高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9_2 两条直线的位置关系课件 文 新人教版

9 2两条直线的位置关系 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 两条直线平行与垂直 两条直线平行 对于两条不重合的直线l1 l2 若其斜率分别为k1 k2 则有l1 l2 当直线l1 l2不重合且斜率都不存在时 l1 l2 两条直线垂直 如果两条直线l1 l2的斜率存在 设为k1 k2 则有l1 l2 1 两条直线的位置关系 知识梳理 k1 k2 k1 k2 1 直线l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解 当其中一条直线的斜率不存在 而另一条的斜率为0时 l1 l2 2 两条直线的交点 2 几种距离 1 两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 之间的距离 P1P2 2 点P0 x0 y0 到直线l Ax By C 0的距离d 3 两条平行线Ax By C1 0与Ax By C2 0 其中C1 C2 间的距离d 1 直线系方程 1 与直线Ax By C 0平行的直线系方程是Ax By m 0 m R且m C 2 与直线Ax By C 0垂直的直线系方程是Bx Ay n 0 n R 2 两直线平行或重合的充要条件直线l1 A1x B1y C1 0与直线l2 A2x B2y C2 0平行或重合的充要条件是 A1B2 A2B1 0 3 两直线垂直的充要条件直线l1 A1x B1y C1 0与直线l2 A2x B2y C2 0垂直的充要条件是 4 过直线l1 A1x B1y C1 0与l2 A2x B2y C2 0的交点的直线系方程为A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 R 但不包括l2 5 点到直线与两平行线间的距离的使用条件 1 求点到直线的距离时 应先化直线方程为一般式 2 求两平行线之间的距离时 应先将方程化为一般式且x y的系数对应相等 A1A2 B1B2 0 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 当直线l1和l2斜率都存在时 一定有k1 k2 l1 l2 2 如果两条直线l1与l2垂直 则它们的斜率之积一定等于 1 3 已知直线l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 A1 B1 C1 A2 B2 C2为常数 若直线l1 l2 则A1A2 B1B2 0 5 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 6 若点A B关于直线l y kx b k 0 对称 则直线AB的斜率等于 且线段AB的中点在直线l上 1 2016 天津模拟 过点 1 0 且与直线x 2y 2 0平行的直线方程是A x 2y 1 0B x 2y 1 0C 2x y 2 0D x 2y 1 0 考点自测 答案 解析 所以所求直线方程为x 2y 1 0 2 教材改编 已知点 a 2 a 0 到直线l x y 3 0的距离为1 则a等于 答案 解析 3 已知p 直线x y 1 0与直线x my 2 0平行 q m 1 则p是q的A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件 即m 1 答案 解析 4 已知直线l1与l2 x y 1 0平行 且l1与l2的距离是 则直线l1的方程为 答案 解析 c 1 2 即c 1或c 3 直线l1的方程为x y 1 0或x y 3 0 x y 1 0或x y 3 0 5 教材改编 若直线 3a 2 x 1 4a y 8 0与 5a 2 x a 4 y 7 0垂直 则a 答案 解析 0或1 由两直线垂直的充要条件 得 3a 2 5a 2 1 4a a 4 0 解得a 0或a 1 题型分类深度剖析 题型一两条直线的平行与垂直 例1 1 设不同直线l1 2x my 1 0 l2 m 1 x y 1 0 则 m 2 是 l1 l2 的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 答案 解析 当m 2时 代入两直线方程中 易知两直线平行 即充分性成立 当l1 l2时 显然m 0 从而有 m 1 解得m 2或m 1 但当m 1时 两直线重合 不合要求 故必要性成立 故选C 2 已知直线l1 ax 2y 6 0和直线l2 x a 1 y a2 1 0 试判断l1与l2是否平行 解答 方法一当a 1时 l1 x 2y 6 0 l2 x 0 l1不平行于l2 当a 0时 l1 y 3 l2 x y 1 0 l1不平行于l2 综上可知 a 1时 l1 l2 方法二由A1B2 A2B1 0 得a a 1 1 2 0 由A1C2 A2C1 0 得a a2 1 1 6 0 故当a 1时 l1 l2 当l1 l2时 求a的值 解答 方法一当a 1时 l1 x 2y 6 0 l2 x 0 l1与l2不垂直 故a 1不成立 当a 0时 l1 y 3 l2 x y 1 0 l1不垂直于l2 当a 1且a 0时 思维升华 1 当直线方程中存在字母参数时 不仅要考虑到斜率存在的一般情况 也要考虑到斜率不存在的特殊情况 同时还要注意x y的系数不能同时为零这一隐含条件 2 在判断两直线平行 垂直时 也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 跟踪训练1已知两直线l1 x ysin 1 0和l2 2x sin y 1 0 求 的值 使得 1 l1 l2 解答 方法一当sin 0时 直线l1的斜率不存在 l2的斜率为0 显然l1不平行于l2 方法二由A1B2 A2B1 0 得2sin2 1 0 又B1C2 B2C1 0 所以1 sin 0 即sin 1 2 l1 l2 解答 因为A1A2 B1B2 0是l1 l2的充要条件 所以2sin sin 0 即sin 0 所以 k k Z 故当 k k Z时 l1 l2 题型二两条直线的交点与距离问题 例2 1 2016 长沙模拟 求经过两条直线l1 x y 4 0和l2 x y 2 0的交点 且与直线2x y 1 0垂直的直线方程为 答案 解析 x 2y 7 0 l1与l2的交点坐标为 1 3 设与直线2x y 1 0垂直的直线方程为x 2y c 0 则1 2 3 c 0 c 7 所求直线方程为x 2y 7 0 2 直线l过点P 1 2 且到点A 2 3 和点B 4 5 的距离相等 则直线l的方程为 答案 解析 x 3y 5 0或x 1 方法一当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y 2 k x 1 即kx y k 2 0 即 3k 1 3k 3 即x 3y 5 0 当直线l的斜率不存在时 直线l的方程为x 1 也符合题意 故所求直线l的方程为x 3y 5 0或x 1 即x 3y 5 0 当l过AB的中点时 AB的中点为 1 4 直线l的方程为x 1 故所求直线l的方程为x 3y 5 0或x 1 思维升华 1 求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程 先解方程组求出两直线的交点坐标 再结合其他条件写出直线方程 2 利用距离公式应注意 点P x0 y0 到直线x a的距离d x0 a 到直线y b的距离d y0 b 两平行线间的距离公式要把两直线方程中x y的系数化为相等 跟踪训练2 1 如图 设一直线过点 1 1 它被两平行直线l1 x 2y 1 0 l2 x 2y 3 0所截的线段的中点在直线l3 x y 1 0上 求其方程 解答 与l1 l2平行且距离相等的直线方程为x 2y 2 0 设所求直线方程为 x 2y 2 x y 1 0 即 1 x 2 y 2 0 又直线过 1 1 1 1 2 1 2 0 所求直线方程为2x 7y 5 0 2 正方形的中心为点C 1 0 一条边所在的直线方程是x 3y 5 0 求其他三条边所在直线的方程 解答 设与x 3y 5 0平行的一条边所在直线的方程是x 3y m 0 m 5 解得m 5 舍去 或m 7 所以与x 3y 5 0平行的边所在直线的方程是x 3y 7 0 设与x 3y 5 0垂直的边所在直线的方程是3x y n 0 解得n 3或n 9 所以与x 3y 5 0垂直的两边所在直线的方程分别是3x y 3 0和3x y 9 0 题型三对称问题 命题点1点关于点中心对称 例3过点P 0 1 作直线l 使它被直线l1 2x y 8 0和l2 x 3y 10 0截得的线段被点P平分 则直线l的方程为 答案 解析 x 4y 4 0 设l1与l的交点为A a 8 2a 则由题意知 点A关于点P的对称点B a 2a 6 在l2上 代入l2的方程得 a 3 2a 6 10 0 解得a 4 即点A 4 0 在直线l上 所以直线l的方程为x 4y 4 0 命题点2点关于直线对称 例4如图 已知A 4 0 B 0 4 从点P 2 0 射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上 最后经直线OB反射后又回到P点 则光线所经过的路程是 答案 解析 直线AB的方程为x y 4 点P 2 0 关于直线AB的对称点为D 4 2 关于y轴的对称点为C 2 0 命题点3直线关于直线的对称问题 例5 2016 泰安模拟 已知直线l 2x 3y 1 0 求直线m 3x 2y 6 0关于直线l的对称直线m 的方程 解答 在直线m上任取一点 如M 2 0 则M 2 0 关于直线l的对称点M 必在直线m 上 设对称点M a b 则 设直线m与直线l的交点为N 则 得N 4 3 又 m 经过点N 4 3 由两点式得直线m 的方程为9x 46y 102 0 思维升华 解决对称问题的方法 1 中心对称 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决 2 轴对称 点A a b 关于直线Ax By C 0 B 0 的对称点A m n 则 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 跟踪训练3已知直线l 3x y 3 0 求 1 点P 4 5 关于l的对称点 解答 设P x y 关于直线l 3x y 3 0的对称点为P x y 又PP 的中点在直线3x y 3 0上 把x 4 y 5代入 得x 2 y 7 P 4 5 关于直线l的对称点P 的坐标为 2 7 2 直线x y 2 0关于直线l对称的直线方程 解答 用 分别代换x y 2 0中的x y 化简得7x y 22 0 3 直线l关于 1 2 的对称直线 解答 在直线l 3x y 3 0上取点M 0 3 关于 1 2 的对称点M x y l关于 1 2 的对称直线平行于l k 3 对称直线方程为y 1 3 x 2 即3x y 5 0 一 平行直线系由于两直线平行 它们的斜率相等或它们的斜率都不存在 因此两直线平行时 它们的一次项系数与常数项有必然的联系 典例1求与直线3x 4y 1 0平行且过点 1 2 的直线l的方程 妙用直线系求直线方程 思想与方法系列18 因为所求直线与3x 4y 1 0平行 因此 可设该直线方程为3x 4y c 0 c 1 规范解答 思想方法指导 解依题意 设所求直线方程为3x 4y c 0 c 1 又因为直线过点 1 2 所以3 1 4 2 c 0 解得c 11 因此 所求直线方程为3x 4y 11 0 返回 二 垂直直线系由于直线A1x B1y C1 0与A2x B2y C2 0垂直的充要条件为A1A2 B1B2 0 因此 当两直线垂直时 它们的一次项系数有必要的关系 可以考虑用直线系方程求解 典例2求经过A 2 1 且与直线2x y 10 0垂直的直线l的方程 依据两直线垂直的特征设出方程 再由待定系数法求解 规范解答 思想方法指导 解因为所求直线与直线2x y 10 0垂直 所以设该直线方程为x 2y C1 0 又直线过点 2 1 所以有2 2 1 C1 0 解得C1 0 即所求直线方程为x 2y 0 返回 三 过直线交点的直线系典例3求经过两直线l1 x 2y 4 0和l2 x y 2 0的交点P 且与直线l3 3x 4y 5 0垂直的直线l的方程 可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k 直接写出方程 也可以利用过交点的直线系方程设直线方程 再用待定系数法求解 规范解答 思想方法指导 几何画板展示 解方法一解方程组 即4x 3y 6 0 方法二设直线l的方程为x 2y 4 x y 2 0 返回 即 1 x 2 y 4 2 0 又 l l3 3 1 4 2 0 解得 11 直线l的方程为4x 3y 6 0 返回 课时作业 1 设a R 则 a 1 是 直线l1 ax 2y 1 0与直线l2 x a 1 y 4 0平行 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 充分性 当a 1时 直线l1 x 2y 1 0与直线l2 x 2y 4 0平行 2 必要性 当直线l1 ax 2y 1 0与直线l2 x a 1 y 4 0平行时有a 2或1 所以 a 1 是 直线l1 ax 2y 1 0与直线l2 x a 1 y 4 0平行 的充分不必要条件 故选A 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2016 合肥模拟 已知两条直线l1 x y 1 0 l2 3x ay 2 0且l1 l2 则a等于 答案 解析 由l1 l2 可得1 3 1 a 0 a 3 13 3 2016 山东省实验中学质检 从点 2 3 射出的光线沿与向量a 8 4 平行的直线射到y轴上 则反射光线所在的直线方程为A x 2y 4 0B 2x y 1 0C x 6y 16 0D 6x y 8 0 答案 解析 由直线与向量a 8 4 平行知 过点 2 3 的直线的斜率k 所以直线的方程为y 3 x 2 其与y轴的交点坐标为 0 2 又点 2 3 关于y轴的对称点为 2 3 所以反射光线过点 2 3 与 0 2 由两点式知A正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 2017 兰州月考 一只虫子从点O 0 0 出发 先爬行到直线l x y 1 0上的P点 再从P点出发爬行到点A 1 1 则虫子爬行的最短路程是 答案 解析 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 2016 绵阳模拟 若P Q分别为直线3x 4y 12 0与6x 8y 5 0上任意一点 则 PQ 的最小值为 由题意可知 PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离 答案 解析 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 2016 厦门模拟 将一张坐标纸折叠一次 使得点 0 2 与点 4 0 重合 点 7 3 与点 m n 重合 则m n等于 答案 解析 13 由题意可知 纸的折痕应是点 0 2 与点 4 0 连线的中垂线 即直线y 2x 3 它也是点 7 3 与点 m n 连线的中垂线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 2016 忻州训练 已知两直线l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 若l1 l2 且坐标原点到这两条直线的距离相等 则a b 答案 解析 13 经检验 两种情况均符合题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 已知直线l1 ax y 1 0 直线l2 x y 3 0 若直线l1的倾斜角为 则a 若l1 l2 则a 若l1 l2 则两平行直线间的距离为 答案 解析 1 1 若l1 l2 则a 1 1 1 0 故a 1 若l1 l2 则a 1 l1 x y 1 0 两平行直线间的距离d 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 点P 2 1 到直线l mx y 3 0 m R 的最大距离是 答案 解析 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 点P为x轴上的一点 A 1 1 B 3 4 则 PA PB 的最小值是 答案 解析 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 已知两条直线l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求满足下列条件的a b的值 1 l1 l2 且直线l1过点 3 1 解答 l1 l2 a a 1 b 0 又 直线l1过点 3 1 3a b 4 0 故a 2 b 2 13 解答 直线l2的斜率存在 l1 l2 直线l1的斜率存在 k1