空间点线面位置关系(一).ppt

2 1空间点 线 平面之间的位置关系 1 平面的基本知识 1 平面与我们学过的点 直线 集合等概念一样都是最基本的概念 即为不加定义的原始概念 2 平面的基本特征是无限延展性 平面是理想的 绝对的平 平面是处处平直的面 平面没有大小 没有厚薄和宽窄 是不可度量的 光滑的桌面 平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象 数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果 思考 能不能说一个平面长4米 宽2米 为什么 不能 画法 立体几何中通常用平行四边形来表示平面 有时也用圆或三角形等图形来表示平面 画平面水平放置时 常把平行四边形的锐角通常画成45 且横边长等于邻边长的2倍 水平放置 垂直放置 为了增强立体感 如果一个平面被另一个平面遮挡住 常把它遮挡的部分用虚线画出来 3 平面的画法及表示 1 平面的基本知识 画出两个竖直放置的相交平面 练习 表示方法 A B C D 把希腊字母等写在代表平面的平行四边形的一个角上 如平面 平面 用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示 如平面ABCD 用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示 如平面AC或者平面BD 3 平面的画法及表示 1 平面的基本知识 1 点 线 面的表示 点 元素 大写字母A B C D 直线 点的集合 小写英文字母或者两个大写英文字母平面 点的集合 用希腊字母表示 用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示 2 点 线 面之间的位置关系的表示用集合中的关系符号元素与集合关系 集合与集合关系 2 点 直线 平面的位置关系 点A在直线a上 记作 点B不在直线a上 记作 点A在平面 上 记作 点B不在平面 上 记作 1 点与直线的位置关系 2 点与平面的位置关系 2 点 直线 平面的位置关系 3 直线与平面的位置关系 按公共点个数分三类 直线a与平面 有且只有一个公共点 称直线a与平面 相交 记为 直线a与平面 没有公共点 称直线a与平面 平行 记为 直线a与平面 有无数个公共点 称直线a在平面 内 或称平面 通过直线a 记为 公理1 注1 情况 和 统称为直线a在平面 外 记作 2 点 直线 平面的位置关系 4 平面与平面的位置关系 按有否公共点分两类 当两个不同平面 与平面 有公共点时 它们的公共点组成直线a 称平面 与平面 相交 记作 当平面 与平面 没有公共点时 称平面 与平面 平行 记作 公理3 注2 当平面 上的所有点都在平面 上时 称平面 与平面 重合 公理2 当两个平面有不共线的三个公共点 则两个平面重合 2 点 直线 平面的位置关系 小结 用数学符号来表示点 线 面之间的位置关系 a 练习 平面 与平面 重合 观察下列问题 你能得到什么结论 直尺落在桌面上 直线AB在平面 内 3 平面的基本性质 图形语言 1 公理1 若一条直线上的两点在一个平面内 则这条直线在此平面内 符号语言 该公理反映了直线与平面的位置关系 可用于判定直线是否在平面内 点是否在平面内 又可用直线检验平面 3 平面的基本性质 观察下列问题 你能得到什么结论 自行车需要一个支脚架就可以保持平衡 3 平面的基本性质 3 公理2 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 图形语言 符号语言 定义的说明 过不在一条直线上的四点 不一定有平面 故要充分重视 不在一条直线上的三点 这一条件 有且只有一个 强调的是存在性和唯一性两方面 不能用 只有一个 替代 确定一个平面的 确定 是 有且只有 的同义词 3 平面的基本性质 推论2经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论3经过两条平行直线 有且只有一个平面 推论1经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 注3 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据 是证明点 线共面的依据 也是作截面 辅助平面的依据 公理2 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 练习 3 平面的基本性质 思考 两个平面会不会只有一个公共点呢 不会 因为平面是无限延展的 因此 两个平面有一个公共点 必然有无数个公共点 并且这些公共点在一条直线上 3 平面的基本性质 P 2 公理3 若两个不重合的平面有一个公共点 则它们有且只有一条过该点的公共直线 图形语言 符号语言 该公理反映了平面与平面的位置关系 i 该公理是用以判定两个平面相交的依据 只要两个平面有一个公共点 就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线 找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可 ii 该公理可用以判定点在直线上 点是某两平面的公共点 线是这两个平面的公共交线 则该点在交线上 3 平面的基本性质 4 点线共面问题 例2已知三角形ABC的三条边AB BC AC与平面 分别交于P Q R 求证 P Q R共线 B A Q R C P 证明 同理Q R也为公共点 所以P Q R共线 要证明各点共线 只要证明他们是两个相交平面的公共点 5 证明三点共线 三线共点的问题 例3空间四边形ABCD中 E F分别是AB和CB上的点 G H分别是CD和AD上的点 且EH与FG相交于K 求证 EH BD FG三条直线相交于同一点 分析 已知EH FG K 要证EH BD FG共点 即要证明B D K三点共线 而BD是面ABD和面CBD的交线 所以往证K 面ABD 面CBD 而显然