高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数i2_8函数与方程课件文北师大版

2 8函数与方程 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 函数零点的定义函数y f x 的图像与横轴的交点的称为这个函数的零点 2 几个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图像与有交点 函数y f x 有 3 函数零点的判定 零点存在性定理 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 并且在区间端点的函数值符号相反 即f a f b 0 则在区间内 函数y f x 至少有一个零点 即相应的方程f x 0在区间 a b 内至少有一个实数解 1 函数的零点 知识梳理 横坐标 x轴 零点 a b 对于在区间 a b 上连续不断且的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫作二分法 2 二分法 f a f b 0 一分为二 零点 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图像与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 2 1 0 1 有关函数零点的结论 1 若连续不断的函数f x 在定义域上是单调函数 则f x 至多有一个零点 2 连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 3 连续不断的函数图像通过零点时 函数值可能变号 也可能不变号 2 三个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图像与x轴有交点 函数y f x 有零点 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数的零点就是函数的图像与x轴的交点 2 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图像连续不断 则f a f b 0 3 只要函数有零点 我们就可以用二分法求出零点的近似值 4 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0时没有零点 5 若函数f x 在 a b 上单调且f a f b 0 则函数f x 在 a b 上有且只有一个零点 1 教材改编 函数的零点个数为A 0B 1C 2D 3 考点自测 答案 解析 f x 是增函数 又f 0 1 f 1 f 0 f 1 0 f x 有且只有一个零点 2 下列函数中 既是偶函数又存在零点的是A y cosxB y sinxC y lnxD y x2 1 答案 解析 由于y sinx是奇函数 y lnx是非奇非偶函数 y x2 1是偶函数但没有零点 只有y cosx是偶函数又有零点 3 2016 长春检测 函数f x lnx x 2的零点所在的区间是A 1 B 1 2 C 2 e D e 3 答案 解析 所以f 2 f e 0 4 函数f x 2x log0 5x 1的零点个数为 答案 解析 2 由上图知两函数图像有2个交点 故函数f x 有2个零点 5 函数f x ax 1 2a在区间 1 1 上存在一个零点 则实数a的取值范围是 答案 解析 函数f x 的图像为直线 由题意可得f 1 f 1 0 题型分类深度剖析 题型一函数零点的确定 命题点1确定函数零点所在区间例1 1 2016 长沙调研 已知函数f x lnx 的零点为x0 则x0所在的区间是A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 答案 解析 x0 2 3 故选C 2 2016 济南模拟 设函数y x3与y x 2的图像的交点为 x0 y0 若x0 n n 1 n N 则x0所在的区间是 答案 解析 1 2 易知f x 为增函数 且f 1 0 x0所在的区间是 1 2 命题点2函数零点个数的判断 答案 解析 例2 1 函数f x 的零点个数是 2 当x 0时 令x2 2 0 解得x 正根舍去 所以在 0 上有一个零点 当x 0时 f x 2 0恒成立 所以f x 在 0 上是增函数 又因为f 2 2 ln20 所以f x 在 0 上有一个零点 综上 函数f x 的零点个数为2 2 若定义在R上的偶函数f x 满足f x 2 f x 当x 0 1 时 f x x 则函数y f x log3 x 的零点个数是A 多于4B 4C 3D 2 答案 解析 由题意知 f x 是周期为2的偶函数 在同一坐标系内作出函数y f x 及y log3 x 的图像 如图 观察图像可以发现它们有4个交点 即函数y f x log3 x 有4个零点 思维升华 1 确定函数零点所在区间 可利用零点存在性定理或数形结合法 2 判断函数零点个数的方法 解方程法 零点存在性定理 结合函数的性质 数形结合法 转化为两个函数图像的交点个数 跟踪训练1 1 已知函数f x log2x 在下列区间中 包含f x 零点的区间是A 0 1 B 1 2 C 2 4 D 4 答案 解析 因为f 1 6 log21 6 0 f 2 3 log22 2 0 所以函数f x 的零点所在区间为 2 4 2 函数f x xcosx2在区间 0 4 上的零点个数为A 4B 5C 6D 7 答案 解析 由f x xcosx2 0 得x 0或cosx2 0 又x 0 4 所以x2 0 16 由于cos k 0 k Z 而在 k k Z 的所有取值中 故零点个数为1 5 6 题型二函数零点的应用 例3 1 函数f x 2x a的一个零点在区间 1 2 内 则实数a的取值范围是A 1 3 B 1 2 C 0 3 D 0 2 答案 解析 因为函数f x 2x a在区间 1 2 上单调递增 又函数f x 2x a的一个零点在区间 1 2 内 则有f 1 f 2 0 所以 a 4 1 a 0 即a a 3 0 所以0 a 3 2 已知函数f x x2 3x x R 若方程f x a x 1 0恰有4个互异的实数根 则实数a的取值范围是 答案 解析 0 1 9 设y1 f x x2 3x y2 a x 1 在同一直角坐标系中作出y1 x2 3x y2 a x 1 的图像如图所示 由图可知f x a x 1 0有4个互异的实数根等价于y1 x2 3x 与y2 a x 1 的图像有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1 消去y得x2 3 a x a 0有两个不等实根 所以 3 a 2 4a 0 即a2 10a 9 0 解得a9 又由图像得a 0 09 几何画板展示 引申探究 本例 2 中 若f x a恰有四个互异的实数根 则a的取值范围是 答案 解析 作出y1 x2 3x y2 a的图像如图 当x 0或x 3时 y1 0 思维升华 已知函数零点情况求参数的步骤及方法 1 步骤 判断函数的单调性 利用零点存在性定理 得到参数所满足的不等式 组 解不等式 组 即得参数的取值范围 2 方法 常利用数形结合法 跟踪训练2 1 2016 枣庄模拟 已知函数f x x2 x a a 0 在区间 0 1 上有零点 则a的取值范围为 答案 解析 2 0 a x2 x在 0 1 上有解 函数y x2 x x 0 1 的值域为 0 2 0 a 2 2 a 0 2 2015 湖南 若函数f x 2x 2 b有两个零点 则实数b的取值范围是 答案 解析 0 2 由f x 2x 2 b 0 得 2x 2 b 在同一平面直角坐标系中画出y 2x 2 与y b的图像 如图所示 则当0 b 2时 两函数图像有两个交点 从而函数f x 2x 2 b有两个零点 几何画板展示 题型三二次函数的零点问题 例4已知f x x2 a2 1 x a 2 的一个零点比1大 一个零点比1小 求实数a的取值范围 解答 方法一设方程x2 a2 1 x a 2 0的两根分别为x1 x2 x1 x2 则 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 由根与系数的关系 得 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 2 a 1 方法二函数图像大致如图 则有f 1 0 即1 a2 1 a 2 0 2 a 1 故实数a的取值范围是 2 1 思维升华 解决与二次函数有关的零点问题 1 利用一元二次方程的求根公式 2 利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系 3 利用二次函数的图像列不等式组 跟踪训练3 2016 临沂一模 若函数f x m 2 x2 mx 2m 1 的两个零点分别在区间 1 0 和区间 1 2 内 则m的取值范围是 答案 解析 典例 1 若函数f x ax x a a 0且a 1 有两个零点 则实数a的取值范围是 2 若关于x的方程22x 2xa a 1 0有实根 则实数a的取值范围为 1 利用转化思想求解函数零点问题 思想与方法系列4 答案 解析 思想方法指导 1 函数零点个数可转化为两个函数图像的交点个数 利用数形结合求解参数范围 2 a f x 有解 型问题 可以通过求函数y f x 的值域解决 几何画板展示 1 函数f x ax x a a 0且a 1 有两个零点 即方程ax x a 0有两个根 即函数y ax与函数y x a的图像有两个交点 当0 a 1时 图像如图 所示 此时只有一个交点 当a 1时 图像如图 所示 此时有两个交点 实数a的取值范围为 1 课时作业 1 设f x lnx x 2 则函数f x 的零点所在的区间为A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 f 1 ln1 1 2 10 f 1 f 2 0 函数f x lnx x 2的图像是连续的 f x 的零点所在的区间是 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 潍坊模拟 已知函数则函数f x 的零点为 答案 解析 当x 1时 由f x 2x 1 0 解得x 0 又因为x 1 所以此时方程无解 综上 函数f x 的零点只有0 故选D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 已知三个函数f x 2x x g x x 2 h x log2x x的零点依次为a b c 则A a b cB a c bC b a cD c a b 答案 解析 故f x 2x x的零点a 1 0 g 2 0 g x 的零点b 2 方法二由f x 0 得2x x 由h x 0 得log2x x 作出函数y 2x y log2x和y x的图像 如图 由图像易知a 0 0 c 1 而b 2 故a c b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 方程 x2 2x a2 1 a 0 的解的个数是A 1B 2C 3D 4 答案 解析 数形结合法 a 0 a2 1 1 而y x2 2x 的图像如图 y x2 2x 的图像与y a2 1的图像总有两个交点 5 已知函数则使方程x f x m有解的实数m的取值范围是A 1 2 B 2 C 1 2 D 1 2 答案 解析 当x 0时 x f x m 即x 1 m 解得m 1 当x 0时 x f x m 即x m 解得m 2 即实数m的取值范围是 1 2 故选D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 已知x R 符号 x 表示不超过x的最大整数 若函数f x a x 0 有且仅有3个零点 则实数a的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 若函数f x x2 ax b的两个零点是 2和3 则不等式af 2x 0的解集是 答案 解析 f x x2 ax b的两个零点是 2 3 2 3是方程x2 ax b 0的两根 f x x2 x 6 不等式af 2x 0 即 4x2 2x 6 0 2x2 x 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知函数f x 若函数g x f x m有3个零点 则实数m的取值范围是 答案 解析 0 1 画出函数f x 的图像 如图 由于函数g x f x m有3个零点 结合图像得0 m 1 即m 0 1 9 定义在R上的奇函数f x 满足 当x 0时 f x 2015x log2015x 则在R上 函数f x 零点的个数为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 3 函数f x 为R上的奇函数 因此f 0 0 当x 0时 f x 2015x log2015x在区间 0 内存在一个零点 又f x 为增函数 因此在 0 内有且仅有一个零点 根据对称性可知函数在 0 内有且仅有一解 从而函数f x 在R上的零点的个数为3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 衡水期中 若a 1 设函数f x ax x 4的零点为m 函数g x logax x 4的零点为n 则的最小值为 答案 解析 1 设F x ax G x logax h x 4 x 则h x 与F x G x 的交点A B横坐标分别为m n m 0 n 0 因为F x 与G x 关于直线y x对称 所以A B两点关于直线y x对称 又因为y x和h x 4 x交点的横坐标为2 所以m n 4 又m 0 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 作出函数f x 的图像 如图所示 故f x 在 0 1 上是减函数 而在 1