【拿高分选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习精选《必考问题16 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题》（命题方向把握+命题角度分析） 新人教版.doc

必考问题16与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题1(2011新课标全国)已知直线l过抛物线c的焦点，且与c的对称轴垂直，l与c交于a，b两点，|ab|12，p为c的准线上一点，则abp的面积为()a18 b24 c36 d48答案c不妨设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x.代入y22px得yp，即|ab|2p，又|ab|12，故p6，所以抛物线的准线方程为x3，故sabp61236.2(2011山东)设m(x0，y0)为抛物线c：x28y上一点，f为抛物线c的焦点，以f为圆心、|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交，则y0的取值范围是()a(0,2) b0,2c(2，) d2，)答案cx28y，焦点f的坐标为(0,2)，准线方程为y2.由抛物线的定义知|mf|y02.以f为圆心、|fm|为半径的圆的标准方程为x2(y2)2(y02)2.由于以f为圆心、|fm|为半径的圆与准线相交，又圆心f到准线的距离为4，故4y02，y02.3(2010福建)若点o和点f(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点p为双曲线右支上的任意一点，则of的取值范围为()a32，) b32，)c. d.答案b如图，由c2得a214，a23，双曲线方程为y21.设p(x，y)(x)，of(x，y)(x2，y)x22xy2x22x1x22x1(x)令g(x)x22x1(x)，则g(x)在，)上单调递增g(x)ming()32.of的取值范围为32，)4(2012浙江)定义：曲线c上的点到直线l的距离的最小值称为曲线c到直线l的距离已知曲线c1：yx2a到直线l：yx的距离等于曲线c2：x2(y4)22到直线l：yx的距离，则实数a_.解析因曲线c2：x2(y4)22到直线l：yx的距离为 2 ，则曲线c1与直线l不能相交，即x2ax，x2ax0.设c1：yx2a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d，所以a.答案本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值.必备知识有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，则所得弦长|p1p2| |x2x1|或|p1p2|y2y1|，其中求|x2x1|与|y2y1|时通常使用韦达定理，即作如下变形：|x2x1| ；|y2y1| .(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值f1，f2为椭圆1(ab0)的左、右焦点，p为椭圆的任意一点，b为短轴的一个端点，o为坐标原点，则有：|op|b，a；|pf1|ac，ac；|pf1|pf2|b2，a2；f1pf2f1bf2.(2)双曲线中的最值f1，f2为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，p为双曲线上的任一点，o为坐标原点，则有：|op|a；|pf1|ca.(3)抛物线中的最值点p为抛物线y22px(p0)上的任一点，f为焦点，则有：|pf|；a(m，n)为一定点，则|pa|pf|有最小值必备方法1定点、定值问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量2解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.常考查：给定圆锥曲线与直线相交为条件，求直线过定点；求题中的参数为定值【例1】 (2012湖南)在直角坐标系xoy中，曲线c1上的点均在圆c2：(x5)2y29外，且对c1上任意一点m，m到直线x2的距离等于该点与圆c2上点的距离的最小值(1)求曲线c1的方程；(2)设p(x0，y0)(y03)为圆c2外一点，过p作圆c2的两条切线，分别与曲线c1相交于点a，b和c，d.证明：当p在直线x4上运动时，四点a，b，c，d的纵坐标之积为定值审题视点 (1)直接根据曲线与方程的概念求解，或者转化为根据抛物线的定义求解均可；(2)首先建立圆的两条切线的斜率与点的坐标之间的关系，其次把圆的切线方程与抛物线方程联立消元，根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之积，最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证听课记录(1)解法一设m的坐标为(x，y)，由已知得|x2|3.易知圆c2上的点位于直线x2的右侧，于是x20，所以x5.化简得曲线c1的方程为y220x.法二由题设知，曲线c1上任意一点m到圆心c2(5,0)的距离等于它到直线x5的距离因此，曲线c1是以(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线故其方程为y220x.(2)证明当点p在直线x4上运动时，p的坐标为(4，y0)，又y03，则过p且与圆c2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为yy0k(x4)，即kxyy04k0.于是3.整理得72k218y0ky90.设过p所作的两条切线pa，pc的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程的两个实根，故k1k2.由得k1y220y20(y04k1)0.设四点a，b，c，d的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程的两个实根，所以y1y2.同理可得y3y4.于是由，三式得y1y2y3y46 400.所以，当p在直线x4上运动时，四点a，b，c，d的纵坐标之积为定值6 400. 解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值、定点问题的选择题或填空题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等【突破训练1】 设抛物线c：y24x，f为c的焦点，过点f的直线l与c相交于a，b两点(1)设l的斜率为1，求|ab|的大小；(2)求证：是一个定值(1)解f(1,0)，直线l的方程为yx1，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得x26x10，x1x26，x1x21.|ab|8.(2)证明设直线l的方程为xky1，由得y24ky40.y1y24k，y1y24，(x1，y1)，(x2，y2)ox1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143.是一个定值给定圆锥曲线的方程或性质，求特定量的最值或一个特殊式的范围【例2】 设椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，上顶点为a，如图所示，过点a作与af2垂直的直线交x轴负半轴于点q，且20.(1)求椭圆c的离心率；(2)若过a，q，f2三点的圆恰好与直线l：xy30相切，求椭圆c的方程；(3)在(2)的条件下，过右焦点f2作斜率为k的直线l与椭圆c交于m，n两点，在x轴上是否存在点p(m,0)，使得以pm，pn为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由审题视点 (1)由与20联立可求；(2)用a表示出aqf2外接圆的圆心坐标和半径；(3)将直线l与椭圆方程联立后，利用()0寻找m与k的关系式后可求m的范围听课记录解(1)设q(x0,0)，由f2(c,0)，a(0，b)，知(c，b)，a(x0，b)a，cx0b20，x0.由于20，即f1为f2q的中点故c2c，b23c2a2c2，即a2c，故椭圆的离心率e.(2)由(1)，知，得ca，于是f2，q.于是aqf2的外接圆圆心为，半径ra.该圆与直线xy30相切，所以a，解得a2.c1，b.所求椭圆方程为1.(3)由(2)，知f2(1,0)设l：yk(x1)，由消去y，得(34k2)x28k2x4k2120.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x1x22)pp(x1m，y1)(x2m，y2)(x1x22m，y1y2)由于菱形的对角线垂直，故(pp)m0.故k(y1y2)x1x22m0，即k2(x1x22)x1x22m0，即k22m0.由已知条件知k0且kr，m.0m.故存在满足题意的点p(m,0)，且m的取值范围是. 求最值或范围常见的解法：(1)几何法若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决；(2)代数法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求最值；(3)求函数最值常用的代数法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等【突破训练2】 (2012浙江)如图，椭圆c：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点p(2,1)的距离为.不过原点o的直线l与c相交于a，b两点，且线段ab被直线op平分(1)求椭圆c的方程；(2)求abp面积取最大值时直线l的方程解(1)设椭圆左焦点为f(c,0)，则由题意得得所以椭圆方程为1.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，线段ab的中点为m.当直线ab与x轴垂直时，直线ab的方程为x0，与不过原点的条件不符，舍去故可设直线ab的方程为ykxm(m0)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，(1)则64k2m24(34k2)(4m212)0，所以线段ab的中点m.因为m在直线op：yx上，所以.得m0(舍去)或k.此时方程(1)为3x23mxm230，则3(12m2)0，所以|ab|x1x2|.设点p到直线ab距离为d，则d.设abp的面积为s，则s|ab|d.其中m(2 ，0)(0,2 )令u(m)(12m2)(m4)2，m2 ，2 ，u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)所以当且仅当m1，u(m)取到最大值故当且仅当m1，s取到最大值综上，所求直线l方程为3x2y2 20.常考查：给定圆锥曲线的方程或性质，探究等式成立的参数值、最值的存在、点的存在等【例3】 (2012江西)已知三点o(0,0)，a(2,1)，b(2,1)，曲线c上任意一点m(x，y)满足|()2.(1)求曲线c的方程；(2)点q(x0，y0)(2x02)在曲线c上，曲线c在点q处的切线为l.问：是否存在定点p(0，t)(t0)，使得l与pa，pb都相交，交点分别为d，e，且qab与pde的面积之比是常数？若存在，求t的值若不存在，说明理由审题视点 第(1)问根据平面向量的概念和运算化简可以得到；第(2)问利用导数求出切线方程，然后分别写出pa，pb两直线方程解得交点d，e，最后通过分割法求出三角形pde的面积，得出面积的比，求出满足比值为常数的t的值，从而确定存在听课记录解(1)由(2x,1y)，(2x,1y)，|，()(x，y)(0,2)2y，由已知得2y2，化简得曲线c的方程：x24y.(2)假设存在点p(0，t)(t0)满足条件，则直线pa的方程是yxt，直线pb的方程是yxt.曲线c在q处的切线l的方程是yx，它与y轴的交点为f.由于2x02，因此11.当1t0时，1，存在x0(2,2)，使得，即l与直线pa平行，故当1t0时不符合题意当t1时，1，1，所以l与直线pa，pb一定相交分别联立方程组解得d，e的横坐标分别是xd，xe，则xexd(1t)，又|fp|t，有spde|fp|xexd|，又sqab4，于是.对任意x0(2,2)，要使为常数，即只需t满足解得t1.此时2，故存在t1，使得qab与pde的面积之比是常数2. 探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论若真的存在，则能得出相应结论；若不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论【突破训练3】 已知定点c(1,0)及椭圆x23y25，过点c的动直线与椭圆相交于a，b两点(1)若线段ab中点的横坐标是，求直线ab的方程；(2)当直线ab与x轴不垂直时，在x轴上是否存在点m，使为常数？若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由解(1)依题意，直线ab的斜率存在设直线ab的方程为yk(x1)，将yk(x1)代入x23y25，消去y整理得(3k21)x26k2x3k250.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则由线段ab中点的横坐标是，得，解得k，适合.所以直线ab的方程为xy10，或xy10.(2)假设在x轴上存在点m(m,0)，使为常数当直线ab与x轴不垂直时，由(1)知x1x2，x1x2.所以(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2.将代入，整理得m2m2m22m.注意到是与k无关的常数，从而有6m140，m，此时.所以，在x轴上存在定点m，使为常数圆锥曲线“最”有应得椭圆、双曲线、抛物线的最值问题的解题方法较灵活，学生时常感到无从下手常遇到面积最大(或最小)问题，距离的最长(或最短)问题，不定量的最大(或最小)问题等等，下面给同学们提供三种解法，只要掌握了它们，就可以“最”有应得一、定义法求最值【例1】 已知a(3,2)、b(4,0)，p是椭圆1上一点，则|pa|pb|的最大值为()a10 b10c10 d102满分解答易知a(3,2)在椭圆内，b(4,0)是椭圆的左焦点(如图)，则右焦点为f(4,0)连接pb，pf.由椭圆的定义知：|pb|pf|10，所以|pb|10|pf|，所以|pa|pb|pa|10|pf|10(|pa|pf|)由平面几何知识，|pa|pf|af|，即(|pa|pb|)max10|af|.而|af|，所以(|pa|pb|)max10.故选c.答案c老师叮咛：由paf成立的条件|pa|pf|af|，再延伸到特殊情形p，a，f共线，从而得出|pa|pf|af|这一关键结论根据图形中特殊的点、线与椭圆的位置关系等，形中觅数、数中觅形，数与形的完美解决常能找到解题捷径本题利用椭圆的定义巧妙地求解最值问题【试一试1】 (2012吉林长春模拟)已知点p是抛物线y24x上一点，设点p到此抛物线准线的距离为d1，到直线x2y100的距离为d2，则d1d2的最小值是()a5 b4 c. d.解析由抛物线的定义知点p到准线的距离等于点p到焦点f的距离，如图，过焦点f作直线x2y100的垂线，此时d1d2最小，因为f(1,0)，所以d1d2，选c.答案c二、切线法求最值【例2】 抛物线的顶点o在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点m(0，2)作直线l与抛物线相交于a，b两点，且满足(4，12)(1)求直线l和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点p从点a运动到点b时，求abp面积的最大值满分解答(1)根据题意可设直线l的方程为ykx2，抛物线方程为x22py(p0)由得x22pkx4p0.(2分)设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.所以(4，12)，所以解得故直线l的方程为y2x2，抛物线方程为x22y.(6分)(2)设p(x0，y0)，依题意，知当抛物线过点p的切线与l平行时，abp的面积最大对yx2求导，得yx，所以x02，即x02，y0x2，即p(2，2)此时点p到直线l的距离d.(9分)由得x24x40，则x1x24，x1x24，|ab| 4 .于是，abp面积的最大值为4 8 .(12分)老师叮咛：当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值问题时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两条平行线间的距离，就是所求的最值，切点就是曲线上取得最值的点，这种求最值的方法称为切线法切线法的基本思想是数形结合，其中求曲线的切线方程需要利用导数知识，判断切线与曲线的最值需要借助几何图形的直观性，通过图形来确定何时取得最大值，何时取得最小值【试一试2】 抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是()a. b. c. d3答案a可知过抛物线点的切线与直线4x3y80平行时，所求的距离最小，y2x.令2x，解得x，从而切点坐标为，切线方程为y，即4x3y0，由两平行线间距离公式，得点到直线的距离的最小值为d.故选a.三、函数法求最值【例3】 (2012广东)在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：1(ab0)的离心率e ，且椭圆c上的点到点q(0,2)的距