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文档简介

第五章二次型 5 1二次型及其矩阵表示 5 2标准形 5 3唯一性 5 4正定二次型 5 1二次型及其矩阵表示 一 n元二次型 二 非退化线性替换 三 矩阵的合同 四 小结 5 1二次型及其矩阵表示 5 1二次型及其矩阵表示 解析几何中 选择适当角度 逆时针旋转坐标轴 标准方程 中心与坐标原点重合的有心二次曲线 问题的引入 5 1二次型及其矩阵表示 代数观点下 作适当的非退化线性替换 只含平方项的多项式 二次齐次多项式 标准形 5 1二次型及其矩阵表示 一 n元二次型 1 定义设P为数域 称为数域P上的一个n元二次型 QuadraticForm n个文字的二次齐次多项式 5 1二次型及其矩阵表示 注意 2 式 也可写成 1 为了计算和讨论的方便 式 中的系数 写成 5 1二次型及其矩阵表示 1 约定 中aij aji i j 由xixj xjxi 有 2 二次型的矩阵表示 5 1二次型及其矩阵表示 则矩阵A称为二次型的矩阵 matrix 5 1二次型及其矩阵表示 2 令 5 1二次型及其矩阵表示 于是有 5 1二次型及其矩阵表示 注意 2 二次型与它的矩阵相互唯一确定 即 正因为如此 讨论二次型时矩阵是一个有力的工具 若且 则 1 二次型的矩阵总是对称矩阵 即 这表明在选定文字下 二次型完全由对称矩阵A决定 5 1二次型及其矩阵表示 练习1写出矩阵表示1 实数域R上的2元二次型 3 复数域C上的4元二次型 5 1二次型及其矩阵表示 练习2写出下列二次型的矩阵 其中 5 1二次型及其矩阵表示 二 非退化线性替换 1 定义 是两组文字 关系式 称为由的一个线性替换 若系数行列式 cij 0 则称 为非退化线性替换 non degeneratelineartransformation 5 1二次型及其矩阵表示 是非退化的 例1 变换 5 1二次型及其矩阵表示 2 线性替换的矩阵表示 则 可表示为X CY 若 C 0 则 为非退化线性替换 5 1二次型及其矩阵表示 3 二次型经过非退化线性替换仍为二次型 是一个二次型 5 1二次型及其矩阵表示 三 矩阵的合同 1 合同具有 对称性 symmetry 反身性 reflexivity 注意 1 定义设 若存在可逆矩阵 使 则称A与B合同 congruent 5 1二次型及其矩阵表示 3 与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵 2 合同矩阵具有相同的秩 即C1C2可逆 传递性 transitivity 5 1二次型及其矩阵表示 2 经过非退化线性替换 新二次型矩阵与 A与B合同 二次型X AX可经非退化线性替换化为二次型Y BY 原二次型矩阵是合同的 5 1二次型及其矩阵表示 例2证明 矩阵A与B合同 其中 一个排列 5 1二次型及其矩阵表示 四 小结 n元二次型 非退化线性替换 或X CY C 0 基本概念 矩阵的合同 5 1二次型及其矩阵表示 基本结论 1 二次型经过线性替换仍为二次型
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