高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9_3 圆的方程课件 文 新人教版

9 3圆的方程 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 圆的定义与方程 知识梳理 D2 E2 4F 0 a b r 定点 定长 1 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法 大致步骤为 1 根据题意 选择标准方程或一般方程 2 根据条件列出关于a b r或D E F的方程组 3 解出a b r或D E F代入标准方程或一般方程 2 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 点M x0 y0 1 点在圆上 2 点在圆外 3 点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 4 方程x2 2ax y2 0一定表示圆 5 若点M x0 y0 在圆x2 y2 Dx Ey F 0外 则x y Dx0 Ey0 F 0 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 确定圆的几何要素是圆心与半径 2 已知点A x1 y1 B x2 y2 则以AB为直径的圆的方程是 x x1 x x2 y y1 y y2 0 3 方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是A C 0 B 0 D2 E2 4AF 0 1 教材改编 将圆x2 y2 2x 4y 1 0平分的直线是A x y 1 0B x y 3 0C x y 1 0D x y 3 0 考点自测 答案 解析 圆心是 1 2 所以将圆心坐标代入检验选项C满足 2 方程x2 y2 mx 2y 3 0表示圆 则m的范围是 答案 解析 3 2015 北京 圆心为 1 1 且过原点的圆的方程是A x 1 2 y 1 2 1B x 1 2 y 1 2 1C x 1 2 y 1 2 2D x 1 2 y 1 2 2 答案 解析 圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 4 教材改编 圆C的圆心在x轴上 并且过点A 1 1 和B 1 3 则圆C的方程为 答案 解析 x 2 2 y2 10 设圆心坐标为C a 0 点A 1 1 和B 1 3 在圆C上 CA CB 解得a 2 圆心为C 2 0 圆C的方程为 x 2 2 y2 10 5 2016 浙江 已知a R 方程a2x2 a 2 y2 4x 8y 5a 0表示圆 则圆心坐标是 半径是 答案 解析 2 4 由已知方程表示圆 则a2 a 2 解得a 2或a 1 当a 2时 方程不满足表示圆的条件 故舍去 当a 1时 原方程为x2 y2 4x 8y 5 0 化为标准方程为 x 2 2 y 4 2 25 表示以 2 4 为圆心 半径为5的圆 5 题型分类深度剖析 题型一求圆的方程 x 2 2 y2 9 答案 解析 因为圆C的圆心在x轴的正半轴上 设C a 0 且a 0 所以圆C的方程为 x 2 2 y2 9 答案 解析 由题意知圆过 4 0 0 2 0 2 三点 4 0 0 2 两点的垂直平分线方程为y 1 2 x 2 思维升华 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程 依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于D E F的方程组 进而求出D E F的值 跟踪训练1 2016 株洲一模 圆心在直线2x y 7 0上的圆C与y轴交于A 0 4 B 0 2 两点 则圆C的标准方程为A x 2 2 y 3 2 5B x 2 2 y 3 2 5C x 2 2 y 3 2 5D x 2 2 y 3 2 5 答案 解析 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 故圆C的标准方程为 x 2 2 y 3 2 5 题型二与圆有关的最值问题 例2已知点 x y 在圆 x 2 2 y 3 2 1上 求x y的最大值和最小值 解答 几何画板展示 设t x y 则y x t t可视为直线y x t在y轴上的截距 x y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值 即直线与圆相切时在y轴上的截距 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值 即直线与圆相切时的斜率 引申探究 解答 几何画板展示 求它的最值可视为求点 x y 到定点 1 2 的距离的最值 可转化为圆心 2 3 到定点 1 2 的距离与半径的和或差 又圆心到定点 1 2 的距离为 解答 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 1 与圆有关的长度或距离的最值问题的解法 一般根据长度或距离的几何意义 利用圆的几何性质数形结合求解 2 与圆上点 x y 有关代数式的最值的常见类型及解法 形如u 型的最值问题 可转化为过点 a b 和点 x y 的直线的斜率的最值问题 形如t ax by型的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 形如 x a 2 y b 2型的最值问题 可转化为动点到定点 a b 的距离平方的最值问题 跟踪训练2已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求 解答 如图 方程x2 y2 4x 1 0表示以点 2 0 为圆心 以为半径的圆 2 y x的最小值 解答 设y x b 则y x b 当且仅当直线y x b与圆切于第四象限时 在y轴上的截距b取最小值 3 x2 y2的最大值和最小值 解答 x2 y2是圆上的点与原点的距离的平方 故连接OC 与圆交于B点 并延长交圆于C 则 题型三与圆有关的轨迹问题 例3 2017 潍坊调研 已知圆x2 y2 4上一定点A 2 0 B 1 1 为圆内一点 P Q为圆上的动点 1 求线段AP中点的轨迹方程 解答 设AP的中点为M x y 由中点坐标公式可知 P点坐标为 2x 2 2y 因为P点在圆x2 y2 4上 所以 2x 2 2 2y 2 4 故线段AP中点的轨迹方程为 x 1 2 y2 1 几何画板展示 2 若 PBQ 90 求线段PQ中点的轨迹方程 解答 设PQ的中点为N x y 在Rt PBQ中 PN BN 设O为坐标原点 连接ON 则ON PQ 所以 OP 2 ON 2 PN 2 ON 2 BN 2 所以x2 y2 x 1 2 y 1 2 4 故线段PQ中点的轨迹方程为x2 y2 x y 1 0 几何画板展示 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时 根据题设条件的不同常采用以下方法 1 直接法 直接根据题目提供的条件列出方程 2 定义法 根据圆 直线等定义列方程 3 几何法 利用圆的几何性质列方程 4 代入法 找到要求点与已知点的关系 代入已知点满足的关系式等 跟踪训练3 2016 天津模拟 设定点M 3 4 动点N在圆x2 y2 4上运动 以OM ON为两边作平行四边形MONP 求点P的轨迹 解答 几何画板展示 如图所示 设P x y N x0 y0 由于平行四边形的对角线互相平分 又N x 3 y 4 在圆上 故 x 3 2 y 4 2 4 因此所求轨迹为圆 x 3 2 y 4 2 4 典例在平面直角坐标系xOy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆C上 求圆C的方程 利用几何性质巧设方程求半径 思想与方法系列19 本题可采用两种方法解答 即代数法和几何法 1 一般解法 代数法 可以求出曲线y x2 6x 1与坐标轴的三个交点 设圆的方程为一般式 代入点的坐标求解析式 2 巧妙解法 几何法 利用圆的性质 知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上 从而设圆的方程为标准式 简化计算 显然几何法比代数法的计算量小 因此平时训练多采用几何法解题 规范解答 思想方法指导 解一般解法 代数法 曲线y x2 6x 1与y轴的交点为 0 1 与x轴的交点为 3 2 0 3 2 0 设圆的方程是x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 故圆的方程是x2 y2 6x 2y 1 0 巧妙解法 几何法 曲线y x2 6x 1与y轴的交点为 0 1 与x轴的交点为 3 2 0 3 2 0 故可设C的圆心为 3 t 则有32 t 1 2 2 2 t2 解得t 1 所以圆C的方程为 x 3 2 y 1 2 9 课时作业 1 2016 南昌模拟 已知点A 1 1 B 1 1 则以线段AB为直径的圆的方程是A x2 y2 2B x2 y C x2 y2 1D x2 y2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 AB的中点坐标为 0 0 圆的方程为x2 y2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 昆明一模 方程 x 1 所表示的曲线是A 一个圆B 两个圆C 半个圆D 两个半圆 答案 解析 故原方程表示两个半圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2017 福州质检 设圆的方程是x2 y2 2ax 2y a 1 2 0 若0 a 1 则原点与圆的位置关系是A 原点在圆上B 原点在圆外C 原点在圆内D 不确定 答案 解析 将圆的一般方程化成标准方程为 x a 2 y 1 2 2a 因为0 a 1 所以 0 a 2 0 1 2 2a a 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 点P 4 2 与圆x2 y2 4上任一点连线的中点的轨迹方程是A x 2 2 y 1 2 1B x 2 2 y 1 2 4C x 4 2 y 2 2 4D x 2 2 y 1 2 1 答案 解析 设圆上任一点坐标为 x0 y0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知圆M的圆心在x轴上 且圆心在直线l1 x 2的右侧 若圆M截直线l1所得的弦长为2 且与直线l2 2x y 4 0相切 则圆M的方程为 答案 解析 由已知 可设圆M的圆心坐标为 a 0 a 2 A x 1 2 y2 4B x 1 2 y2 4C x2 y 1 2 4D x2 y 1 2 4 所以圆M的方程为 x 1 2 y2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 汉中模拟 若圆x2 y2 2x 6y 5a 0关于直线y x 2b成轴对称图形 则a b的取值范围是A 4 B 0 C 4 D 4 答案 解析 圆的方程可化为 x 1 2 y 3 2 10 5a 可知圆心为 1 3 且10 5a 0 即a 2 圆关于直线y x 2b对称 点 1 3 在直线上 则b 2 a b 2 a 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2016 南昌模拟 若圆C经过坐标原点与点 4 0 且与直线y 1相切 则圆C的方程是 答案 解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点 0 0 和 4 0 所以设圆心为 2 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 过点P 1 1 的直线 将圆形区域 x y x2 y2 4 分为两部分 使得这两部分的面积之差最大 则该直线的方程为 答案 解析 x y 2 0 当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时 符合条件 圆心O与点P连线的斜率k 1 所求直线方程为y 1 x 1 即x y 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 圆心在直线x 2y 0上的圆C与y轴的正半轴相切 圆C截x轴所得弦的长为2 则圆C的标准方程为 答案 解析 x 2 2 y 1 2 4 设圆C的圆心为 a b b 0 由题意得a 2b 0 且a2 2 b2 解得a 2 b 1 所求圆的标准方程为 x 2 2 y 1 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 深圳模拟 已知两点A 1 0 B 0 2 点P是圆 x 1 2 y2 1上任意一点 则 PAB面积的最大值与最小值分别是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 已知圆C经过P 4 2 Q 1 3 两点 且在y轴上截得的线段的长为4 半径小于5 1 求直线PQ与圆C的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意知直线PQ的方程为x y 2 0 设圆心C a b 半径为r 即y x 1 所以b a 1 知r2 12 a2 可得 a 1 2 b 3 2 12 a2 由 得a 1 b 0或a 5 b 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当a 1 b 0时 r2 13 满足题意 当a 5 b 4时 r2 37 不满足题意 故圆C的方程为 x 1 2 y2 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若直线l PQ 且l与圆C交于点A B 且以线段AB为直径的圆经过坐标原点 求直线l的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设直线l的方程为y x m m 2 A x1 m x1 B x2 m x2 x1x2 m x1 m x2 0 化简得2x1x2 m x1 x2 m2 0 2x2 2 m 1 x m2 12 0 1 2 3 4 5 6