高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4_7 解三角形的综合应用课件 文 新人教版

4 7解三角形的综合应用 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 2 方向角相对于某正方向的水平角 如南偏东30 北偏西45 等 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线叫仰角 目标视线在水平视线叫俯角 如图 1 仰角和俯角 知识梳理 上方 下方 指从方向顺时针转到目标方向线的水平角 如B点的方位角为 如图 3 方位角 正北 1 三角形的面积公式 2 坡度 又称坡比 坡面的垂直高度与水平长度之比 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 从A处望B处的仰角为 从B处望A处的俯角为 则 的关系为 180 2 俯角是铅垂线与视线所成的角 其范围为 0 3 方位角与方向角其实质是一样的 均是确定观察点与目标点之间的位置关系 4 方位角大小的范围是 0 2 方向角大小的范围一般是 0 1 教材改编 如图所示 设A B两点在河的两岸 一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C 测出AC的距离为50m ACB 45 CAB 105 后 就可以计算出A B两点的距离为 考点自测 答案 解析 2 若点A在点C的北偏东30 点B在点C的南偏东60 且AC BC 则点A在点B的A 北偏东15 B 北偏西15 C 北偏东10 D 北偏西10 答案 解析 如图所示 ACB 90 又AC BC CBA 45 而 30 90 45 30 15 点A在点B的北偏西15 3 教材改编 海面上有A B C三个灯塔 AB 10nmile 从A望C和B成60 视角 从B望C和A成75 视角 则BC等于 答案 解析 如图 在 ABC中 AB 10 A 60 B 75 4 如图所示 D C B三点在地面的同一直线上 DC a 从C D两点测得A点的仰角分别为60 30 则A点离地面的高度AB 答案 解析 5 在一次抗洪抢险中 某救生艇发动机突然发生故障停止转动 失去动力的救生艇在洪水中漂行 此时 风向是北偏东30 风速是20km h 水的流向是正东 流速是20km h 若不考虑其他因素 救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东 速度的大小为 km h 答案 解析 60 如图 AOB 60 由余弦定理知OC2 202 202 800cos120 1200 题型分类深度剖析 题型一求距离 高度问题 例1 1 如图 从气球A上测得正前方的河流的两岸B C的俯角分别为75 30 此时气球的高AD是60m 则河流的宽度BC等于 答案 解析 如图 在 ACD中 CAD 90 30 60 AD 60m 在 ABD中 BAD 90 75 15 2 2016 三明模拟 在200m高的山顶上 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30 60 则塔高是 m 答案 解析 如图 设塔AB高为h 在Rt CDB中 CD 200m BCD 90 60 30 在 ABC中 ABC BCD 30 ACB 60 30 30 BAC 120 思维升华 求距离 高度问题应注意 1 理解俯角 仰角的概念 它们都是视线与水平线的夹角 理解方向角的概念 2 选定或确定要创建的三角形 要首先确定所求量所在的三角形 若其他量已知则直接解 若有未知量 则把未知量放在另一确定三角形中求解 3 确定用正弦定理还是余弦定理 如果都可用 就选择更便于计算的定理 跟踪训练1 1 一船以每小时15km的速度向东航行 船在A处看到一个灯塔B在北偏东60 行驶4h后 船到达C处 看到这个灯塔在北偏东15 这时船与灯塔的距离为 km 答案 解析 如图 由题意 BAC 30 ACB 105 B 45 AC 60km 2 如图所示 为测一树的高度 在地面上选取A B两点 从A B两点分别测得树尖的仰角为30 45 且A B两点间的距离为60m 则树的高度为 m 答案 解析 在 PAB中 PAB 30 APB 15 AB 60 sin15 sin 45 30 sin45 cos30 cos45 sin30 题型二求角度问题 例2如图所示 位于A处的信息中心获悉 在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险 在原地等待营救 信息中心立即把消息告知在其南偏西30 相距20海里的C处的乙船 现乙船朝北偏东 的方向沿直线CB前往B处救援 则cos 的值为 答案 解析 在 ABC中 AB 40 AC 20 BAC 120 由余弦定理得 由 ACB 30 得cos cos ACB 30 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 1 首先应明确方位角或方向角的含义 2 分析题意 分清已知与所求 再根据题意画出正确的示意图 这是最关键 最重要的一步 3 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后 注意正弦 余弦定理的 联袂 使用 跟踪训练2如图 某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练 已知点A到墙面的距离为AB 某目标点P沿墙面上的射线CM移动 此人为了准确瞄准目标点P 需计算由点A观察点P的仰角 的大小 若AB 15m AC 25m BCM 30 则tan 的最大值是 仰角 为直线AP与平面ABC所成角 答案 解析 如图 过点P作PO BC于点O 连接AO 则 PAO 在Rt ABC中 AB 15m AC 25m 所以BC 20m 题型三三角形与三角函数的综合问题 1 求函数f x 的最小正周期和单调减区间 解答 解答 可求得bc 40 思维升华 三角形与三角函数的综合问题 要借助三角函数性质的整体代换思想 数形结合思想 还要结合三角形中角的范围 充分利用正弦定理 余弦定理解题 1 求f x 的单调区间 解答 2 在锐角 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 若 0 a 1 求 ABC面积的最大值 解答 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosA 典例 12分 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口O北偏西30 且与该港口相距20海里的A处 并正以30海里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 函数思想在解三角形中的应用 思想与方法系列10 规范解答 思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时 可以设出第三边 利用余弦定理列方程求解 对于三角形中的最值问题 可建立函数模型 转化为函数最值问题解决 返回 解 1 设相遇时小艇航行的距离为S海里 则 1分 2 设小艇与轮船在B处相遇 则v2t2 400 900t2 2 20 30t cos 90 30 8分 此时 在 OAB中 有OA OB AB 20 11分 故可设计航行方案如下 航行方向为北偏东30 航行速度为30海里 小时 12分 返回 课时作业 1 一艘海轮从A处出发 以每小时40海里的速度沿南偏东40 的方向直线航行 30分钟后到达B处 在C处有一座灯塔 海轮在A处观察灯塔 其方向是南偏东70 在B处观察灯塔 其方向是北偏东65 那么B C两点间的距离是 答案 解析 如图所示 易知 在 ABC中 AB 20 CAB 30 ACB 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 在相距2km的A B两点处测量目标点C 若 CAB 75 CBA 60 则A C两点之间的距离为 答案 解析 如图 在 ABC中 由已知可得 ACB 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 一船向正北航行 看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上 继续航行半小时后 看见一灯塔在船的南偏西60 另一灯塔在船的南偏西75 则这艘船的速度是每小时 答案 解析 如图所示 依题意有 BAC 60 BAD 75 所以 CAD CDA 15 从而CD CA 10 在Rt ABC中 得AB 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 如图 两座相距60m的建筑物AB CD的高度分别为20m 50m BD为水平面 则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 A 30 B 45 C 60 D 75 答案 解析 又CD 50 所以在 ACD中 又0 CAD 180 所以 CAD 45 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 如图所示 测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D 测得 BCD 15 BDC 30 CD 30 并在点C测得塔顶A的仰角为60 则塔高AB等于 答案 解析 在 BCD中 CBD 180 15 30 135 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱 为了测量喷水柱喷出的水柱的高度 某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45 沿点A向北偏东30 前进100m到达点B 在B点测得水柱顶端的仰角为30 则水柱的高度是A 50mB 100mC 120mD 150m 答案 解析 设水柱高度是hm 水柱底端为C 在 ABC中 A 60 AC h AB 100 即h2 50h 5000 0 即 h 50 h 100 0 即h 50 故水柱的高度是50m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 江岸边有一炮台高30m 江中有两条船 船与炮台底部在同一水平面上 由炮台顶部测得俯角分别为45 和60 而且两条船与炮台底部连线成30 角 则两条船相距 m 答案 解析 如图 OM AOtan45 30 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在 MON中 由余弦定理得 8 如图 一艘船上午9 30在A处测得灯塔S在它的北偏东30 处 之后它继续沿正北方向匀速航行 上午10 00到达B处 此时又测得灯塔S在它的北偏东75 处 且与它相距nmile 此船的航速是 nmile h 答案 解析 32 设航速为vnmile h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 如图 某住宅小区的平面图呈圆心角为120 的扇形AOB C是该小区的一个出入口 且小区里有一条平行于AO的小路CD 已知某人从O沿OD走到D用了2分钟 从D沿DC走到C用了3分钟 若此人步行的速度为每分钟50米 则该扇形的半径为 米 答案 解析 如图 连接OC 在 OCD中 OD 100 CD 150 CDO 60 由余弦定理得OC2 1002 1502 2 100 150 cos60 17500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 在Rt ABC中 C 90 A B C所对的边分别为a b c 且满足a b cx 则实数x的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 要测量电视塔AB的高度 在C点测得塔顶A的仰角是45 在D点测得塔顶A的仰角是30 并测得水平面上的 BCD 120 CD 40m 求电视塔的高度 解答 如图 设电视塔AB高为xm 则在Rt ABC中 由 ACB 45 得BC x 在 BDC中 由余弦定理得 BD2 BC2 CD2 2BC CD cos120 所以电视塔高为40m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 求a和sinC的值 又由b c 2 解得b 6 c 4 由a2 b2 c2 2bccosA 可得a 8 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 在海岸A处发现北偏东45 方向 距A处 1 海里的B处有一艘走私船 在A处北偏西75 方向 距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里 小时的速度追截走私船 此时走私船正以10海里 小时的速度从B处向北偏东30 方向逃窜 问 缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船 并求出所需时间 解答 如图 设缉私船