圆24.1.3.doc

24.1.3 弧、弦、圆心角【教学目标】知识与技能 1理解圆心角的概念，掌握圆的旋转不变性2掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系进行有关的计算和证明过程与方法1.通过动手操作、观察、比较、猜想、推理、归纳等活动，发展推理能力以及概括问题的能力，激发学生的学习兴趣2.在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并与同伴进行交流，提高学生合作意识，体验学习的快乐情感、态度与价值观1.经历探索弧、弦、圆心角关系定理及其结论的过程，提高学生分析问题、解决问题的能力，发展学生的数学思考能力2.通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验，增强学生学习的自主性【重点难点】重点：理解并掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明【教学准备】 教师准备：多媒体课件1-6 学生准备：半径相等的两个圆形纸片.【教学过程】一、教学导入导入一：（课件1展示）欣赏动画：折扇的收拢和展开.观察在这个过程中哪些弧重合？哪些弦重合？哪些角重合？引出课题.导入二：复习提问：1.什么是中心对称图形？ 2.圆是不是中心对称图形？对称中心是什么？ 3.将课前准备的两个圆形纸片重合在一起，绕圆心转动其中一个圆，你发现什么现象？师生活动：学生动手操作思考后，小组简单交流答案，师生共同归纳结论(课件2展示）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形与原图形重合，即圆有旋转不变性 【设计意图】运用多媒体形象直观的展现了折扇中蕴涵的圆心角、弧、弦之间的关系，引入课题顺理成章，动画演示激发了学生的学习兴趣，并让学生体会到数学来源于生活通过旋转课前准备的纸片，轻松获得圆的旋转不变性，为本节课的学习做好铺垫，同时培养学生自主探究的学习方法二、新知构建 过渡语这节课我们由圆的旋转不变性为基础，探究圆的其它性质归纳概念：观察导入中折扇收拢过程中，这些重合的角有什么特征？学生归纳出特征以后给出圆心角的概念（课件3展示）顶点在圆心的角叫做圆心角思考：1.图中有几个圆心角，分别是什么？（三个，分别是AOB、AOC、BOC.) 2.图中的圆心角所对的弧、弦分别是什么？ 师生活动：学生回答，教师点评. 共同探究： 思考：如图，O中，当圆心角AOB=AOB时，它们所对的弧和、弦AB和AB相等吗？为什么？ 思路一： 1.将AOB旋转到A/OB/的位置，它能否与AOB完全重合？ 2.如果能重合，你会发现哪些等量关系？ 3.你能证明这些结论吗？4. 在两个等圆中，如果圆心角AOB=AOB，你能否得到相同的结论？ 5.你能用语言叙述上面的命题吗？师生活动：学生独立思考后小组合作交流，教师帮助有困难的学生完成思考过程，学生板书证明过程后，教师点评.（课件4展示）将AOB连用绕圆心O旋转，使射线OA与OA重合. AOB=AOB，射线OB与OB重合. 又OA=OA，OB=OB，点A与A重合，点B与B重合，因此，与重合，AB与AB重合.即=、AB=AB.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 思路二：动手操作： 1.在课前准备的两个圆形纸片上分别作相等的AOB和AOB.(0与0是两个圆的圆心） 要求：在画AOB和AOB时，要使OB相对于OA的方向与OB相对于OA的方向一致 2.将两个圆重合在一起，将其中一个圆旋转一定的角度，使OA与OA重合.观察思考： 1.通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系？ 2.如果在同一个圆中满足两个圆心角AOB=AOB相等，上述结论是否正确？ 3.你能证明你的结论吗？ 4.你能用语言叙述上面的命题吗？（课件4展示）将AOB连用绕圆心O旋转，使射线OA与OA重合. AOB=AOB，射线OB与OB重合. 又OA=OA，OB=OB，点A与A重合，点B与B重合，因此，与重合，AB与AB重合.即=、AB=AB.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 【设计意图】让学生通过动手操作、观察、猜想、证明、归纳得出圆心角、弦、弧之间的关系的定理，让学生亲自经历定理的形成过程，培养学生分析问题、解决问题的能力.共同探究2 ：思考：1.在圆心角性质定理中，为什么要说“在同圆或等圆中”？能不能去掉？2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，能得到什么结论？3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，能得到什么结论？师生活动：学生小组讨论，回答后教师点评，总结.（课件5展示) 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.即：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.填空：如图，AB、CD是O的两条弦.（1）如果AB=CD，那么 ， .（2）如果=，那么 ， .（3）如果AOB=COD，那么 ， . 【设计意图】学生通过小组合作学习，用类比的方法得到圆心角定理的推论，培养学生分析问题能力及合作精神.通过填空，及时运用所学知识解决问题，培养学生数学应用意识和解决问题的能力，同时让学生体会把数学语言向几何语言的转化.共同探究3：例3讲解：（课件6展示） 如图，在O中，=，ACB=60.求证：AOB=BOC=AOC. 教师引导：要证圆心角AOB=BOC=AOC，需证 或 ；而由=，可得 ，又ACB=60，所以ABC是 三角形，则 ，从而得证. 在教师引导下，学生独立思考，书写过程，有困难的学生小组合作交流，学生板书过程后，教师进行点评，规范解题格式.证明：=，AB=AC，ABC是等腰三角形， 又ACB=60，ABC是等边三角形，AB=BC=CA.AOB=BOC=AOC.【设计意图】通过例题分析，让学生掌握并能灵活运用所学知识点解决问题，培养学生正确应用所学的知识的能力，增强应用意识，同时规范学生书写格式，达到巩固知识的目的.【知识拓展】1.圆心角、弦、弧之间的关系的结论必须是在同圆或等圆中才能成立.2.利用同圆（或等圆）中圆心角、弦、弧之间的关系可以证明角、弦或弧相等.3.圆心角的度数与所对弧的度数相等.三、课堂小结1.圆是中心对称图形，圆有旋转不变性.2.圆心角概念：顶点在圆心的角.3.圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.4.利用同圆或等圆中圆心角、弦、弧之间的关系可以证明角、弦或弧相等.四、检测反馈1.在同圆或等圆中，如果=，那么AB与CD的关系是（ ）A. ABCD B. AB=CD C. ABCD D.无法确定解析：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所以由=得AB=CD，故选B.2.如图，已知AB是O的直径，点C、D是上的三等分点，AOE=600，则COE=（ ） A. 40O B.60O C.80O D.120O解析：AOE=60，BOE=180-AOE=120，的度数是120，C、D是上的三等分点，弧CD与弧ED的度数都是40，COE=80故选C3. 如图，在O中，=，A=500，则B= .解析：=，AB=AC，A=40，B=C=（180-A）2=70故填70.4.如图，在O中，AB、CD是两条弦，OEAB，OFCD，垂足分别为EF（1）如果AOB=COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？AOB与COD呢？解：OE=OF，理由是：OEAB，OFCD，OA=OB，OC=OD，OEB=OFD=90，EOB=AOB，FOD=COD，AOB=COD，EOB=FOD，OB=OD，EOBFOD（AAS），OE=OF（2）=，AB=CD，AOB=COD，理由是：OEAB，OFCD，OEB=OFD=90，OB=OD,OE=OF,RtBEORtDFO（HL），BE=DF，由垂径定理得：AB=2BE，CD=2DF，AB=CD，=，AOB=COD五、板书设计24.13 弦、弧、圆心角 圆的旋转不变性 圆心角定义 圆心角、弦、弧之间的关系： （1） （2） （3） 归纳： 例3:6六、布置作业（一）教材作业 必做题教材第89页习题24.1的3、4题.选做题教材第89页习题24.1的13题. （二）课后作业【基础巩固】1. 在同圆中，下列四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2)两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ ）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个2.如图所示，AB是O的直径，BOD60，则AOC() A30 B45 C60 D以上都不正确3.如图所示，AB，CD是O的直径，若AOE32，则COE的度数是()A32 B60 C68 D64 第2题图 第3题图4.如图，在O中，点C是的中点，OAB=40，则BOC等于( )A.40 B.50 C.70 D.80 第4题图 第5题图5.如图，在O中，弦EF直径AB，若弧AE的度数为50，则弧EF的度数为 ，弧BF的度数为 ，EOF= ，EFO= .6. 如图，AB是 O的直径，C，D是上的三等分点，AOE=60，则DOB的度数为 . 7.已知O的半径为12cm,弦AB将圆分成的两段弧的度数之比为15，求AOB的度数及弦AB的长.8.已知：如图所示，A、B、C、D在O上，AB=CD.求证：AOC=BOD. 9.如图，已知OA、OB是O的半径，点C是弧AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC. 【能力提升】10.如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一个动点，圆O的半径为1，则AP+BP最小值为 . 11.如图，在O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MCAB，NDAB，M、N在O上 （1）求证：=；（2） 若C、D分别为OA、OB中点，则=成立吗？ 【拓展探究】12.如图所示，AB是O的弦(不是直径)，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC，CD，分别交O与点E、F，证明：=. 【答案与解析】1.C解析：顶点在圆心的角叫圆心角，所以（1）正确；在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧，满足其中一组量相等，其余各组量都相等，所以（2）（3）错误；等弧一定在同圆或等圆中，所以（4）正确.故选C.2.C解析： ，CODBOD60，AOC180-COD-BOD60.故选C.3.D解析： ，BODAOE32，AOC=BOD32，COE2AOE64.故选D.4.B解析：点C是的中点，OCAB，AOC=50，BOC=50故选B5. 80，50，80，50解析：弧AE的度数为50，AOE=50，EFAB，FEO=AOE=50，OE=OF，EFO=FOE=50，EOF=180-EFO-FOE=80，弧EF的度数为80，BOF=180-AOE-EOF=50，弧BF的度数为50.故填80，50，80，50.6.80解析：AOE=60，BOE=180-AOE=120，C，D是上的三等分点，DOE=COD=BOC=40，DOB=80故填80 7.解：弦AB将圆分成的两段弧的度数之比为15，两段弧所对的圆心角的度数之比为15，周角的度数是360，AOB=360=60.又OA=OB，AOB是等边三角形，AB=OA=OB=12cm.8.证明弦AB=CD（已知），=；AOB=COD，AOB-BOC=COD-BOC，即AOC=BOD9.证明：OA、OB为O的半径，OA=OB，M是OA中点，N是OB中点，OM=ON，AOC=BOC，OC=OC，MOCNOC，MC=NC10.过A作AAMN于E，连接BA，交MN于点P，则此时AP+BP最小.点A是半圆上的一个三等分点，AON=AON=60，点B是弧AN的中点，=，BON=30，BOA=AON+BON=90，OB=OA=1，BA=，即AP+BP最小值为11.解：（1）证明：连接MO，NO，MONO，OA=OB，AC=BD，CODO，RtMCORtNDO，MOCNOD，=.2.C为AO中点，COAOMO，CMO30，MOC60，同理NODMOC60，MON180606060，=，即=成立.12. 证明：OC=OD，OCD=ODC，OA=OB，A=B，而OCD=A+AOC，ODC=B+BOD，AOC=BOD，=教学反思成功之处不足之处再教设计 本节课通过通过动手操作、观察、思考、合作交流、归纳总结活动，让学生亲身经历知识的探求过程，培养学生的探索能力和逻辑推理能力.由蕴含着圆心角、弦、弧之间的关系的折扇活动导入新课，激发学生学习兴趣，然后通过动手操作探究，学生观察、猜想、验证、归纳，很轻松的突破了本节课的重难点，课堂气氛活跃，大部分学生体验到学习的快乐，在数学课堂上了提高了能力，发展了数学思维. 本节课由圆的旋转不变性为基础，探究圆心角、弦、弧之间的关系是本节课的重点，在教学设计时的理念是把课堂交给学生，学生是主体，教师只是知识的引领者，但真正课堂教学中，教师还是在探究过程中学生遇到困难时，代替过多，提示过早，如讲解例题时应该让学生多思考，教师及时纠正不规范的地方即可.本节课的弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧、角线段相等的主要依据，因而在教学设计时要注重数形结合，图形、文字、几何三种语言的相互转化.数学与生活息息相关，以生活实例课堂导入，激发学生学习兴趣.课堂上重视学生经历知识的形成过程，以学生思考、合作交流为主，给更多的时间给学生，让课堂成为展示他们才华的舞台.增强学生学习的信心，让学生得到更大的发展.课后习题解答练习：教材第85页1.(1)=，AOB=COD.(2)AB=CD,AOB=COD.(3)AB=CD,=.(4)OE与OF相等.理由略.2.解： =，EOD=DOC=COB=35，EOB=353=105，AOE=180-105=75.备课资料： 1.本节课去探索