高中数学选修2-2推理与证明数学归纳法.docx

学习目标1.了解数学归纳法原理.2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识点一归纳法及分类由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法，归纳法可以分为完全归纳法和不完全归纳法，完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象；不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径.完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后，得出一般结论的推理方法，又叫枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法.思考下面的各列数都依照一定规律排列，请在括号里填上适当的数.(1)1,5,9,13,17，()；(2)，1,1 ，2 ，3 ，()；(3)，()；(4)32,31,16,26，()，()，4,16,2,11.答案(1)21；(2)；(3)；(4)821.知识点二数学归纳法1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立.2.应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题.(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3)步骤的证明必须以“假设nk(kn0，kN*)时命题成立”为条件.思考(1)对于数列an，已知a11，an1(nN*)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？(2)多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答案(1)a11，a2，a3，a4.猜想数列的通项公式为an.不能保证猜想一定正确，需要严密的证明.(2)第一块骨牌倒下；任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.条件事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K1块也倒下.题型一用数学归纳法证明恒成立例1求证：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*).证明(1)当n1时，左边112，右边2112，左边右边，等式成立.(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，那么，当nk1时，左边(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)(k1)(k2)(k3)(kk)2k13(2k1)(2k1)22k113(2k1)2(k1)1右边.当nk1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切nN*，原等式均成立.反思与感悟用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由nk到nk1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项.跟踪训练1用数学归纳法证明123252(2n1)2n(4n21)(nN*).证明(1)当n1时，左边12，右边1(4121)1，左边右边，等式成立.(2)假设当nk(kN*，k1)时，等式成立，即123252(2k1)2k(4k21)，则当nk1时，123252(2k1)2(2k1)2k(4k21)(2k1)2k(2k1)(2k1)(2k1)2(2k1)k(2k1)3(2k1)(2k1)(2k25k3)(2k1)(k1)(2k3)(k1)(4k28k3)(k1)4(k1)21，即当nk1时，等式成立.由(1)(2)知，对一切xN*等式成立.题型二证明不等式问题例2已知an为等比数列且an2n1，记bn2(log2an1)(nN*)，用数学归纳法证明对任意的nN*，不等式成立.证明由已知条件可得bn2n(nN*)，所证不等式为.(1)当n1时，左边，右边，左边右边，不等式成立.(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立.即，则当nk1时，.要证当nk1时，不等式成立，只需证，即证，由基本不等式，得成立，成立，当nk1时，不等式成立.由(1)(2)可知，对一切nN*，原不等式均成立.反思与感悟用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用.跟踪训练2用数学归纳法证明对一切nN*,1 .证明(1)当n1时，左边1，右边1，不等式成立.(2)假设当nk时，不等式成立，即1，则当nk1时，要证1，只需证.因为0，所以，即1，所以当nk1时不等式成立.由(1)(2)知，不等式对一切nN*都成立.题型三用数学归纳法证明整除问题例3求证nN*时，an1(a1)2n1能被a2a1整除.证明(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立.(2)假设当nk(kN*，k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2a1整除，故当nk1时命题成立.由(1)(2)知，对任意nN*，命题成立.反思与感悟用数学归纳法证明数的整除性问题时，关键是从当nk1时的式子中拼凑出当nk时能被某数整除的式子，并将剩余式子转化为能被该数整除的式子.跟踪训练3用数学归纳法证明对于任意非负整数n，An11n2122n1能被133整除.证明(1)当n0时，A011212133，能被133整除.(2)假设当nk(k0)时，Ak11k2122k1能被133整除，那么当nk1时，Ak111k3122k31111k2122122k11111k211122k1(12211)122k111(11k2122k1)133122k1，能被133整除.由(1)(2)可知，对于任意非负整数n，An都能被133整除.题型四用数学归纳法解决平面几何问题例4已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个平面把空间分成f(n)n(n1)2部分.证明(1)当n1时，1个平面把空间分成2部分，而f(1)1(11)22(部分)，所以命题正确.(2)假设当nk(kN*)时，命题成立，即k个符合条件的平面把空间分为f(k)k(k1)2(部分)，当nk1时，第k1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k部分，故f(k1)f(k)2kk(k1)22kk(k12)2(k1)(k1)12(部分)，即当nk1时，命题也成立.根据(1)(2)，知n个符合条件的平面把空间分成f(n)n(n1)2部分.反思与感悟用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k1之间的递推关系.跟踪训练4平面内有n(nN*，n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f(n).证明(1)当n2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)2(21)1，当n2时，命题成立.(2)假设当nk(kN*，k2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)k(k1)，那么，当nk1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)k(k1)，l与其他k条直线的交点个数为k，从而k1条直线共有f(k)k个交点，即f(k1)f(k)kk(k1)kk(k12)k(k1)(k1)(k1)1，当nk1时，命题成立.由(1)(2)可知，对任意nN*(n2)命题都成立.因弄错从nk到nk1的增加项致误例5用数学归纳法证明1(nN*).错解当n1时，左边1，右边1，显然左边右边，即n1时不等式成立.假设nk(k1，且kN*)时不等式成立，即1.那么，当nk1时，1，即nk1时，不等式成立.由得1(nN*)成立.错因分析以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从nk到nk1时增加的不止一项，应是，共有2k项，并且也是错误的.正解当n1时，左边1，右边1，所以左边右边，即n1时不等式成立.假设nk(k1，kN*)时不等式成立，即1，那么，当nk1时，有1.所以nk1时，不等式成立.由可知，nN*时1.防范措施当nk1时，可以写出相应增加的项，然后再结合数学归纳法证明.1.用数学归纳法证明1aa2an(a1，nN*)，在验证当n1时，左边计算所得的式子是()A.1 B.1aC.1aa2 D.1aa2a4答案B解析当n1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是1a，故选B.2.用数学归纳法证明不等式(n2)的过程中，由nk递推到nk1时，不等式的左边()A.增加了一项B.增加了两项，C.增加了两项，又减少了一项D.增加了一项，又减少了一项答案C解析nk时，左边为，nk1时，左边为，比较可知C正确.3.已知f(n)1(nN*)，证明不等式f(2n)时，f(2k1)比f(2k)多的项数是_.答案2k解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)1，而f(2k1)1.因此f(2k1)比f(2k)多了2k项.4.用数学归纳法证明3nn3(n3，nN*)第一步应验证_.答案n3时是否成立解析n的最小值为3，所以第一步验证n3时是否成立.5.已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为_.答案Sn解析S11，S2，S3，S4，猜想Sn.1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可.有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.2.归纳假设的作用.在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设.3.利用归纳假设的技巧.在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.4.数学归纳法的适用范围.数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项及前n项和等问题中.一、选择题1.某个与正整数有关的命题：如果当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立.现已知n5时命题不成立，那么可以推得()A.当n4时命题不成立B.当n6时命题不成立C.当n4时命题成立D.当n6时命题成立答案A解析因为当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立，所以假设当n4时命题成立，那么n5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n4时命题不成立.2.满足122334n(n1)3n23n2的自然数n等于()A.1 B.1或2 C.1,2,3 D.1,2,3,4答案C解析当n1,2,3时满足，当n4时，左边1223344540，右边34234238.所以左边右边，即n4不满足.3.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)()A. B. C. D.2答案B解析由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形，故f(k1)f(k).4.k(k3，kN*)棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面个数f(k1)为()A.f(k)k1 B.f(k)k1C.f(k)k D.f(k)k2答案A解析三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(020(31)；五棱柱有5个对角面(232(41)；六棱柱有9个对角面(545(51)；.猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱有f(k)k1个对角面.5.用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取()A.7 B.8 C.9 D.10答案B解析左边12，代入验证可知n的最小值是8.6.用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，从k到k1左端需要增乘的代数式为()A.2k1 B.2(2k1)C. D.答案B解析nk1时，左端为(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(2k2)(k1)(k2)(kk)(2k1)2，应增乘2(2k1).二、填空题7.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1时，表达式为_.答案1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)28.用数学归纳法证明n35n能被6整除的过程中，当nk1时，式子(k1)35(k1)应变形为_.答案(k35k)3k(k1)6解析(k1)35(k1)k313k23k5k5(k35k)3k23k6(k35k)3k(k1)6.k(k1)为偶数，3k(k1)能被6整除，(k1)35(k1)应变形为(k35k)3k(k1)6.9.用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程中，第二步假设当nk(kN*)时等式成立，则当nk1时应得到的式子为_.答案12222k12k2k12k解析由nk到nk1等式的左边增加了一项.10.用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程如下：(1)当n1时，左边1，右边2111，等式成立.(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k12k2k11.所以当nk1时等式也成立.由此可知对于任何nN*，等式都成立.上述证明的错误是_.答案未用归纳假设解析本题在由nk成立，证nk1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符.三、解答题11.已知f(n)(2n7)3n9，存在自然数m，使得对任意正整数n，f(n)被m整除，猜测出最大的m的值，并用数学归纳法证明你的猜测是正确的.解f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明如下：当n1,2时，由上得证.假设当nk(k2)时，f(k)(2k7)3k9能被36整除，则当nk1时，f