中考数学 动态几何问题探究课件.ppt

中考动态几何问题探索 关于对动态几何问题的理解 以运动的观点探究几何图形的变化规律问题 称之为动态几何问题随之产生的动态几何试题就是研究 在几何图形的运动中 伴随着出现一定的图形位置 数量关系的 变 与 不变 性的试题 中考动态几何问题探索 分类 题型分类 点动型 线动型 面动型运动形式 平移 旋转 翻折 滚动 中考动态几何问题探索 题型一 点动型 点动型就是在三角形 矩形 梯形等一些几何图形上 设计一个或几个动点 并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系 变量关系 图形的特殊状态 图形间的特殊关系等进行研究 运动型问题常常集几何 代数知识于一体 数形结合 有较强的综合性 解决点运动型问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形 把握动点运动与变化的全过程 抓住其中的等量关系和变量关系 并特别关注一些不变量 不变关系或特殊关系 尽管一些试题大多属于静态的知识和方法 然而 这些试题中常常渗透着运动与变化的思想方法 需要用运动与变化的观点去研究和解决 点运动型问题有时把函数 方程 不等式联系起来 当一个问题是求有关图形的变量之间关系时 通常建立函数模型或不等式模型求解 当求图形之间的特殊位置关系和一些特殊的值时 通常建立方程模型去求解 中考动态几何问题探索 中考动态几何问题探索 例1 2007福州 如图 直线 连结ab 直线ac bd及线段ab把平面分成 四个部分 规定 线上各点不属于任何部分 当动点p落在某个部分时 连结pa pb 构成 三个角 提示 有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角 1 当动点落在第 部分时 求证 2 当动点落在第 部分时 是否成立 直接回答成立或不成立 3 当动点在第 部分时 全面探究 之间的关系 并写出动点的具体位置和相应的结论 选择其中一种结论加以证明 p 1 单动点型 中考动态几何问题探索 解决此类动点几何问题常常用的是 类比发现法 也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同 进行观察和比较 从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手 去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质 从而获得相关结论 类比发现法大致可遵循如下步骤 1 根据已知条件 先从动态的角度去分析观察可能出现的情况 2 结合某一相应图形 以静制动 运用所学知识 常见的有三角形全等 三角形相似等 得出相关结论 3 类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质 中考动态几何问题探索 2006年绵阳市 在正方形abcd中 点p是cd上一动点 连结pa 分别过点b d作be pa df pa 垂足分别为e f 如图 1 请探索be df ef这三条线段长度具有怎样的数量关系 若点p在dc 的延长线上 如图 那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系 若点p在cd 的延长线上呢 如图 请分别直接写出结论 2 请在 1 中的三个结论中选择一个加以证明 中考动态几何问题探索 2007十二市 如图 已知等边三角形abc中 点d e f分别为边ab ac bc的中点 m为直线bc上一动点 dmn为等边三角形 点m的位置改变时 dmn也随之整体移动 1 如图 当点m在点b左侧时 请你判断en与mf有怎样的数量关系 点f是否在直线ne上 都请直接写出结论 不必证明或说明理由 2 如图 当点m在bc上时 其它条件不变 1 的结论中en与mf的数量关系是否仍然成立 若成立 请利用图 证明 若不成立 请说明理由 3 若点m在点c右侧时 请你在图 中画出相应的图形 并判断 1 的结论中en与mf的数量关系是否仍然成立 若成立 请直接写出结论 不必证明或说明理由 2 双动点型 例2 2007哈尔滨 如图1 在正方形abcd中 对角线ac与bd相交于点e af平分 交bd于点f 1 求证 2 点c1从点c出发 沿着线段cb向点b运动 不与点b重合 同时点a1从点a出发 沿着ba的延长线运动 点c1与a1的运动速度相同 当动点c1停止运动时 另一动点a1也随之停止运动 如图2 a1f1平分 交bd于点f1 过点f1作 垂足为e1 请猜想e1f1 与ab三者之间的数量关系 并证明你的猜想 3 在 2 的条件下 当a1e1 3 c1e1 2时 求bd的长 1 如图9 1 在 abc中 b 90 ab 6cm bc 3cm 点p从点a开始沿ab边向点b以1cm s的速度移动 点q从点b开始沿bc边向点c以2cm s的速度移动 如果p q分别从a b同时出发 几秒钟后p q间的距离等于4cm 山东省中考试题 说明 本题抓住变化中图形的特殊位置关系 pq 4cm 直接利用勾股定理 建立方程模型解决问题 分析 本题如果设t秒钟后 p q间的距离等于4cm 那么pb qb都能用t来表示 根据勾股定理 可以列出关于t的方程求解 2 如图9 2 在 abc中 c 90 bc 8cm sinb 0 6 点p从点b开始沿bc向点c以2cm s的速度移动 点q从点c开始沿ca边向点a以1cm s的速度移动 如果p q分别从b c同时出发 第几秒时pq ab 陕西省咸阳市中考试题 说明 本题抓住变化中图形的特殊位置pq ab 利用平行线分线段成比例定理求解 分析 如图9 2 假设运动开始后t秒时 pq ab根据这时图形的特殊位置 利用平行线分线段成比例定理求解 3 如图9 4 在 abc中 ab 8cm ac 16cm 点p从点a开始沿ab边向点b以2cm s的速度移动 点q从点c开始沿ca边向点c以4cm s的速度移动 如果p q分别从a c同时出发 经几秒钟 paq与 abc相似 江苏省宿迁市中考试题 分析 在p q分别从a b同时出发运动的过程中 可能有两种状态出现 因此 这两种情况都要考虑 通过上述例题可以发现 双动点的题型可以转化为单动点题型求解 关键是抓准决定整道题的那个关键的动点 从而将问题转化 归纳 中考动态几何问题探索 例3 2007宜昌 如图1 在 abc中 ab bc 5 ac 6 ecd是 abc沿bc方向平移得到的 连接ae ac和be相交于点o 1 判断四边形abce是怎样的四边形 说明理由 2 如图2 p是线段bc上一动点 图2 不与点b c重合 连接po并延长交线段ae于点q qr bd 垂足为点r 四边形pqed的面积是否随点p的运动而发生变化 若变化 请说明理由 若不变 求出四边形pqed的面积 当线段bp的长为何值时 pqr与 boc相似 3 多动点型 中考动态几何问题探索 2006眉山 如图 mon 90 在 mon的内部有一个正方形aocd 点a c分别在射线om on上 点b1是on上的任意一点 在 mon的内部作正方形ab1c1d1 1 连续d1d 求证 add1 90 2 连结cc1 猜一猜 c1cn的度数是多少 并证明你的结论 3 在on上再任取一点b2 以ab2为边 在 mon的内部作正方形ab2c2d2 观察图形 并结合 1 2 的结论 请你再做出一个合理的判断 通过以上例题可以看出 解答有关动点的综合创新题通常有以下思路 其一是弄清在动点运动过程中 存在哪些不变量及不变的关系 有哪些几何量是变化的 以及它们之间的关系 其二根据变量和不变量之间的几何关系 建立方程模型 求出动点在特殊位置时未知量的值 或根据变量和变量之间的几何关系建立函数模型 探究特殊情况下未知量的值 小结 2 线旋转型 线动实质就是点动 即点动带动线动 进而还会产生面动 因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解 解决此类题的关键是要把握图形运动与变化的全过程 抓住其中的等量关系和变量关系 从运动变化得图形的特殊位置 进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示 这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的 题型三 图动型 图形的运动变换主要有平移 旋转和翻折这三种基本变换 主要是对给定的图形 或其一部分 实行某种位置变化 然后在新的图形中分析有关图形之间的关系 这类问题常与探究性 存在性等结合在一起 考察学生动手能力 观察能力 探索与实践能力 1 图形平移型 例6 2007河北 abc中 ab ac cg ba交ba的延长线于点g 一等腰直角三角尺按如图15 1所示的位置摆放 该三角尺的直角顶点为f 一条直角边与ac边在一条直线上 另一条直角边恰好经过点b 1 在图15 1中请你通过观察 测量bf与cg的长度 猜想并写出bf与cg满足的数量关系 然后证明你的猜想 2 当三角尺沿ac方向平移到图15 2所示的位置时 一条直角边仍与ac边在同一直线上 另一条直角边交bc边于点d 过点d作de ba于点e 此时请你通过观察 测量de df与cg的长度 猜想并写出de df与cg之间满足的数量关系 然后证明你的猜想 3 当三角尺在 2 的基础上沿ac方向继续平移到图15 3所示的位置 点f在线段ac上 且点f与点c不重合 时 2 中的猜想是否仍然成立 不用说明理由 图形平移实质上就是线的平移 线的平移会产生相似图形 所以这类问题解题的关键思路是利用相似得到待求量之间的关系 本题是一道利用三角板为背景设计的题目 求解时一定要了解三角板的特性 使求解难度降低 通过求解我们还可以看出 三角板通过适当的操作能变幻出许多精彩的中考数学试题 近两年的中考中就频频出现此类问题 2 图形旋转型 例7 2007临沂 如图1 已知 abc中 ab bc 1 abc 90 把一块含30 角的三角板def的直角顶点d放在ac的中点上 直角三角板的短直角边为de 长直角边为df 将直角三角板def绕d点按逆时针方向旋转 在图1中 de交ab于m df交bc于n 证明dm dn 在这一过程中 直角三角板def与 abc的重叠部分为四边形dmbn 请说明四边形dmbn的面积是否发生变化 若发生变化 请说明是如何变化的 若不发生变化 求出其面积 继续旋转至如图2的位置 延长ab交de于m 延长bc交df于n dm dn是否仍然成立 若成立 请给出证明 若不成立 请说明理由 继续旋转至如图3的位置 延长fd交bc于n 延长ed交ab于m dm dn是否仍然成立 若成立 请给出写出结论 不用证明 2007资阳 如图8 1 已知p为正方形abcd的对角线ac上一点 不与a c重合 pe bc于点e pf cd于点f 1 求证 bp dp 2 如图8 2 若四边形pecf绕点c按逆时针方向旋转 在旋转过程中是否总有bp dp 若是 请给予证明 若不是 请用反例加以说明 3 试选取正方形abcd的两个顶点 分别与四边形pecf的两个顶点连结 使得到的两条线段在四边形pecf绕点c按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等 并证明你的结论 图形的旋转实质就是线的旋转 也可抓住旋转图形和不变图形的交点 转化成动点问题先动后静来求解 3 图形翻折型 例8 2007济宁 如图 先把一矩形abcd纸片对折 设折痕为mn 再把b点叠在折痕线上 得到 abe 过b点折纸片使d点叠在直线ad上 得折痕pq 1 求证 pbe qab 2 你认为 pbe和 bae相似吗 如果相似给出证明 如补相似请说明理由 3 如果直线eb折叠纸片 点a是否能叠在直线ec上 为什么 图形翻折实际上是轴对称变换 变换前后的对应线段相等 对应角相等 常常与角平分线 线段垂直平分线 等腰三角形的高相联系 解决旋转 平移 翻折的动态几何问题关键是结合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有关知识 全面寻找图形运动过程中的不变量 例9 2007义乌 如图1 小明将一张矩形纸片沿对角线剪开 得到两张三角形纸片 如图2 量得他们的斜边长为10cm 较小锐角为30 再将这两张三角纸片摆成如图3的形状 但点b c f d在同一条直线上 且点c与点f重合 在图3至图6中统一用f表示 图1 图2 图3 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题 请你帮助解决 1 将图3中的 abf沿bd向右平移到图4的位置 使点b与点f重合 请你求出平移的距离 2 将图3中的 abf绕点f顺时针方向旋转30 到图5的位置 a1f交de于点g 请你求出线段fg的长度 3 将图3中的 abf沿直线af翻折到图6的位置 ab1交de于点h 请证明 ah dh 图4 图5 图6 本题是围绕图形的翻折 平移 旋转设计的一道综合题 不但考察学生对翻折 平移 旋转的性质 三角形全等的判定和性质等基础知识的掌