习题2.2（1）

平面解析几何复习 2 江阴市第一中学 巫斌 知识要点 直线方程 圆的方程直线的位置关系的判定距离 夹角直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系弦长公式切线方程直线与圆中的动点 最值问题直线系 圆系 例1已知圆C x 2 2 y2 1 P x y 为圆C上任意一点 例1已知圆C x 2 2 y2 1 P x y 为圆C上任意一点 分析 A P1 P2 解 分析 解 例1已知圆C x 2 2 y2 1 P x y 为圆C上任意一点 2 解2 例1已知圆C x 2 2 y2 1 P x y 为圆C上任意一点 例1已知圆C x 2 2 y2 1 P x y 为圆C上任意一点 3 解 的几何意义 圆上任意点P x y 到原点 的距离的平方 由图知 例2 已知圆C x 1 2 y 2 2 25 直线l 2m 1 x m 1 y 7m 4 m R 1 求证 不论m取什么实数 直线l与圆C恒相交 2 求直线l被圆C截得的弦长最短长度以及此时直线l的方程 解 分析 1 若对于任意的实数m 直线l与圆C恒相交 则直线l必过圆内 上 一定点 因此应从直线l过定点的角度去考虑问题 分析 2 根据平面几何定理 过圆内一点最短的弦 应是过这点的与弦心距垂直的弦 2 求直线l被圆C截得的弦长最短长度以及此时直线l的方程 解 2 求直线l被圆C截得的弦长最短长度以及此时直线l的方程 解2 则 得 设D x1 y1 B x2 y2 最短时的直线方程 由 若直线l y kx b与圆C x a 2 y b 2 r2交于A x1 y1 B x2 y2 弦长公式 则 y kx b x a 2 y b 2 r2 由 得 则由题意有 即 即 例3 韦达定理法 例3 法二 设经过PQ的圆的方程为 此圆的方程圆心在直线上且过原点 例4 已知定点A 3 0 P是圆上x2 y2 1上的动点 AOP的平分线交PA于N 求点N的轨迹 解 设N x y P x0 y0 则由角平分线性质得 即 点N轨迹是以 0 为圆心 为半径的圆 解2 设N x y 点N轨迹是以 0 为圆心 为半径的圆 例4 已知定点A 3 0 P是圆上x2 y2 1上的动点 AOP的平分线交PA于N 求点N的轨迹 则由角平分线性质得 又 谢谢观赏 平面解析几何复习 1 江阴市第一中学 巫斌 1 设a R 直线l1 ax 2y 1 0与直线l2 x a 1 y 4 0平行 则a 答案 1或 2 2 已知圆C x2 y2 4x 0 l是过点P 3 0 的直线 则l与C的位置关系为 把点 3 0 代入圆的方程的左侧得32 0 4 3 3 0 故点 3 0 在圆的内部 所以过点 3 0 的直线l与圆C相交 答案 相交 3 对任意的实数k 直线y kx 1与圆x2 y2 2的位置关系一定是 答案 相交但直线不过圆心 易知直线过定点 0 1 且点 0 1 在圆内 但是直线不过圆心 0 0 4 过点 1 2 的直线l被圆x2 y2 2x 2y 1 0截得的弦长为 则直线l的斜率为 对解析几何的考查 主要考查直线和圆的方程以及直线与圆的位置关系的有关问题 运算能力与平面几何知识的灵活运用有可能成为制约考生解题的一个重要因素 因此在学习的过程中 要注意加强圆的几何性质的复习 注意向量方法在解析几何中的应用 注意强化运算能力的训练 努力提高灵活解题的能力 必备知识 两直线平行 垂直的判定 1 l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 两直线斜率存在 且不重合 则有l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 若两直线的斜率都不存在 并且两直线不重合 则两直线平行 若两直线中一条直线的斜率为0 另一条直线斜率不存在 则两直线垂直 2 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 则有l1 l2 A1B2 A2B1 0 且B1C2 B2C1 0 l1 l2 A1A2 B1B2 0 必备方法1 由于直线方程有多种形式 各种形式适用的条件 范围不同 在具体求直线方程时 由所给的条件和采用的直线方程形式所限 可能会产生遗漏的情况 尤其在选择点斜式 斜截式时要注意斜率不存在的情况 2 处理有关圆的问题 要特别注意圆心 半径及平面几何知识的应用 如弦心距 半径 弦长的一半构成直角三角形经常用到 利用圆的一些特殊几何性质解题 往往使问题简化 3 直线与圆中常见的最值问题 1 圆外一点与圆上任一点的距离的最值 2 直线与圆相离 圆上任一点到直线的距离的最值 3 过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值 4 直线与圆相离 过直线上一点作圆的切线 切线长的最小值问题 5 两圆相离 两圆上点的距离的最值 4 两圆相交 将两圆方程联立消去二次项 得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程 对于圆的方程 要求能根据所给的条件选取恰当的方程形式利用待定系数法求出圆的方程 并结合圆的几何性质解决与圆相关的问题 该部分常以填空的形式直接考查 或是在解答题中综合轨迹问题进行考查 待定系数法求圆的方程 例1 已知圆C与圆x2 y2 2x 0相外切 并且与直线x y 0相切于点Q 3 求圆C的方程 求圆的方程一般有两类方法 1 几何法 通过研究圆的性质 直线和圆 圆与圆的位置关系 进而求得圆的基本量和方程 2 代数法 即用待定系数法先设出圆的方程 再由条件求得各系数 突破训练1 已知圆过点A 1 2 B 3 4 且在x轴上截得的弦长为6 求圆的方程 直线与圆的位置关系是考查的热点 主要考查直线与圆的相交 相切 相离的判定与应用 以及弦长 面积的求法等 并常与圆的几何性质交汇 要求学生有较强的运算求解能力 直线与圆位置关系的考查 分析 第 1 问由圆A与直线l1相切易求出圆的半径 进而求出圆A的方程 第 2 问注意直线l的斜率不存在时也符合题意 以防漏解 另外应注意用好几何法 以减小计算量 第 3 问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论 1 直线和圆的位置关系常用几何法 即利用圆的半径r 圆心到直线的距离d及半弦长构成直角三角形关系来处理 2 要注意分类讨论 即对直线l分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究 以防漏解或推理不严谨 突破训练2 在平面直角坐标系xOy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆C上 1 求圆C的方程 2 若圆C与直线x y a 0交于A B两点 且OA OB 求a的值 常以直线 圆为载体结合平面向量来命题 考查解决解析几何问题的基本方法与技能 正成为命题新的生长点 直线 圆的交汇问题 对直线与圆的综合性问题 要认真审题 学会将问题拆分成基本问题 然后综合利用数形结合思想 化归与转化思想 方程的思想等来解