2011考研数学中的4大物理应用--功、引力、压力、质心.pdf

2011 智轩考研数学专题讲座之考研数学中的 4 大物理应用 功 引力 压力 质心 1 2011 考研数学中的 4 大物理应用 功 引力 压力 质心 智轩考研数学培训中心 物理应用 几何应用 物理定理 几何应用包括 平面图形的面积 平面曲线的弧长 旋 转体的体积及侧面积 平行截面面积为已知的立体体积和函数的平均值 物理应用包括 功 引力 压力和质心 一 压力或浮力问题 物理定理 在水深为h处的压强phr r为液体的比重 如果有一个面积为S的平板水平地放置 在深h处 则该平板的一侧受液体的压力为PpShSr 一般地 果有一个面积为S的平板垂直地放 置某液体中 则该平板的一侧受液体的压力为 b a Px f xdxr 对于数学一的考生还会以浮力形式考察三重积分 FdV t r 液体或气体 浮力 题型题法 例 1 一底为 8Cm 高为 6Cm 的等腰三角形片 沿直地沉没在水中 顶在上 底在下 且与水面平行 而顶离水面 3Cm 试求它每面所受的压力 解 以水面为原点 向右为x正方向 向下为y正方向 画三角型图 顶点为 0 3A 底左端点为 4 9B 底右端点为 4 9C AC直线方程为 62 33 43 yxxy 则所求压力为 9 3 44 233168 33 dPydSyxdyy ydyPy ydygrrr 例 2 边长为 a b ab 的矩形薄板 与液面成a角 斜沉入液体内 长边平行于液面而位于深h处 液体密度为g 求薄板每面收到的压力 解 0 sinsin2sin 2 b dPg hadxPghadxabghb g gagaa 例 3 一横放着的圆柱形水桶 内盛半桶水 设水桶的半径为 R 水的相对密度为g 求桶的一个端面 所受压力 解 22 2dPx Rx gdxg 223 0 2 2 3 R PxRx gdxR ggg 或由物理知识可求 23 142 233 R PRRgpg p 2011 智轩考研数学专题讲座之考研数学中的 4 大物理应用 功 引力 压力 质心 2 二 引力 万有引力或电场力 问题 物理定理 两个质点的万有引力 12 2 m m FG r 一般要求是一个质点和一个一维或二维连续 体的万有引力计算 两个点电荷的电场力 1212 22 0 1 4 q qq q Fk rrpe 一般要求是一个点电荷和一 个一维或二维连续带电体的电场力计算 题型题法 例 4 例如在x轴上有一根长为l 均匀质量密度为l的木棒 中心放在原点 在y轴上 0 a处有一 个单位质点 计算万有引力 解 2 3 22 2 2 0 l lxy dx FFG ax l 例 5 在x轴上有一根长为l 均匀电荷密度为l的木棒 中心放在原点 在y轴上 0 a处有一个单 位电荷 计算电场力 解 2 3 22 02 2 1 0 4 l lxy dx FF ax l pe 例 6 求火箭脱离地球引力范围所需初速度 地球半径6370Rkm 解 设 M 为地球质量 m 为火箭质量 微功 2 mM dWkdr r 在地面上 2 mM kmg R 所以 2 R g k M 于是 2 2 mgR dWdr r 2 2 R mgR WdrmgR r 令 2 0 1 2 mvmgR 则 0 11 2 vkm s 例 7 一长为 l 质量为 M 的均匀直棒在它的一端垂线上距棒 a 点处有一质量为 m 的质点 求棒对质点 的引力 解 22 M km l dFdx ax F 的方向为 xa 切线 方向余弦为 2222 22 22 3 222 3 2 222200 cos cos cos cos xy ll xy xa dFdFdFdF axax kmMxkmMkmMakmM FdxalaFdx l axl ax alalaal abab xyxy FF iF j F F 如上 例 8 火星直径为 6860km 其表面重力加速度 2 3 92 gm s 若在火星上发射一枚火箭 初速度为多 少能摆脱火星引力的束缚 2011 智轩考研数学专题讲座之考研数学中的 4 大物理应用 功 引力 压力 质心 3 解 设火箭质量为 m 火星质量为 M 火星半径为 R 由万有引力定律 引力 2 kMm f Rx 当0 x 时 fmg 故 22 2 R fR gm kdWfdxdx MRx 2 2 2 0 11 h R gm WdxR gm RxRRh 令h 得WRgm 来自动能 2 0 1 2 mv 令 2 00 1 25 186 2 mvRgm vRgkm s 三 做功问题 物理定理 数学 23 考生一般要求求一维问题的功 b a WFdx 数学 1 考生还要求 b a WF dl ur r 属于第二类曲线积分 形式的 功 题型题法 例 9 一密度为 3 1 g cmg g 半径为 R 的球沉入水中 球的上顶与水面相切 现将球从水中取出需 做多少功 解 只将微元取到水面 所做的微功为 2 1 1 dWg y xdxgp 22 1 gRxRxdxgp 再将球 取出水面 微元所做的功为 222 2 2 2 dWg yRx dxgRx RxRxdxg pg p 所以总功 12 WWW 2 22 1 0 2 22 2 0 1 2 R R WgRxRxdx WgRx RxRdx gp g p 计算可得 4 1 4 1 3 WgRgp 4 2 4 3 WRgpg 总功 4 12 4 21 3 WWWR gpg 例 10 半径为 10cm 的铁球 浸没于水深 1 1m 的池底 欲将其捞出水底 问需做多少功 铁的密度为 3 1 7800 kg mr 水的密度为 3 2 1000 kg mr 解 水下 222 11212 0 1 1 0 01 1 dWydygygyy dyprrprr 水上 222 211 0 1 0 1 0 01 0 1 dWydygygyy dyprpr 总微功 12 2 121 2 1221 0 1 2 1221 0 1 0 01 1 0 1 0 01 0 1 0 01 0 1 dWdWdW gyyy dy gyydy Wgyydy prrr prrrr prrrr 代入 1 r 2 r和 g 的值 311 WJ 2011 智轩考研数学专题讲座之考研数学中的 4 大物理应用 功 引力 压力 质心 4 例 11 一密度为 3 2 5 g cm 底半径为 R 高为 H 的圆柱体沉入水中 上底与水面平齐 求把它捞出水 面所做的功 解 设所做功为 W 则功元素 22 22 2 5 1 2 5 2 5 dWR xgdxRHx gdx R HR x gdx pp pp 从而功 222 0 2 5 2 H WR HR x gdxR Hgppp 例 12 设半径为 R 的半球形水池充满了水 当抽出的水所做的功为将水全部抽出所做的功的一半时 水 面下降的高度是多少 解 22 dWg x Rxdxp 222 0 4 R Wg x RxdxR g p p 当水下降高度为 h 时 2 2222 0 2 4 h h h Wg x RxdxRhg p p 令 2 222 1 2 42 4 h RhgR g pp 得 22 2 hR 四 质心 形心 问题 质心是针对实物体而言的 而形心是针对抽象几何体而言的 对于密度均匀的实物体 质 心和形心重合 且计算方法完全相同 只要会计算形心 质心计算方法便同晓 物理定理 平面曲线的质心 22 2 2 11 1 1 bb y axa b b a a xxy dxyxy dx M M XY MM xy dx xfxdx ss s s 平面平板的质心 y SxS SS x y xdxdyx y ydxdy M M xy MMx y dxdyx y dxdy ss ss 对于空间图形有类似的质心公式 请参阅多元积分学应用部分 以便比较记忆 曲线形心形心 在多元函数积分应用时 还有平面图形和空间图形的形心问题 请对照 对质心只要在每项积分中加入线密度为 xl即可 当 xl 常数 即几何体均匀时 质心与形心完全重合 上述公式通用 下同 上述形心坐标公式与上下曲旋转体的侧面积公式联系起来 便得到一个非常有用的定理 2011 智轩考研数学专题讲座之考研数学中的 4 大物理应用 功 引力 压力 质心 5 古尔金第一定理 形心划出的周长 弧长 2 2 xy SYlSXlpp 均匀平面薄板 对质心只要在每项积分中加入密度函数即可 上述形心坐标公式与旋转体的体积公式联系起来 便得到另一个非常有用的定理 古尔金第二定理 形心划出的周长 面积 2 2 xy VYSVXSpp 题型题法 例 13 设 f x在 0 a上连续非负 00f 在 0 a内 0fx 设 XY为区域 2 0 0Dx yRxayf x 的形心 求证 2 3 Xa 解 0 0 a a xf x dx X f x dx 要证 2 3 Xa 等价于要证明 0 2 0 3 a xa f x dx 注意 区域的形心公式相当于平面薄板与曲线的形心公式的不同 构造辅助函数 000 22 0 33 xxx F xtx f t dttf t dtxf t dtxa 0 00 0 00 00 0 12 00 33 111111 333333 0 0 0 0 x f fxx F FF a Fxxf xf t dtF Fxxfxfxxfxxfx fxfxfx f xffxf xfxx Fx FxFxF x x xxhx xxx 显然只须证明 说明 00 2 00 3 F F xF aXa 例 14 设 f x在 0 1上连续非负 0000fff 0fx 设 X Y为区域 2 0 1Dx yRyf xxy 的形心 求证 3 4 X 证明 0 0 a a xf x dx X f x dx 要证 3 4 X 等价于要证明 1 0 3 0 0 1 4 xf x dxx 构造辅助函数 000 33 44 xxx F xtx f t dttf t dtxf t dt 2011 智轩考研数学专题讲座之考研数学中的 4 大物理应用 功 引力 压力 质心 6 0 0 0000 00 10 13 00 44 11 00 42 111111 444444 0 00 x fxx FF FF Fxxf xf t dtF Fxxfxf xF Fxxfxxfxxfxfx fxfxfx Fx FxFxFxFx x xxhx 显然只须证明 00 0 3 4 F FxF x X 例 15 设D由曲线 3 0 0ypxyp 及其过点 1 p的切线与x轴围成 其形心为 XY 1求X的值 2求p的值 使D绕y轴一周而生成的旋转体体积为 6 135 y Vp 解 1 2 11 3 331 xx ypxpypp x 切线方程 1 3 0 211 0 0 2 3612 xypSpx dxpp 与 轴的交点为与 轴的交点为 区域面积 111 32 22 0 33 11847 313211 55279135 7 28 135