高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_8圆锥曲线的综合问题第3课时定点定值探索性问题课件文北师大版

9 8圆锥曲线的综合问题 第3课时定点 定值 探索性问题 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 题型分类深度剖析 题型一定点问题 设椭圆的焦距为2c 由题意知b 1 且 2a 2 2b 2 2 2c 2 又a2 b2 c2 a2 3 解答 几何画板展示 2 若 1 2 3 试证明 直线l过定点并求此定点 证明 几何画板展示 由题意设P 0 m Q x0 0 M x1 y1 N x2 y2 设l方程为x t y m y1 m y1 1 由题意y1 0 1 2 3 y1y2 m y1 y2 0 由题意知 4m2t4 4 t2 3 t2m2 3 0 代入 得t2m2 3 2m2t2 0 mt 2 1 由题意mt 0 mt 1 满足 得直线l方程为x ty 1 过定点 1 0 即Q为定点 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法 1 引进参数法 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量 再研究变化的量与参数何时没有关系 找到定点 2 特殊到一般法 根据动点或动线的特殊情况探索出定点 再证明该定点与变量无关 1 求椭圆C的方程 解答 解答 几何画板展示 因为l为切线 所以 2t 2 4 t2 2 2 2 0 因为MN为圆的直径 即t2 2 2 0 设圆与x轴的交点为T x0 0 当t 0时 不符合题意 故t 0 所以T为定点 故动圆过x轴上的定点 1 0 与 1 0 即椭圆的两个焦点 题型二定值问题 例2 2016 广西柳州铁路一中月考 如图 椭圆有两顶点A 1 0 B 1 0 过其焦点F 0 1 的直线l与椭圆交于C D两点 并与x轴交于点P 直线AC与直线BD交于点Q 解答 椭圆的焦点在y轴上 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y kx 1 C x1 y1 D x2 y2 证明 当直线l的斜率不存在时 与题意不符 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y kx 1 k 0 k 1 C x1 y1 D x2 y2 将两直线方程联立 消去y y1y2 k2x1x2 k x1 x2 1 故点Q的坐标为 k y0 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 1 求代数式为定值 依题意设条件 得出与代数式参数有关的等式 代入代数式 化简即可得出定值 2 求点到直线的距离为定值 利用点到直线的距离公式得出距离的解析式 再利用题设条件化简 变形求得 3 求某线段长度为定值 利用长度公式求得解析式 再依据条件对解析式进行化简 变形即可求得 1 求椭圆C的方程 解答 证明 由题意可得A1 2 0 A2 2 0 设P x0 y0 由题意可得 2 x0 2 故 DE DF 为定值3 题型三探索性问题 1 求椭圆E的方程 解答 由已知 点C D的坐标分别为 0 b 0 b 解答 当直线AB的斜率存在时 设直线AB的方程为y kx 1 A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 其判别式 4k 2 8 2k2 1 0 x1x2 y1y2 x1x2 y1 1 y2 1 1 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 当直线AB斜率不存在时 直线AB即为直线CD 思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题 先假设存在 推证满足条件的结论 若结论正确则存在 若结论不正确则不存在 1 当条件和结论不唯一时要分类讨论 2 当给出结论而要推导出存在的条件时 先假设成立 再推出条件 3 当条件和结论都不知 按常规方法解题很难时 要开放思维 采取另外合适的方法 1 求椭圆C和抛物线E的方程 解答 几何画板展示 2a AF1 AF2 4 a 2 设A x y F2 c 0 抛物线方程为y2 4x 解答 几何画板展示 若直线ON的斜率不存在 若直线ON的斜率存在 MN 2 ON 2 OM 2 设原点O到直线l的距离为d 典例 12分 椭圆C 1 a b 0 的左 右焦点分别是F1 F2 离心率为 过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1 设而不求 整体代换 思想与方法系列20 规范解答 思想方法指导 1 求椭圆C的方程 2 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点 连接PF1 PF2 设 F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M m 0 求m的取值范围 3 在 2 的条件下 过点P作斜率为k的直线l 使得l与椭圆C有且只有一个公共点 设直线PF1 PF2的斜率分别为k1 k2 若k2 0 证明为定值 并求出这个定值 几何画板展示 对题目涉及的变量巧妙地引进参数 如设动点坐标 动直线方程等 利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组 再化为一元二次方程 从而利用根与系数的关系进行整体代换 达到 设而不求 减少计算 的效果 直接得定值 返回 解 2 设P x0 y0 y0 0 所以直线PF1 PF2的方程分别为 3 设P x0 y0 y0 0 返回 课时作业 1 求椭圆C的标准方程 得a2 4 b2 2 解答 1 2 3 4 2 如图 椭圆左顶点为A 过原点O的直线 与坐标轴不重合 与椭圆C交于P Q两点 直线PA QA分别与y轴交于M N两点 试问以MN为直径的圆是否经过定点 与直线PQ的斜率无关 请证明你的结论 解答 1 2 3 4 证明如下 设P x0 y0 则Q x0 y0 1 2 3 4 1 2 3 4 解答 1 求椭圆E的标准方程 1 2 3 4 2 若斜率为k的直线l过点A 0 1 且与椭圆E交于C D两点 B为椭圆E的下顶点 求证 对于任意的k 直线BC BD的斜率之积为定值 证明 1 2 3 4 设直线l y kx 1 得 3k2 2 x2 6kx 9 0 设C x1 y1 D x2 y2 则 易知B 0 2 1 2 3 4 2 所以对于任意的k 直线BC BD的斜率之积为定值 1 2 3 4 1 求椭圆C的方程 1 2 3 4 解答 1 v 4 双曲线的焦点在x轴上 设焦点F c 0 则c2 4 v v 1 3 由椭圆C与双曲线共焦点 知a2 b2 3 设直线l的方程为x ty a 代入y2 2x 可得y2 2ty 2a 0 设P x1 y1 Q x2 y2 则y1 y2 2t y1y2 2a 1 2 3 4 2 在椭圆C上 是否存在点R m n 使得直线l mx ny 1与圆O x2 y2 1相交于不同的两点M N 且 OMN的面积最大 若存在 求出点R的坐标及对应的 OMN的面积 若不存在 请说明理由 解答 1 2 3 4 m2 n2 2 又 m2 4n2 4 1 2 3 4 1 求C1 C2的标准方程 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 设抛物线C2 y2 2px p 0 1 2 3 4 解答 容易验证当直线l的斜率不存在时 不满足题意 1 2 3 4 当直线l的斜率存在时 设其方程为y k x 1 与C1的交点为M x1 y1