷q位于半径为a的接地导体球外 距球心为d 方法 利用导体球面上电位为零确定和q 问题 令r a 由球面上电位为零 即 0 得 此式应在整个球面上都成立 条件 接地导体球壳内的电荷的镜像 如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 外半径为b 点电荷q位于球壳内 与球心相距为d d a 由于球壳接地 感应电荷分布在球壳的内表面上 镜像电荷q应位于导体球壳外 且在点电荷q与球心的连线的延长线上 与点荷位于接地导体球外同样的分析 可得到 q q 可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量 2 点电荷对不接地导体球的镜像 先设想导体球是接地的 则球面上只有总电荷量为q 的感应电荷分布 则 导体球不接地时的特点 导体球面是电位不为零的等位面 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布 但总的感应电荷为零 采用叠加原理来确定镜像电荷 点电荷q位于一个半径为a的不接地导体球外 距球心为d 然后断开接地线 并将电荷 q 加于导体球上 从而使总电荷为零 为保持导体球面为等位面 所加的电荷 q 可用一个位于球心的镜像电荷q 来替代 即 球外任意点的电位为 3 5 4点电荷与无限大电介质平面的镜像 特点 在点电荷的电场作用下 电介质产生极化 在介质分界面上形成极化电荷分布 此时 空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生 问题 如图1所示 介电常数分别为和的两种不同电介质的分界面是无限大平面 在电介质1中有一个点电荷q 距分界平面为h 分析方法 计算电介质1中的电位时 用位于介质2中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷 并把整个空间看作充满介电常数为的均匀介质 如图2所示 介质1中的电位为 计算电介质2中的电位时 用位于介质1中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷 并把整个空间看作充满介电常数为的均匀介质 如图3所示 介质2中的电位为 可得到 说明 对位于无限大平表面介质分界面附近 且平行于分界面的无限长线电荷 单位长度带 其镜像电荷为 利用电位满足的边界条件 3 6分离变量法 3 6 1分离变量法的例题3 6 2分离变量法的思想3 6 3直角坐标系中的分离变量法 3 6 1分离变量法例题 例题 一无限长金属槽 侧壁与底面接地 顶盖电位为U x 试求 1 2 时金属槽内电位的分布 解 采用分离变量法 步骤一 确定静电场边值问题 定解问题 首先选定坐标系 由于题中问题的边界为正方形 选择直角坐标系更为合适 因为槽沿z向无限长 所以槽中电位与z无关 是一个二维场问题 于是 定解问题为第一类边值问题 步骤二 分离变量 代入拉普拉斯方程 得 设 相互独立的两项相加为零 只有一种可能 每一项都等于一个常数 即 且 根据齐次边界条件 可得 于是 有 可见 通过分离变量把一个多变量的偏微分方程转化为两个单变量的常微分本征方程 步骤三 求解本征方程和本征值 X x 本征方程的通解形式为 式中 A B为常数 代入边界条件 得 本征值 于是 由于 同理可得 本征值函数 本征值函数 本征值 步骤四 求通解 通解形式为 利用非齐次边界条件确定系数Dn 1 代入 利用三角函数的正交性 因为 于是 同理可得 于是 2 代入 将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积 把偏微分方程分解成n个常微分方程 求出各常微分方程的通解后 把它们线性叠加起来 得到级数形式解 并利用给定的边界条件确定待定常数 分离变量法是求解边值问题的一种经典方法 分离变量法的理论依据是惟一性定理 核心思想 把多变量的偏微分方程变换为多组单变量的常微分方程组 本征方程 分离变量法