【素材】《平面向量基本定理》课件来源6（人教B版）.doc

平面向量的基本定理及坐标表示一、目标认知学习目标：1了解平面向量的基本定理及其意义；2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4理解用坐标表示的平面向量共线的条件.重点：平面向量基本定理与平面向量的坐标运算。难点：平面向量基本定理的理解与应用，向量的坐标表示的理解及运算的准确性。二、知识要点梳理知识点一：平面向量基本定理如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合。其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.这说明如果且，那么.当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量。知识点二：向量坐标与点坐标的关系当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=(x，y).要点诠释：当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1).知识点三：平面向量的坐标运算运 算坐标语言加法与减法记=(x1，y1)，=(x2，y2)=(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1)实数与向量的乘积记=(x，y)，则=(x，y)知识点四：平面向量平行(共线)的坐标表示设非零向量，则(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0.要点诠释：若，则不能表示成因为分母有可能为0.三、规律方法指导1用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明.2三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)，若则A，B，C三点共线.经典例题透析类型一：平面向量基本定理 配图增加试题详解1P是ABC内一点，且满足条件，设Q为延长线与AB的交点，令，用表示.思路点拨：这里选取，两不共线向量为基底，运用化归思想，最终变成形式求解.解析：又因为A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线而，为不共线向量故：总结升华：1在平面向量基本定理的应用中，当基底确定后，向量的表示是唯一的，合理的选取基底会给解题带 来方便；2解决该类问题，用基底表示向量是基本方法，还应注意三角形法则、中点坐标公式的熟练应用.举一反三：【变式1】ABC中，BD=DC，AE=2EC，求.思路点拨：选取，作为基底，构造在此基底下的两种不同的表达形式.再根据相同基底的系数对应相等得实数方程组求解.解析：设又又而比较，由平面向量基本定理得：解得：或（舍） ，把代入得：.类型二：平面向量的坐标运算2已知点以及求点C，D的坐标和的坐标.思路点拨：根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.解析：设点C、D的坐标分别为，由题意得因为，所以有和，解得和所以点C、D的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而总结升华：向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.举一反三：【变式1】已知，且，求M、N及的坐标.解析：设，则同理可求，因此类型三：平面向量的坐标表示3平面内给定三个向量(1)若求实数k；(2)设满足且求.思路点拨：(1)由两向量平行的条件得出关于k的方程，从而求出实数k的值；(2)由两向量平行及得出关于x，y的两个方程，解方程即可得出x，y的值，从而求出.解析：(1) (2) 又且 总结升华：(1)与平行有关的问