代数表示论简介与综述.pdf

第2 2 卷第 6期 1 9 9 3 年 1 2 月 数学进展 A DVA NCES I N M ATH EM A TI CS Vo 1 2 2 J No 6 DeC 1 9 9 3 7 弓 z 卜 o J 代数表示论简介与综述 张英伯肖杰 一 靶京 蓓 大学数学量 1 O 0 8 7 S n 摘要代数襄系琵基本世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支 它的基本内容是研究 一 个Ar t i n代 数上的模范畴 由于各国代数学家的共同努力 这一理论千最近 十年来有了异常 迅猛的发展井逐步趋千完善 本文介绍了代数表示论的理论基础 几乎可裂序列I箭 图 和赋值箭 图的表示I C o x e t a r 函子 AR一 箭图的覆盖及代数的 Ga l o l s 覆盏 井简单介绍 了在 代数表示论中 普遍应 用的工具l Ti l t 理论 E 卫 及著名的D p o z g 定理证啊过程中用刊的Bo c s 论 关键词代数表示论 几乎可裂序列 赋值箭图 莨覆盖 T i l t 理论 B o c s 早在二十世纪韧 We d d e r b u r n 的著名定理便完全刻画了有限维半单代数的结构 这种代 数同构于有限个狳环上的金矩阵代数的直和 其上 的模都是半单模 那么 非半单代数的结 构又如何呢 经典的结构理论是将一个代数划分 为根和半单两部分 将代数看作它的根借助 半单部分的扩张 并由幂零根发展到谐零根 a c o b s o n 根 等各种不同性质的根 一般来说 半单部分能够给出较好的封面 但根的结构非常复杂 为此专门发展起了 根论 进行这 方面的研究 一 1 9 4 5 年 美国数学家B r a u e r 和 T h r a l l 提出了关于有限维代数的两个猜测 第一 有界 表示型代数是有限的 第 对于任意一个无限表示型代数 存在无限多个自然数 使得维数等于 d的模有无限多个 这两个猜测成为代数表示论的起源 所谓一个代数是有 限表示型的 是措它仅有有限多个 在同构意义下 不可分解模 反之 称为无限型的 众所 周知 一个 代数 的模 与代数的表示 即 代数 到一个 金矩阵代数 的同态靛 是一 回事 如 果我们 把这样的一个同态像看作是原来代数的一张照片 贝 有限表示型代数是用有限张照片就可 揭示清楚的一种代数 当然比较简单 而无限型代数 需用无限多张照片才能表达 代数表 示论就是研究一个培定的 A r t i n代 数是有限型还是无限型 若是有限型 确定其全体不可分 解摸 若是无限型 培出摸的分布情况 我们大家所熟悉的J o T d a n标准型就可以看作是单变 元多项式环的商环的表示 事实上 令 是复数域C上的任意 n 矩阵 则 C 是C上的 有限维向代数 C 上的模是一个复数域上的有限维向量空间 带有一个到自身的线性变 换 o 若 有 若当块 o 0 l 曼 三 1 0 l 刚 c 有 不 可 分 解 模 O 0 O k k 收祷日期 1 9 9 1 一 O 8 2 0 i l 且 d l mc V 维普资讯 的 恩 不 同 特征值的最大若 当块的阶数之和就是 C 上的互 不周构 的不 可分解模 的个 数 如果说经典结构理论是 直接 刻两代数 的构 造 现代 的代数表 示论 则是 嗣嫫论的方法研究 一 个代数 的结构 在 B r a u e r T h r a l l 提 他 们猜 测后 的 十 多年 中 试 图解决这 两个猜测 的工作一 直投 有 实质性的 进展 直 到l 9 6 8 年 苏 联数 学家 Ro j t e r 的文章 无限表示型代数上不可分解嫫的 维数的无界性 对域上有限维代数谜 明了B r a u e r T h r a l l 第 一猜 测 这篇文章可称作代数表 示论的开端 1 9 8 9 年 Ka e Mo o d y 定 义了广义 C a r t a n矩阵 使 李代 数 的 理 有 了极大 的突 破 由于这件事的启发 瑞士数学 家Ga b r i e l 于1 9 7 2 1 9 7 3 年发表 了 不可分解表示 I与 运用图和二 次型的方法对代数闭域 上有限维 路代数的表示型进行 了完垒 的分 类 1 9 7 4 1 9 7 7 年 美 国数学索Au s l a n d e r 和 挪威数学 家R e i t e n 发表 了他们的 系列文章 Ar t i n 代数的 表示理 论 I一 运 用厨调手 法研 究不可分 解模 提 出了几乎可裂序列这一重要 概念 奠 定了代数 表示 论的 理论 基础 下而我们就来介绍一下这个理论基础 以及代数表示论 的主要结 果 发展现状和一些未 解决的问题 在 文章 中 我们 假定 A是 域 上的有 限维 代数 A是基的 即 A r a d D D D 此 处 D D D 是 上 的有限维除环 连通 的 即 A不能分解 成理 想 的 直 和 有限维左 模范畴记作 m o d A 映射的合成按照从左至右的顺序书写 一个模M叫作不 可分解的 若M M一 0M 是子模的蓖和 则J 0 或Mz 0 1 几乎可裂序列 我们来 看 模的 短正合序列组 成的集合 其中可裂序列可 以看 作是 最简单的 短正 合列 除此之外 还有一种比可裂序列稍复杂 但比一般序列要 单纯 并具有某种意义的 极 小性 的短 正合列 这就是 几乎 可裂 序列 或按 照它 的定 义者的 名字 称为 Au s l a n d e r Re l t e n 序列 简称AR 序列 1 1定义一个短正 合序列0 X y z一0 叫作几乎可裂序 列 如果满足 i z是不可分 解模 i i 序 列不 可裂 i l 1 若模同态 一z不是 裂满射 则存在同态 一y 使 0 二 0 h h I 9 我们看到 如果定义中的条件 i i 取消 或 i l 1 中允许 是可裂满射 刚 0 一 与 y z O 有可能是可裂序硎 陶此 几乎可裂序列 差一点一就是可裂序列 A u s l a n d e r 和R e i t e n 证明了A r t i a 代数的模范畴中几乎可裂序列的存在性 这是代数表示论 的基本定理 1 2定理令 是域 上的有限维 代数 1 设 z是非投射的 不可分解 一 模 剐存在终于 z的几乎 可裂序列0 一 y z一0 且此序列在短正合对的同构 意义下难 一 我 们记X DTr Z DTr 是 mo d p A到 自身的一个 函 子 称为A R 变换 mo d p A是roo d A的 一个商范畴 其像元是mo d A的非投射模 H o m M 是 B o rn M 模去可经投射模分解的映射得到的商群 维普资讯 2 设 是非入射的不可分解A 一 模 则存在唯一的始于 的AR 序列 0 一 y z O 记Z T r DX T r D是roo d A到自身的一个园子 是 A R变 换的逆 变 换 roo d A是ro o d A 的 一 个商范畴 其像元是 m o d A的 非入射模 H 0 m M 是 f I o m M 模去可经入 射摸 分解的映射得到的商群 AR 一 序 列的重要 挫在于深刻地揭示 了不可分解模之间的本质联 系 为此我们需要先来介 绍一下不可约映射 的概 念 1 5定义 设M 是A一 模 一 个模 同态 M一 称为不可约映射 如 果 既 非可裂单 M N 又非可裂满 但是若有映射的分解 尹I 刚 是可裂单射或 是可裂满射 由定义可见 如果将 M 取 作不可分 解模 则不可约映射是这样一种非同构映射 它不能分解成两个非 同构映射 的乘积 换言之 也就是不可分解 的非 同构 映射 如果 甩 r a d r M 记从 到 的非 同构映射的垒 体 r a d M g M L 使 r a d M c 9 r a d L 则不可约映射的集合J M r a d M N r a d M 不可约映射与几乎可裂序列密切相关 1 4定理 i 堤 z 是 不可约映 射 若ZEroo d P A 是不可分解 模 0 一 y z一0 是 几乎可裂序 列 则 是 y的直和项 反之如 果y y 0y g g 则 y Z 是 不 可约 映射 I f i i 设 是不可约映射 若 roo d A是不可分解模 O y z一0 是 几乎可 裂序列 则 是y的直和项 反之 如果y 0y 兀 则 y 是不可约映射 i i i 设 p是不可分解投射模 P是不可约映 射 r a d P 厶P 是自然嵌入 则 是r a d P 的直和项 反之 若 r a d P y 0y H 则y Jp是不可约映射 i v 设 J是不可分解入射 模 F 是不可约映射 J s 0 c J是自然投影 则 是 J 自 0 c J 的直和项 反之 若t s o t J y 0 9 F i g 则 J y 是不可约映射 不可约映 射是 全体 不可分解A一 模拼在一起构成A一 模范畴的组合方式 或 者说mo d A是 由 不可分解 A 一 模按照不可约映射砌起来的 我们有下述 1 5定义设A是域 上的有限维代数 以有限鳍不可分解模的同构类 为 顶点 以不 可约映射为箭 即若不 可分 解模M一 有不 可 约 映 射 则 有 一 个 M 一 的箭 令 d d i m d I r r M 其中E n d M g n d M r a d M M 是一个除 环 d d i m l r r M i d c J 我 们 在从 M I 到 的箭上装配赋值 M 这 样 得到 的图形称为 托数 A的Au s l a n d e r Be i z e n 箭图或简称AR 箭图 记作J r 从几乎可裂序列的构造易见 A R 箭图是局部有限的 在A R 箭图中 经常由 D T r M 刊 M画上 一条虚线 期 DTr M M 下面 我 们给 出几个 代数的例子 试 图确定它们的AR 箭图 一般来说 多项式代数 矩 阵 代数 群 f 数 部是我们 比较 熟悉 的 具 体的代数 此处 对前两类代数 各举 一例 群 代数在 3 和 4 中再讲 还有一种代数 称之为箭图的路代数 在 2 讲述 1 6例令 是代数闲城 A E x 3 x 此处 是域 上的不 定 元 任取不可分解模 M d i m M 则M是一个有 n阶幂零变换i 的向量空间 取M的一个适当 的 基 底 维普资讯 1 0 01 二 i M 与 自然 投影 M l 是不可约映射 DTr M M Aff J AR 一 箭 图可如下做 出I 蒌 嚣 0 一 是几乎可裂序列 A的A R 一 箭图是 I 一1 e 二 二 图中左端斜线上是投射模 右端斜线上是入射模 顶点上的模 是双射模 2 路代数的表示 路代数是由所谓通常箭图构造出来的 一个通常箭图就是一个 有 限 有 向 图 Q y Q Q 其中 y Q 是璜点集 A Q 是箭向集 对于固定的代数闭域 Q在 上的 一个表 示吖是向量空间集 吖 f I f y Q 和线性 变换集 吖 o I a 6A Q 若 则 吖 o I 吖 一吖 是线性变换 Q的两个表示吖和 之间的态射 是线性变换 集pi I i 6V O ll M 一 f 满足条件l对任意箭向 f j 有下交换图I 吖 i 竺 吖 l l 赢 枷 0 f I 7 J L J 0 0 0 0 1 f L l 一 1 f j f1 0 0 O O n 0 0 0 0 0 0 O O 维普资讯 的有限维表示M 即 d i mM l 的 垒体构成范畴R 0 这是一个A b e l 范畴 因而 I 口J 有不可舟 解表 示 由通常箭图O 我们可以构造路代数 k O 它是由0中的有向道路的垒体 张 成的向量 空 间 对 i 6 0 将 i 看 作是起点 为 i终点也是 i的路长为 0曲 道 路 对 g Q 口 一 一 将 B看作起点为 i 终点为 的路长是 l的道路 O 中的乘法由有向道路的乘法线性 张成 两个有向道 路 口和 的乘法定义 为 f 若 的终点是 的起点 L 0 否 则 这样 k O 成为一个结合代数 若 O中投有有向循环 则 k O 是有限维 k代数 这时O的表 示范畴 尺 O 自然等价于 k O 的模范畴 ro o d k O 推广一点看 考虑 k O O中可以有有向循环 中的一个关系理想 由 若 干个关系 p 生成 此处p 2 p 有限和 k k p l 是路长 2的有向道路 使 得J 其中 n是 自然数 J是由 A O 生成的理想 这时 0 是有限维代 数 ro o d k Q l刚好 由Q在域 上的满足关系 p 的表示组成 即 表 示 使2 k M p 0 令 R Q p 为 l 满足关系f p 的垒体表示做成的 尺 O 的满子范畴 则 m o d k Q l 等价于 R Q p 例如以 下 三个 带关 系的箭图t t 2 1倒 关 系口 一6 Y j 关 系 口 卯 I 关 系 B 考虑带关系的箭图及其表示是基于以下 2 2定l l g G a b r i e 1 设 是一个代数闭域 A是 k上的有限维代数 如果 A是基 的和连 通的 剐 对某个箭图 O和关系理想 有 A k Q I 因而一般地说 代数闭墟上有限维代数的模理论 可以归结为带关 系 的 箭 图的表示理 论 很 自然地 传数表示论 中首先考虑的是关 系理想 I 0的传数 即有限 维路 代 数 这类 代数恰好与如下定义的有限维遗传代数一致 2 5定义域 k上的有限维代数A称为遗传的 若投射 A模的子模仍是投射的 一 个代数 是遗传 的 当且仅 它 的整 体维数是 1 每个不带有向循环的有限箭图 0确定一个 C a f t a n矩阵 G G的阶 n J 0 I 矩阵主对 4 8 5 维普资讯 角线上的元素 I 2 V口 一 O 连接 i 和 的箭的个数的相 反数 著从 到 且从 到 i 无箭 则 j f 0 显然 C a r t a n矩阵 是对称的 它确定 了 roo d O与Gr o t h e n d i e c k群上的 一个 二 次 型 令 M是 O的一个 表 示 d i mM d i m M 1 d i m M n 则 q d l mM d i mM c d i m 令 是一个 n阶行 向量 每一个分量都是 非负整数 如果 I 则 叫作二次 型 的一个正根 若 C a t a a矩阵是正定 的 则上述定义与有限维单 李代数 的根系的定义恰好 一致 代数表示论的创始人之一 Ga b r i e l 于 1 9 7 2 年发 表的经典结 果运用 了 C a r t a n矩 阵 的 二次 型 2 4定理设 a是一个箭图 1 O 是有限表示 型 当且仅 当 Q的基 本 图 即 一 一 一 箭图忘记方向后得到的图形 是D y n k i n 图的不 交并 D 一 一 2 在这种情况下 若M是 O的一个不可分解表示 f 则 d i mM 是 二次 型 q的一 个正根 反之 任 取 q的一个 E 一 0一 正根 恰有且仅有Q 的一个不可分解 表示 其维 数向量 E 1 7 对 应于这个正根 在 G a b r i e l 的定理中 D y a k i a 图有右侧几种 E 一 一 土一 一 2 5例 取方向 将此箭图记作 Q 则 U的 AR 一 箭豳与上三 角矩阵代数 完垒一致 事实上 k Q T E 取 方向 i 其A R 一 箭 图 如 下 此 处的 柴 来 来 荣 表 示 对 应 的 不 可 分 解 模 的维数向量 l l I 1 9 7 3 苏联数学家 B e r n s t e i n G e l f a n d和 P o i t o m a r e v运用 C o x e t e r 变 换 重 新 证 明了 Ga b r i e 1 定理 他们首先 定义了与李代数 中 w Y l 群的反射变换相对应 的 反 射 函 子 令 o 是 的汇点 即垒部与 相连的箭都以 为终点 令 o 是从 将 以k为 终点构箭 向逆转所得 到的新的箭图 我们有 反射函子 R v 维普资讯 O M M i 当 村 cO M a 当 a 不以 为终点 而 M 10 k c r 0M B 此 处 口 J 一 0M M k M 口 是 自然嵌 人 其 中 口 是 的逆向箭 与此同时 设 l d l 对 0 我们有 点的反射 变 换 z 一z 0 十 使s 一 言 其中6 是目 的 对称 双线 性型 是z 中第k 个分量为l 其余 z 分 量为 0的基向量 选时 d j m M d i mM 令 l 2 n是 O的汇 点的允许序列 即 l是 O的汇点 2是 O 的汇点 是 of 的汇 点 剐 C o x c t c r 函 子 C s R O 一R O 而 C o x e t e r变换 S 2 l j Z 一Z 十分 有趣 的是 C o x e t c r函子 恰 好是 roo d O 中的 AR一 变 换 1 9 7 6 年 Dl a b和 R i n g e I 发表 了他们 的代表作 E Da 他们在这 篇文章中定义 了赋值 箭 图 从而取消 了 Ga b r i e l 对基域 必 须是代数闭 域 的 限 制 并运 用 C o x e t e r 函子确定 了对 应 于 K a c Mo o d y李代 数 中 E u c l i d i a n图的垒部遗传代数的摸范畴 c F G 选时 Dy n k i n图 除 D E8 日 EB 外 还有 左 图 而 E u c l i d i a n图有 l 6种 我们就不 一列出 了 2 6定义一个赋值箭 图由一个不带双箭的箭 图O及两个映射 d d A Q N 组成 满 足条 件 Vi O 存在 i N 使 得 对 Oj 有 d o d 0 培 定基 域 k 1 l 但不一定代数 闭 赋值箭 图 O d d 确定 了一组 双模 称 之为箭 图的 k r e a l i z a t i o n k r e a l i z a t i o n代替 路 代数 对应 于一 个有限维 遗传代 数 O d d g J 表 示范畴 R Q d d 与A的摸范畴 ro o d A等价 由于 k r e a l i z a t i o n及其表示的描述比较复杂 我们就不详细讨论 了 由 Ka c Mo o d y提 出的广义 C a r t a n矩 阵 确 定 了 一 个 半 正 定 二 次 型 q G 使 q 0的向量 的垒体作成一个一维子空问 称之为 口的 r a d i c a 1 记 r a d i c a l 中 的 最小 非 负整向量为 8 而使 g l 的非负整向量仍称为 的根 与前类似 我 们可以定 义 Z 的 C o x e t e r 变 换 P 此 处 n I O l 以 及 R Q d 的 C o x e t e r函 子 G 称 一 个 根 向 量 Z 是 投射的 若 口 车0 J根 向量 P p叫作预投射的 其中 r N 称一个根向量 Z 是人射的 若 0 根向量 P i 叫作预人射的 称 R Q d d 的一个不 可 分解表示 P为 投射的 若 C P O j不可分解表示 C P叫作预投射的 称R Q d d 的一个不可分解表示 为人射的 若 G I 0 不可分解表示 G J叫作预人射的 2 7定理设O是 一个连通赋值 箭图 1 R 0 是有限表示型 当且仅当 O的基本图 是 D y n k i n图 这时表示的维 教 向 量 与 口的正根一一对应 2 R O 是 T a me 表 示型 C 定义见 5 当 且仅 当 O的 基 本 图 百是 E u c l i d i a n图 这 时表 示的维数 向量是 q的正根或 口的倍 数 且 的任意正根对应着 R O 的唯一的表示 而 的 整 倍 数 对 应着R O 的无限多个表示 其基数恰为基 域的基数i 豇 1 3 R O 的预投射模的维数 向量与 q的预投射 正根一对应 j预人射模 的 维 数向量与 g的预人射正根一一对应 4 8 7 维普资讯 2 8例E u e l i d i a n 图 所确定的遗传代数叫 K r n k 代数 是遗 传 代数中最简 单的一种 它的通常箭图形如 或 A R 一 箭图形如 f 9 其中 是预投射分支 即由垒体预投射模作成的分支 是预入射分支 由垒体预入射模作 成 是齐次管簇 所包含的齐次管分支的个数恰为基域的基 数 l k 每个齐 次管形如右图 I I A R 一 序列为0 1 2 J O和 O l 一 f 1 0 1 一 f O对 M 2 在齐次管中 每一个模都是A R 变换下的不变量 即D T NI Nf 且 d i mNl 口 此处 i l 2 N3 一 般来说 T a m e 型遗传代数的 A R 一 箭图除预投射 预入射分支 和齐次管 0 簇外 还有 2 3个非齐次的例外管 5 覆整理论与AR一 箭围 一 个稳 定 赋 值 平 移 箭 图 R i e d t m a n n q u i v e r F r A r d r 站 r r 由赋 值图 r r d r 及其一个一一映射 I v r v r 满足条 件t Vx E r 一 f 其中X 表示以 为终点的箭的起点集 而 表示以 为起点的箭的终点集 V r 和 X 都是有限的 即 r是局部有限的 V a r a I a I 我 们 有 a a 如果我们有箭图 s 就 可以构 造一个 平移箭图 Zs Z 由 s 一 2 s 一 1 s 岛 组成 其 中 V Z s 若有 箭 一 则有一 条 附 加 箭 一 S S一 S S 1 zs 其赋值由 1 变为 1 平移变换定义 为 r x z 1 5 1定理 R i e d t m a n n 对任 意 给定的稳定赋值平移箭图 r 存在着一个赋值 箭 图 日 其基本图是一个封 以及 Z日的允许 自同构群G 使 r Z日 G 这个定理的证明是构造性的 运用了代数拓扑中的覆盖理论 如果去掉 A R 一 箭 图中的预 投射及预入射模 我们可以得到一个稳定 A R 箭图 它显然是一个稳定赋 值平 移 箭图 这 样 R i e d t ma n n定理 便成为研究 AR 箭图结 构的一把 钥匙 令 r是一个稳定赋值平移箭图 一个 函子 z l r 一N 称 为 半 加 性 函 子 若 V D f r 2 z 0 其中 a 如果对任意顶点 等号永远成立 则 维普资讯 l 称为加性函手 我们的稳定 A R 一 箭图必带有半加性函子 即模的长度函子 令 V f 称 为循环的 若 对某个正整数 p有f 否则 称 为非循环的 可 以证 明 若连通平穆箭 图中有一个循环 质点 则所有 的顶 点都是 循环的 1 9 7 9 年 H a p p e l P r o i s e r 和 R i n g e l 培出了循环平移箭周的完垒刻画 B C D 5 2定理令 r是 连通的 稳 定的赋值平 移箭图 f上有一个半加性函子 z 设 F Z8 G 如 果 f是 循 环 的 则 雷是 Dy n k l n图 E u c l i d e a n图 或左边五种图形之一 若 z不 是 加 性 的 则 百是 Dy n k l n图 或 若 f 是 无界 的 则 百是 A 换言之 对 E u c l i d e a n 图 爱 G D f 是 加 性且 有界 的 5 5定强 Au s l a n d e r 设 是域 k上 连 通的有 限维代 数 f是 的 AR 箭 图 n 的一 个分支 如果 f中的模长度有界 则 表示有限且 F F a 由此可知 如果 是有限型的 则稳定 A R 箭图的分支带有半加性 而非加性的 函子 f 如果 是无限型的 I A R 箭图的无限稳定分支上的半加性函子 z一 定 是 无 界的 由 此 我们得到一个代数的 AR 箭图的循 环分 支的如下刻 画 5 4定理令 是一个有限维 代数 f 是 的稳定A R 一 箭图的循环分支 且 r ZB a 若 f是有限 的 则 百是 Dy n k i n图 若 r是无限 的 则 百 一 当 百是 D y n k i n图时 允许白同构群 G可以有几种取法 例如 百 A G 可 以 由 z 生 成 也可以将 扭成墨比乌斯带的形式 当百 A 时 完许白同构群只能由 r 生成 即 使 是有限表示型代数 尽管其 A R 箭图的稳定部分只有几种固定的形式 但 A R 一 箭 图 本 身仍 然是相当复杂的 这是由于预投射模和预人射模与稳定分支的连接相当复杂 如果 是无限表 示型代数 则 A R 箭图只有有限多个分支含有投射模或入射模 其余绝大多数分支都是稳定 的 这时 如果有一个分支是循环的 则它必有形式 ZA 当 I 时 它是一个齐歇管 5 5例我们来看1 I 倒 中三个代数的A R 箭图 如下图 的稳定部分是空集 的稳定部分是 即ZAz 2 此图向左右两方重复延伸 将 相同字母标出的 点 粘合在 b 4 b 一 起 这就是我们所需要的A R 一 箭图 维普资讯 R i e d t m a n n定理的原始形式仅对有限表示型 自入射代数而言 即代数A作为 自身 上的模 既是投射模 也是入射模 其表达形式是 5 6定理设 是 有限表示 型 自入射 代数 则 A的 A R一 箭图具有 形 式 ZB c 其 中 是 Dy n k i n图 是相位 G是允 许 自同构 群 相位的含义是在 ZB中安装投射 点 由于 自入射代数 的投射模也 是入 射模 因而投射点 孤立地存 在于 1 1r 之 中 这时投射 摸的根 r a d p对应 于 x 我们称 是一个 相位点 5 7倒取 A目 ZB形如下图 相位点用 O棕 出 其 垒体构成 显然 是 周期性变 化的 r 生 成的循环群是 ZB的 保持相 位 的 自同构群 ZB 是 一 个 有 限表示型 自入射代数的 A R 一箭图 它将左下图的左右 两端 粘台在一起得 到 R i e d t ma n n 运用高度复杂的组合技巧刻画 了垒部 Dy n k i n类 自入射代数 的 结构和相位 她的 结果是相 当深 荆的 只要考 虑 n型 自入 射代数就 不难 看出这一点 因为作为这种 情况 的一个特 例 Ri e d t ma n a l 的结果培 出了亏数群 为循环群的群代数 的块的所有不可分解表示 循环平移箭图的形状已经搞清楚了 那么非循环平移箭图是什幺样子的呢 1 9 9 0 年 张 英 伯在 z 中证明了 5 8定理令 是一个连通的稳定平移赋值箭图 带 有一个半 加性 函子 z 如果 是非 循环的 则或者 Z G 这时 z 是加性且有界的 或者 Zs 其中 s 是一 个不带 有 向循环路 的赋 值箭 图 由于非循 环稳定分 支一定是无限的 仍由 3 3A u s l a n d e r 的定理知 5 9定理夸 是一 个 Ar t i n代数 的稳 定 AR一 箭 图的非循环分支 则 存在 一个 不带 有向 循环路的赋值箭图s 使 F Z8 特别地 F自身不含有向循环路 Ri n g e l 证明 了 一个野型 定义见 5 遗传代数的任意稳定分支形如 Z 他还证 明 了 一个 二面体群 的群 代数 有可数 多 个 分 支 形 如 ZD 未 发 表 B u t l e r 和 Ri n g e l 证 明了 一个 S t r i n g代数有 可数 多个分支形如 Z L e n z i n g和 d e l a R e a证 明了 C a n o i c a l 代数 的稳定分支形 如 ZA 最近 c r a w l y B o e v y和 R i n g e l 又培 出了一类 代数 的侧 子 使 其 A R 箭图的某个分支形如 Z8 此处 是由 添加有限多箭和有限多非平凡赋值得到的 一 个代数 的 AR 箭图 在多大程度上确定了这个代数的模范畴 roo d A 呢 在有限表 示型的绝大多数情况下 n 培 出了 roo d A的垒部信息 设 0一 z一0 yl z一 0是一个几乎可裂序列 yl 是不可分 解 模 则 在 n 中 形 如 百 垂 白 入 射 f 的 不 可 丹 解 模 由 台 戒 困 于 L w y 因 子 丑L p l 唯 一 确定 的 杂件 维普资讯 的子 图 叫 作 一 个 m e s h 关 系 a l a J a d 口 2 a n 叫作一个 me s h 关 系 当基础 代数 闭时 我 们可以由 构造路范 畴 其象元是 n 的 点 两个 点 之间的射元集由从 到 的有向道路张成 态射的合成是 自然的 n 摸去垒体 m e s h 关 系生成的理想所得到的商范畴记 作 n 称代数 A是标 准的 如 果 roo d A等 价于k r 5 1 O定理 G a b r i e l 和 Ri e t e n等 设 A是有限 表示 型代 数 当 k的特征 不等于 2时 A是标准的 由于这个定理 Ri e d t ma n n对 有限表示 型 自入射代数的刻画在 特征非 2的条 l件下 确定了 这种代数的模范畴 群代数是 一种特殊 的 自入射代数 其模范畴也就可以认为被 完垒确定了 但在无限表示型的情况下 n 并不能代替 m o d A 例如最简单的 T a m e型遗传代数 至 少存在从预投射分支到预入射分支的非零映射 而在野型遗传代数的同一个稳定分支内 当 自然数 取得完分大时 存在从 到 的反向映射 第 2节提到的 C o x e t e r变换在路代数的研究中发挥了 举足轻重的作用 且这一变换在遗 传代数的模范畴中与 A R 变换 DTt 一致 A u s l a n d e r P l a t z e e k R e i t e n 进一步证明了 C e x e t e r 变换可由与 A R 变换密切相关的某个变换 现在称为 AP R t I t 变换 来实现 B r e n n e r B u t l e r 由此抽象出了初步的倾斜理论 相比之下 C o x e t e r 变换是一个线性 变换 其优点是可 直 接计算 但仅适用于路代数 而 A R 变换是一个同调函子 具有更普遍的适用性 倾斜理论 是选两种研究方式的结合 这一理论后经 H a p p e l R i a g e l 和 B o n g a r t z 发 展 和 完 善 起来 现 在 倾斜理论是代数 表示 论研究中最重要的技巧之一 定义4 1 设A是有限维 代数 左 A一 模 称为倾斜模 若 下述条件 满足 i T的投射维数 p d i m T 1 j i i E x t T T 0 i i i T的互不 同构的直和项的个数等于 A 的 G r o t h e n d i e c k群 K A 的 秩 即A的互 不 同构的单摸的个数 培定倾 斜模 令 E n d 及 XE m o d AI H o m T O 啻 T x roo d A1 E x t T x 0 维普资讯 丁 f B N ro o d BI T o r 丁 B O 丁 f N ro o d BI 丁 目 0目 N 0 4 2定理 B r e n n e r B u t l e r 设以是有 限 维 代数 是 倾斜 模 则下述结论成 立 1 A T 丁 是 roo d A 中 t o r s i o n 对 是 roo d口 中 t o t s J o l l 对 并且若 是遗传代数 丁 是可裂 t o r s i o n 对 即每个不可分解 口 一 模 或 者 属于 丁 或者属于 A T 2 jr 丁 XEro o d Aj 由 f 丁上生成 I 丁 笃 XEro o d J X 由 生成h 丁 a NE ro o d BI 目 由 D T B 上生成 c窖 A T f 目 NEro o dBI 目 由 f D T B 生成 3 g l d i m 一l g l d i m口 g l d i m I g l d i m 表以 的周 调维数 特别地 若 是遗传代数 剐口的同调维数 2 4 r I I o 丁 一 诱导了 A T 与 丁 之间的等价 E x t T 一 诱导 了 jr A T 与 A T 之间的等价 当 是遗传代数时 称 口为倾斜代数 我们用下述例子来说明这个定理 由此可以体会 出倾斜的函义 4 5啻 I l 以 下箭 图 表 示一 个晶型遗传代数 的A R 一 箭图 以是 箭图 L 一 的 路 代 数 口标出的是倾斜摸 口和 标出的是 丁 中的模 0标出的是j r 丁 中的模 由此可见 jr A T 与 A T 未必是可裂 t o r s i o n对 第二个 AR 哺 图是倾斜代数 B E n d T的 口的结构 T 为 I l 满足所有的交换关系 0代 表 丁 中 的模 记 A T 中的 模 倾斜代数已经得到了很好的研究 如 D y n Mn 型倾斜代 数 的分类 具有预投射分支的极 小无限表示型代数和扳小野型代数的分类 T a m e 型遗传代数的管扩张等等 倾斜代数是最接近于遗传代数的一种代数 表面上看 它与 自入射代数是两类极端相异 4 9 2 维普资讯 的代数 譬如 倾斜代数的整体维数 2 而自入射代数的整体 维 数 但 3 6中绐出的 R i e d t m a n n的结果表明 有限表示型 自入射代数也是由 D y n k i n图翔画的 对 这两方面内在 联系的研究 充分显 示了倾斜技巧在代数表 示论中的重要作用 1 9 8 1年 Br e t s c h e r L s e r R i e d t ma n n证 明 了 如 果 O是 Dy n k i n箭图 那么 ZO上的组合 相位与O一 倾斜代数一一对应 在证 明过程中 他们培 出了这一对应的 具 体 实现 H u g h c s Wa s e h b fi s e h也独 立地得蓟 了这一结果 事实上 这个结果可以扩展到无限表示 型代数上去 为此 我们需要简单地介绍一下 H a p p e 的导出范畴 1 9 8 8 年 H a p p e l 建立和 完善了 有限维 代数的导出范畴的理论和 F r o b e n i u s 范畴的三角范 畴 t r i a n g u l a t e d c a t e g o r y 理论 这是一 项十分重要的工作 既为有限型代数的表示作了一个总结 又为无限表示型代数的研究开创 了一条路子 4 4定义设 是有限维代 数 D H o m 一 k 是对偶函子 D 有 自然 的 A A 双 模结构 的重复代数 r e p e t i t i v e a l g e b r a 记作 定义如下I f AI 1 DI 1 1 l I D I l l D f 一 其中 A A D D 中的每个矩阵只有有限多个分量非零 其加法按照通常矩阵灼 加法 乘法由自然映射 4 D 一D D A D A 和零映 射 D D A 一0 导 出 重复代数 是局部有界的 即对 的任一幂等元 e e 和 e 都是有限维向量空间 并且是 自入射的 记 m o d 是有限生成的左 一 模 范畴 m o d m o d p A E1 2 叫作 的 稳 定范畴 后一个等号成立 是 由于自入射代数 的投射模与入射模一致 一 个代数 的导出范畴 D 是其模范畴的有限复形范畴 因为定 义 过 程和推导过程 比较复杂 我们就不在这里作详细介绍了 4 5定理 H a p p e 1 设 是有限维代数且g l d i m A c o 那么有三角等价mo d 2D 让我们来看两个例子 令 Q是不带有向圈的箭图 A Q 是对应的路代数 射 g l d i m A 1 c o 如果 百是 D y n k i n 圈 则 的导出范畴 Db A 形如 ZQ 即 Z0的路范畴撰击 m e s h关系所得蓟的商范畴 3 1 0 如果 百不是 D y n k i n图 贝 D b A 形如I 臼 臼 臼 其中 n 是由 的预入射分支与人投射分支拼接而成的 形 如 Zo 屁 n 是 稳定 A一 模 簇 4 6定理 H a p p e 1 夸 是一个有限维代数 g l d i 皿A 双模 作为k 模是 自由的 使如下定义的 函 子 ro o d k 一m 0 d M k N 保存不可舟解性和同构类 换言之 野型代数是这榉一类代数 它包含整个有限维摸范畴 ro o d le 而 k 模是一个向量空阔带有两个线性变换 也就是说 这是将两个无关线性变换同时化为某种标 准型的矩阵问题 而建个问题在历史上一直被认为是不能解决的 5 6定义我们说一个有限维 k代数 是 T a me 的 若对每一个雏教 d 0 存在有限个 一 双摸M 作为k 一 模是 自由的 使得任取一个不可舟解 维 摸 存在某个 i 和 某个单七 模 M 0 c 同构于这个摸 5 7定理一 个有限雏 代数或 者是野型 的 或者是 T a me型的 与野型代数比较 T a m e 型代数是简单得多的一类无限表示型代数 对每一个固定的雏 数 d 都可 用有限个 B o e s 来刻画 困此 B o c a 是研究 T a me型代数的一个强有力的工具 1 9 8 0 年 英国教学家 c r a w l y B o e v e y将 D p o z 8的工作用形式化的语言重新作了 阐述 并证明了下述定理 5 8定理著 是T a m e型有限雏代数 则对任意雏教 d 除有限个外 所有的 维模 同构于它的 A R 变换 换言之 几乎所有的 d 维模都在齐次管上 由此可知 T a me型代数的 A R 箭图l的分支 绝大部分都是齐敬管 只有最多可数多个例外 1 9 9 1 年 B a u t i s t a 和张英伯证明了此定理的逆 5 9定理设 是一个有限维 代数 若对任意雏数 几乎所有的 只有有限多个例 外 4雏模同构于它的 A R 一变换 则 是 T B m e 型的 也就是说 A R 箭图几乎垒是齐次管 是 T a m e 代数曲一个定义性质 关于 T a m e 型代数的男一嚼重要工作是由波兰教学家 S k o w r o n s k i 于1 9 8 7 年完成的 5 1 0定义对一个圈定维数 d 我们用 d 记定义 5 5中 一 双模 Mi 的最小个 桴e r I 维普资讯 数 T a m e 型代数 A称为多项式生长的 如果存在一个 自然数 m 使得任取维数 2 A称为 d o m e s t i c 若存在有限多个 A一 一 双模 M 使得任取 维数 d 可以找到某 个 f 及不 可分解 一 模N 维双模形如 M 令 G是有限群 A是特征 p的代数闭域 上的有限维代数 S k o wr o n s k i 给 出了群 代数 A G 是 T a me 型 代数 多项式皂长 T a me型代数 d o mht i c代数 的充分必 要 条件 这 是 对 T a me 表 示型群 代数的一个漂亮 而完整 的分类 1 9 8 9 年 他又 期画了多项式生长 自入射 代 数 从 S k o w r o n s k i 的证明中可以看出 如果用 B o c a 的语言叙述 多项式生长 自入射代 数指 对应的极小 B o c a 中 孤立循环的个数是维数 的多项式函数 而 d o m e s t i c自入射代 数则意 味着对任意维数 对应的极小B o c s 中孤立循环的个数是一个固定常数 8 代数表示论研究的现状及一些未解决的问题 目前代数表示论的研究偏重于 T a me 型代数 这是由于有限表示型代数被认为已 经了解 得比较透彻 特另 lJ 是 R o j t e r G a b r i e l 和B a u t i s t a S a l me l o u的共同工作 证 明了 6 1定理令A是代数闭域 上的有限维代数 如果A是有限表示型的 卿A有乘法基 即A作为域 上向量空间的这样一组基 l 使 V n 2 n 存在某个 f l 2 n k 或 0 这就意味着 对任意给定的维数 d 有限表示 型 维代 数 只有有限多个 另一方面 野型代数含有同时进行两个线性变换的不可解问题 被认为是难以下手的 因而仅倪对某些具体的野型代数有一些个别的绪论 而 T a m e 代数是一种最简单 的无限表示 型代数 可以认为它的模范畴仅由若干 有限 可数无限或不可数无限 有限维 一 模范 畴拼在一起组成 有关 T a m e 表示型代数的权威文献当推 C M R i n g e l的 T a me a l g e b r a a n d i n t e g e r q u a t r a t l c f o r m 这本专著从 T a m e 遗传代数出发 运用单点扩张 倾斜 管扩张 等手 法构 造了一系列 T a m e代数 称之为管代数或 R i n g e l 代数 沿着这个方向 S k o w r o u s k l 和 A s s e m 又 研究了i t e r a t e d 倾斜代数 C o i l 代数 除了单点扩张的技巧外 他们 位还 经 常 运 用 所 谓 C a l M s 覆盖 这是继 R o j t e r提出覆盖理论之后 由 G a b r i e l B o n g a r t z 整 理提高 最后 由d e h P e rl e 提出的对代数的通常箭图的覆盖 C a l a i s 覆盖不像 A R 一箭图的覆盖 永远存在 它 仅仅适用于一类特殊代数的通常箭图 这种代数对关系理想有很强的限制 但对从遗传代数 出发构造 的一 系列 代数 C a l Ms 覆盖经常存在 此 外 他们还研 究了模范 畴的直 向分 支及 直 向模 在 这方 面 章璞 也有很好 的工 作 B o n g a r t z曾运用 次型的正定性来判断一类代数是否是有限表示 型的 由此 d e h P e rl e 曾试 图运 用 次型 的半正定 性来 判断一 类代数是否是 T a me 表示型 的 他发 现 次 型 的半正 定性是 T a m e 表示型的必要而不充分条件 于是他给代数附加了一系列限 制来考虑这个问题 运用 B o o s 的理论研究 T a me代数是 一 个 自然 的 但相 当困难 的途径 目前 B r e n e r Bu t l e r 和他们的学生讨论了 B o o s 表示范畴中的几乎可裂序列 我国北师大代数表示论研究小组 也正试图运用 B o c a 解决 T a m e 代数 A R 箭图的构造 无限表示型 A R 一 箭图的研究已得到一些结果 R i n g c l 在1 9 8 6 年 D u r h a m l e c t u r e中曾 提 出七个 o p e n F r o b hm s 其中l 2 3 7 都是关于 A R 箭图的 问题 l 说 令 是 A R 一 箭 图 维普资讯 的一个分支 d 是 自然数 厂 中长度为 d的不可分解模的同构类的个数是否有限 这个问题 在 T a m e 表示型的情况下被 c r a w l e y B o e v e y肯定 但对一般 的野型代数段有什 厶信息 仅仅 张英伯证明了野遗传代数的 A R 箭图的任意分支 模由合成 园子唯一确定 从而对野遗传代 数而言 这个问题的回答是肯定的 R i n g c l 的