陕西省汉中市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析.doc

2015-2016学年陕西省汉中市高三（上）期末数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z1=1+i，z2=32i，则复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A58B88C143D1763两向量，则在方向上的投影为（）A（1，15）B（20，36）CD4已知命题p：0a4，命题q：函数y=ax2ax+1的值恒为正，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5函数y=esinx（x）的大致图象为（）ABCD6已知某名校高三学生有2000名，在某次模拟考试中数学成绩服从正态分布N，已知P=0.45，若年段按分层抽样的方式从中抽出100份试卷进行分析研究，则应从140分以上的试卷中抽（）A4份B5份C8份D10份7某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）AB6CD8若椭圆和双曲线C：2x22y2=1有相同的焦点，且该椭圆经过点，则椭圆的方程为（）ABCD9已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）的图象如图所示，为得到g（x）=cosx的图象，则只要将f（x）的图象（）A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度10设a=dx，则二项式（x2）5的展开式中x的系数为（）A40B40C80D8011若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A3B2C2D312设函数f（x）=（其中aR）的值域为S，若1，+）S，则a的取值范围是（）A（，）B1，（，2C（，）1，2D（，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为14点M到F（4，0）距离比它到直线x+6=0距离小2，则M的轨迹方程为15设等比数列an的公比为q，若Sn，Sn1，Sn+1成等差数列，则=16某工厂接到一任务，需加工6000个P型零件和2000个Q型零件这个厂有214名工人，他们每一个人用以加工5个P型零件的时间可以加工3个Q型零件，将这些工人分成两组同时工作，每组加工一种型号的零件为了在最短时间内完成这批任务，则加工P型零件的人数为人三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=2cosxsin（x+）（I）求f（x）的最小正周期；（）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，sinB=2sinA，且ABC的面积为2，求c的值18如图在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB侧面BB1C1C，BC=，AB=CC1=2，BCC1=，点E在棱BB1上（1）求C1B的长，并证明C1B平面ABC；（2）若BE=BB1，试确定的值，使得二面角AC1EC的余弦值为19为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为Sn”（1）求S6=20且Si0（i=1，2，3）的概率；（2）记X=|S5|，求X的分布列，并计算数学期望E（X）20已知直线l：，圆O：x2+y2=5，椭圆E：（ab0）的离心率，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等（1）求椭圆E的方程；（2）过圆O上任意一点作两条直线与椭圆E分别只有唯一一个公共点，求证：这两直线斜率之积为定值21已知函数f（x）=ax3+2xa，（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若a=n且nN*，设xn是函数fn（x）=nx3+2xn的零点（i）证明：n2时存在唯一xn且；（i i）若bn=（1xn）（1xn+1），记Sn=b1+b2+bn，证明：Sn1请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1：几何证明选讲22在ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D（1）求证：；（2）若AC=3，求APAD的值选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，已知曲线，以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：（2cossin）=6将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程【选修4-5：不等式选讲】24已知函数f（x）=|x+a|+|x2|（1）当a=3时，求不等式f（x）3的解集；（2）若f（x）|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围2015-2016学年陕西省汉中市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z1=1+i，z2=32i，则复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，得到复数对应的点，则答案可求【解答】解：z1=1+i，z2=32i，=i在复平面内对应的点为（，），在复平面内对应的点位于第四象限故选：D2在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A58B88C143D176【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和【分析】根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11= 运算求得结果【解答】解：在等差数列an中，已知a4+a8=16，a1+a11=a4+a8=16，S11=88，故选B3两向量，则在方向上的投影为（）A（1，15）B（20，36）CD【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用平面向量的数量积、向量的投影定义即可得出【解答】解：，=4（5）+（3）（12）=16， =13，在方向上的投影为=，故选：C4已知命题p：0a4，命题q：函数y=ax2ax+1的值恒为正，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】对于命题q：当a=0时，函数y=ax2ax+1=1，恒为正，满足条件；当a0时，可得，解得a即可判断出【解答】解：对于命题q：当a=0时，函数y=ax2ax+1=1，恒为正，满足条件；当a0时，可得，解得0a4p是q的充分不必要条件故选：A5函数y=esinx（x）的大致图象为（）ABCD【考点】抽象函数及其应用【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断【解答】解：由于f（x）=esinx，f（x）=esin（x）=esinxf（x）f（x），且f（x）f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=esinx取得最大值，排除B；故选：C6已知某名校高三学生有2000名，在某次模拟考试中数学成绩服从正态分布N，已知P=0.45，若年段按分层抽样的方式从中抽出100份试卷进行分析研究，则应从140分以上的试卷中抽（）A4份B5份C8份D10份【考点】分层抽样方法【分析】根据考试的成绩服从正态分布N得到考试的成绩关于=120对称，根据P=0.45，得到P（140）=0.05，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数【解答】解：由题意，考试的成绩服从正态分布N考试的成绩关于=120对称，P=0.45，P=20.45=0.9，P（140）=P（100）=（10.452）=0.05，该班数学成绩在140分以上的人数为0.05100=5故选：B7某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）AB6CD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据三视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积，再相加【解答】解：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为2，圆锥的高为2，圆柱的高为1，几何体的体积V=V半圆锥+V半圆柱=222+221=故选C8若椭圆和双曲线C：2x22y2=1有相同的焦点，且该椭圆经过点，则椭圆的方程为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的c=1，再由椭圆的定义，运用两点的距离公式计算可得a=2，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程【解答】解：双曲线C：2x22y2=1的焦点为（1，0），（1，0），即有椭圆的c=1，由椭圆的定义可得2a=+=4，解得a=2，b=，即有椭圆的方程为+=1故选：B9已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）的图象如图所示，为得到g（x）=cosx的图象，则只要将f（x）的图象（）A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数的图象求出函数的周期，然后求出，通过函数图象经过的特殊点求出，由函数y=Asin（x+）的图象变换即可得解【解答】解：由函数的图象可知函数的周期为：T=4（）=，所以=2，因为函数的图象经过（，0），所以：sin（2+）=k，kZ，可解得：=k，kZ由于：|，可得：=，所以：f（x）=sin（2x+）=cos（2x+）=cos2（x），g（x）=cos2x，所以，要得到g（x）=cosx的图象，则只要将f（x）的图象向左平移个单位长度即可故选：B10设a=dx，则二项式（x2）5的展开式中x的系数为（）A40B40C80D80【考点】二项式系数的性质【分析】先求出定积分a的值，再利用二项展开式的通项公式，令x的指数等于1，求出r的值，即可计算结果【解答】解：a=dx=lnx=lne2ln1=20=2，（x2）5=（x2）5的展开式的通项公式为：Tr+1=x2（5r）=（2）rx103r，令103r=1，解得r=3，（x2）5的展开式中含x项的系数为（2）3=80故选：D11若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A3B2C2D3【考点】棱锥的结构特征【分析】由四棱锥的体积为9可得到底面边长a与高h的关系，作出图形，则球心O在棱锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径R的表达式，将问题转化为求R何时取得最小值的问题【解答】解：设底面边长AB=a，棱锥的高SM=h，V棱锥SABCD=a2h=9，a2=，正四棱锥内接于球O，O在直线SM上，设球O半径为R，（1）若O在线段SM上，如图一，则OM=SMSO=hR，（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OM=SOSM=Rh，SM平面ABCD，OMB是直角三角形，OM2+MB2=OB2，OB=R，MB=BD=a，（hR）2+=R2，或（Rh）2+=R22hR=h2+，即R=+=+=3=当且仅当=取等号，即h=3时R取得最小值故选：A12设函数f（x）=（其中aR）的值域为S，若1，+）S，则a的取值范围是（）A（，）B1，（，2C（，）1，2D（，+）【考点】函数的值域【分析】对a=0，a，a0分类求出分段函数的值域S，结合1，+）S，由两集合端点值间的关系列不等式求得a的取值范围【解答】解：a=0，函数f（x）=，函数的值域为S=（0，+），满足1，+）S，a0，当x0时，f（x）=asinx+22a，2+a；当x0时，f（x）=x2+2a（2a，+）若0，f（x）的值域为（2a，+），由1，+）S，得2a1，0；若，即，f（x）的值域为2a，+），由1，+）S，得2a1，1a2；若2+a2a，即a2，f（x）的值域为2a，2+a（2a，+），由1，+）S，得2a1，a；a0，当x0，f（x）=x2+2a2a，此时一定有1，+）S综上，满足1，+）S的a的取值范围是（，）1，2故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=3x+z，平移直线y=3x+z，由图象可知当直线y=3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=3x+z的截距最小，此时z最小此时z的最小值为z=03+1=1，故答案为：114点M到F（4，0）距离比它到直线x+6=0距离小2，则M的轨迹方程为y2=16x【考点】点到直线的距离公式【分析】由题意得 点M的轨迹是以F为焦点，以直线x+4=0为准线的抛物线，设方程为y2=2px，则=4，求得p值，即得抛物线方程【解答】解：由题意得点M到F（4，0）的距离和它到直线x+4=0的距离相等，点M的轨迹是以F为焦点，以直线x+4=0为准线的抛物线，设方程为y2=2px，则=4，p=8，故点M的轨迹方程是y2=16x，故答案为：y2=16x15设等比数列an的公比为q，若Sn，Sn1，Sn+1成等差数列，则=4【考点】等比数列的通项公式【分析】由已知得2Sn1=Sn+Sn+1=Sn1+an+Sn1+an+an+1，从而得到q=2，由此能求出的值【解答】解：等比数列an的公比为q，Sn，Sn1，Sn+1成等差数列，Sn、Sn1、Sn+1成等差数列，则2Sn1=Sn+Sn+1=Sn1+an+Sn1+an+an+1，an+1=2an，q=2，=q2=（2）2=4故答案为：416某工厂接到一任务，需加工6000个P型零件和2000个Q型零件这个厂有214名工人，他们每一个人用以加工5个P型零件的时间可以加工3个Q型零件，将这些工人分成两组同时工作，每组加工一种型号的零件为了在最短时间内完成这批任务，则加工P型零件的人数为137人【考点】根据实际问题选择函数类型；简单线性规划【分析】设最短加工时间为x，建立方程关系进行求解即可【解答】解：设最短加工时间为x，则加工P型零件的人数为=，则加工Q型零件的人数为，则满足+=214，即=214，即=214，则=，则加工P型零件的人数为=1200=137.57，故加工P型零件的人数为137人，故答案为：137三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=2cosxsin（x+）（I）求f（x）的最小正周期；（）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，sinB=2sinA，且ABC的面积为2，求c的值【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法【分析】（I）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出的值，即可确定出f（x）的最小正周期；（）由f（C）=1确定出C的度数，sinB=2sinA利用正弦定理化简得到b=2a，利用三角形面积公式列出关系式，把sinC与已知面积代入求出ab的值，联立求出a与b的值，利用余弦定理求出c的值即可【解答】解：（I）f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，=2，f（x）的最小正周期为；（）f（C）=sin（2C+）+=1，sin（2C+）=，2C+，2C+=，即C=，sinB=2sinA，b=2a，ABC面积为2，absin=2，即ab=8，联立，得：a=2，b=4，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC=12，即c=218如图在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB侧面BB1C1C，BC=，AB=CC1=2，BCC1=，点E在棱BB1上（1）求C1B的长，并证明C1B平面ABC；（2）若BE=BB1，试确定的值，使得二面角AC1EC的余弦值为【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）由余弦定理，得C1B=，由勾股定理得C1BBC由线面垂直得ABBC1，由此能证明C1B平面ABC（2）以B为空间坐标系的原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当=时，二面角AC1EC的余弦值为【解答】解：（1）因为BC=，CC1=BB1=2，BCC1=，在BCC1中，由余弦定理，得C1B=，所以C1B2+BC2=CC12，即C1BBC又AB侧面BCC1B1，故ABBC1，又CBAB=B，所以C1B平面ABC （2）由（1）知，BC，BA，BC1两两垂直，以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（，0，0），=（0，2，），=+=+=（，0，），设平面AC1E的一个法向量为=（x，y，z），则，令z=，得=（，1，），平面C1EC的一个法向量=（0，1，0），BE=BB1，确定的值，使得二面角AC1EC的余弦值为，cos=，解得，当=时，二面角AC1EC的余弦值为19为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为Sn”（1）求S6=20且Si0（i=1，2，3）的概率；（2）记X=|S5|，求X的分布列，并计算数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）当S6=20时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个记回答每个问题正确的概率为p，则，同时回答每个问题错误的概率为，由此能求出S6=20且Si0（i=1，2，3）的概率（2）由X=|S5|可知X的取值为10，30，50，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）【解答】解：（1）当S6=20时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个记回答每个问题正确的概率为p，则，同时回答每个问题错误的概率为故所求概率为：（2）由X=|S5|可知X的取值为10，30，50可有，故X的分布列为：X103050PE（X）=20已知直线l：，圆O：x2+y2=5，椭圆E：（ab0）的离心率，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等（1）求椭圆E的方程；（2）过圆O上任意一点作两条直线与椭圆E分别只有唯一一个公共点，求证：这两直线斜率之积为定值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）求得圆心到直线的距离，运用弦长公式，由离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设过P的椭圆E的切线l0的方程为yy0=k（xx0），代入椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，化简整理，再由韦达定理，即可得到斜率之积为定值【解答】解：（1）设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d=，则l被圆O截得的弦长为2=2，所以b=由题意得=，且a2b2=c2，a2=3，b2=2，椭圆E的方程为+=1；（2）过P（x0，y0）的直线与椭圆E分别只有唯一的公共点，设过P的椭圆E的切线l0的方程为yy0=k（xx0），整理得y=kx+y0kx0，联立直线l0与椭圆E的方程得，消去y得2kx+（y0kx0）2+3x26=0，整理得（3+2k2）x2+4k（y0kx0）x+2（kx0y0）26=0，l0与与椭圆E分别只有唯一的公共点（即与椭圆E相切），=4k（y0kx0）24（3+2k2）2（kx0y0）26=0，整理得（2x）k2+2x0y0k（y3）=0，设满足题意的与椭圆E分别只有唯一的公共点的直线的斜率分别为k1，k2，则k1k2=点P在圆O上，x02+y02=5，k1k2=1两条切线斜率之积为121已知函数f（x）=ax3+2xa，（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若a=n且nN*，设xn是函数fn（x）=nx3+2xn的零点（i）证明：n2时存在唯一xn且；（i i）若bn=（1xn）（1xn+1），记Sn=b1+b2+bn，证明：Sn1【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）对f（x）求导得到单调区间（）（i）由（）得，fn（x）=nx3+2xn在R上单调递增，证明fn（）=即可（ii）利用数列裂项求和和不等式放缩技巧证明即可【解答】解：（）f（x）=3ax2+2，若a0，则f（x）0，函数f（x）在R上单调递增；若a0，令f（x）0，或，函数f（x）的单调递增区间为和；（）（i）由（）得，fn（x）=nx3+2xn在R上单调递增，又fn（1）=n+2n=20，fn（）=当n2时，g（n）=n2n10，n2时存在唯一xn且（i i）当n2时，（零点的区间判定），（数列裂项求和），又f1（x）=x3+2x1，（函数法定界），又，（不等式放缩技巧）命题得证请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1：几何证明选讲2