如何认识线性规划实际问题中有关最优解的精确问题.doc

如何认识线性规划实际问题中有关最优解的精确问题课本线性规划第二节，提到两个实际问题，一个要求将最优解精确到0.1，一个要求将最优解是整数，如果说师生们对例4的答案还可接受的话，那么，例3到最后四舍五入式的解答实在让人难以把握，况且最优解应为（12.3，34.5），那么关于这种最优解需要得到精确的题目有没有统一的解答步骤，我的回答是有。在实际问题中，可行域一般都是一整片区域不存在间断现象，所以题目所要求的最优解无论精确到0.1还是精确到0.01，符合要求的最优解都确实存在在可行域中，我们要做的应该是把它找出来，而不是通过任何手段去精确。如何才能把它找出来呢 ？我的办法是，不考虑x、y需要精确的要求，先依其他条件列出不等式组，作出可行域，求出符合题中其他条件的最优解，然后看此最优解是否符合题目要求，若符合，则即为所求解若不符合，则应继续滑动参照线，求出经过可行域内的符合要求的且与原点距离最远（或最近）的点的直线，在该线经过可行域的部分上寻找最优解即可。具体操作请看以下示范课本例3、 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t。每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t甲种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t。甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？分析：将已知数据列成下表：产品消耗量资源甲产品（1t）乙产品（1t）资源限额（1t）A种矿石（t）104300B种矿石（t）54200煤（t）49360利润（元）6001000解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，那么5x+4y=2004x+9y=3603x+5y=050904010x+4y=30030o40yx75Z=600x+1000y作出以上不等式组的可行域如下作直线l：600x+1000y=0 即直线l：3x+5y=0把直线l向右上方平移，使其划过可行域，此时3x+5y0当直线经过点M时3x+5y达到最大,即z也达到最大，此时3x+5y=209.655,若要将最优解精确到0.1，需将直线向回平移到3x+5y=209.6由 得到3x+5y=209.6与可行域左边界的交点A（12.343,34.514）由 得到3x+5y=209.6与可行域右边界的交点B（12.431,34.462）可知有可能成为最优解的点的横坐标为12.4 代入3x+5y=209.6得到纵坐标约为34.48，不符合题目精确到0.1要求继续将直线向回平移到3x+5y=209.5 由得到3x+5y=209.5与可行域左边界的交点C（12.214,34.571） 由 得到3x+5y=209.5与可行域右边界的交点D(12.462,34.423) ，可知有可能成为最优解的点的横坐标为12.3、12.4 ，将12.3代入3x+5y=209.5得到纵坐标约为34.52，将12.4代入3x+5y=209.5得到纵坐标约为34.46，均不符合题目精确到0.1要求继续将直线向回平移到3x+5y=209.4 由得到3x+5y=209.4与可行域左边界的交点C（12.086,34.6284） 由 得到3x+5y=209.4与可行域右边界的交点D(12.4923，34.3846) ，可知有可能成为最优解的点的横坐标为12.1、12.2、12.3、12.4 ，将12.1代入3x+5y=209.4得到纵坐标约为34.62，将12.2代入3x+5y=209.4得到纵坐标约为34.56，将12.3代入3x+5y=209.4得到纵坐标约为34.5，将12.4代入3x+5y=209.4得到纵坐标约为34.44，其中只有（12.3，34.5 ）符合要求。所以符合题目要求的最优解只有（12.3，34.5 ）答：应生产甲种产品12.3吨，乙种产品34.5吨，能使利润总额达到最大。 课本例 4、 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使所用钢板张数最少。解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则x+y=122x+y=1527Ax+y11.215x+3y=27o7.518C(4,8)B(3,9)x+2y=18x+y=09x作出可行域如下目标函数为 z=x+y作出在一组平行线 x+y=t 中（t为参数 ）经过可行域且横截距最大的直线，此直线经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的焦点A，直线方程为x+y=11.2由于都不是整数，而最优解(x,y)中，x、y必须都是整数，所以，可行域内点A不是最优解由于x、y必须都是整数，所以，t =x+y必为整数，将平行线继续向里滑动到x+y=12由 得到x+y=12与可行域左边界的交点B（3，9） 由