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赛题选讲 第3章 南阳理工学院许洪范 数学建模选讲 第3章赛题选讲 3 1基金使用计划 3 5最优捕鱼策略 3 2车灯线光源的优化设计模型 3 7长江竞渡 附 全国大学生数学建模竞赛章程 3 6艾滋病疗法评价及疗效预测 3 3锁具装箱 3 4节水洗衣机问题 大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的 1989年我国大学生开始参加美国的竞赛 1990年底到1992年上半年 上海和西安分别举办了当地的大学生数学建模竞赛 1992年由中国工业与应用数学学会数学模型专业委员会组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛 这是第一次全国性的大学数学建模竞赛 从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛 每年一次 每年竞赛的题目 获奖名单和优秀论文 命题人或评阅人的评述均编辑正式出版 十几年来 这项竞赛的规模以平均年增长25 以上的速度发展 2006年全国有31个省 市 自治区 包括香港 864所院校 9985个队 其中甲组7682队 乙组2303队 近3万名来自各个专业的大学生参加竞赛 竞赛题目借助于互联网传递 三名大学生组成一队 在三天 72小时 时间内可以自由地收集资料 调查研究 使用计算机和互联网 但不得与队外任何人包括指导教师讨论 要求每个队完成一篇包括基本假设 模型的建立和求解过程 计算方法的设计和计算机结果的分析和检验以及模型的改进余地也要在论文中有所体现 竞赛是开放型的 三天中没有或者很少有外部的强制约束 三个同学共同完成一篇论文 他们要分工合作 取长补短 求同存异 必然既有相互启 相互学习 也有相互争论 培养了学生们同舟共济的团队精神 数学建模竞赛的题目大都是由工程技术 经济管理 社会生活中的实际问题简化加工而成 没有事先设定的标准答案 留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神 以下是1992年到2006年的全部竞赛题目 其中A题 B题是甲组 本科组 赛题 C题 D题是乙组 专科组 赛题 竞赛评奖以假设的合理性 建模的创造性 结果的正确和文字表述的清晰程度为主要标准 此外 竞赛的试卷原本是有特定格式的 赛前就应该仔细阅读论文的格式要求 答卷正文前面的内容提要 应该起到画龙点睛的作用 判卷教师将会通过阅读内容提要来初步了解论文的基本脉络和闪光点 全国大学生数学建模竞赛是由国家教育部倡导的全国性大学生竞赛 竞赛由教育部高等教育司和中国工业应用数学学会共同组织 每年一届 举办时间一般在9月中下旬 赛事的主题概括为十六个字 公平竞争 创新意识 团队精神 重在参与 中国工业与应用数学学会 2001年全国大学生数学建模竞赛C题 某校基金会有一笔数额为M元的基金 打算存入银行或购买国库券 假设国库券每年至少发行一次 发行时间不定 取款政策参考银行现行政策 校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生 要求每年的奖金额大致相同 且在n年末仍保留原基金数额 校基金会希望获得最佳的基金使用计划 以提高每年的奖金额 3 1基金使用计划 请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案 并对M 500万元 n 10年给出具体结果 1 只存款不购国库券 2 可存款也可购国库券 3 学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆 基金会希望这一年的奖金比其它年度多20 当前银行存款及各期国库券的利率见下表 利率表 3 1 1问题的分析与基本假设 参照存款年利率数据表可知 定期存款年限越长 存款年利率越大 因此 在不影响奖金发放的情况下 应尽可能存年限较长的定期存款 这样才能获得较高的利息 将基金分成十一部份 此外 相同数量的本金开设一个存款帐户及开设多个存款帐户收益相同 第一部分基金存入一年定期 一年后的本息全部用于发放第一年的奖金 第二部分基金存入二年定期 二年后的本息全部用于发放第二年的奖金 第十部分基金先后存两次五年定期 十年后的本息全部用于发放第十年的奖金 这十年内的每年发放奖金数额应该相同 第十一部分先后存两次五年期 十年后本息总和为基金总额 为使讨论更具一般性 以下将 十年 改成n年 其中是可以根据存款利率计算出的比例系数 常识告诉我们 应该设法将尽可能大数额的资金作为尽可能长期的存款 因此 基金到位后 可以将总额分成n 1份 为简单起见 先研究只存款不购国库券的情形 当然有 其中第 1 份基 存款期限为 年 金记为 设每年奖学金数额为 年存款的到期比率为 则 通过合理设计每笔资金的存款方案 从而使得比率系数尽可能 取得较大的数值 这是以下讨论的重点 现在开始分析不同存款期限的利率综合情况 且 当5 或 时 其中 且 时 当5 由 可知 解得 5000万元时基金使用的最佳方案 使用Matlab软件计算 得到每年奖学金数额 109 816947 万元 每笔存款数额及最佳存款策略见右表 至此不难算出 关于 年 现在 来补充阐述若干基本原理 以确保严密性 先存定期 年的本息和为 年再存定期 年的本息和为 先存定期 年再存定期 证明设 分别为定期 年的年利率 则对于一定 年和 年 本息和相等 年与先存定期 年再存定期 先存定期 数额的资金来说 年再存定期 关于存款本息的计算有如下的几个定理 为了方便于建立相应的数学模型 在此作如下基本假设 1 每年发放奖学金一次 且均在年末发放 2 在所考虑的时间之内 银行利息标准不变 3 银行发行国库券时间不固定 由于近几年国库券销售市场很好 所以 国库券可在发行当日购买 4 国库券在没有到期之前 不得进行贴现 3 1 2关于存款收益的优化原理 根据乘法交换律 定理1一定数额的资金 年后本息和 5时相同 时 首先存储一个五年 个存期 分成 若把存款年限 推论1一定数额的资金 其中 则 与存期顺序无关 定理2使一定数额的资金 存储 年后本息和最大的存款策 时 存定期1年 时 存定期2年 当 时 存 时 先存定期3年 然后再存定 时 存定期5年 略为 当 定期3年 当 当 当 期1年 当 定期 剩余年限存储情况与 使用 定理3基金 年的情况 首先把 分成 份 其中 1 份基金 存款期限为 年 那么 只有当第 份基金 按最优存款策略存款 年后的本息和等于当年的奖学金数 份基金按最佳存款策略存款 年后的本息和等于原基金 时 每年发放的奖学金才能达到最多 第 并且第 有了这三个定理 基金存储的相关讨论有了理论依据 以下分别研 究只存款不买国库券情形的最佳存款方案以及既可以存款也考虑购买 国库券情形的基金最佳存储方案 问题的研究应该具有一般性 也要根据问题的要求计算出 10年 5000万元时的具体数值 5000万元时基金使用的最佳方案 使用Matlab软件计算 得到每年奖学金数额 关于 10年 109 816947 万元 每笔存款数额 及最佳存款策略见右表 使用 于是 基金 年 设每年奖学金数额为 最佳存款方案应 或 其中 满足 3 1 3只存款不购买国库券情形 若准备购买国库券 则一般需要等待一段时间 一年内至少发行一次国库券 国库券发行日期不定 有可能上半年发行 也有可能下半年发行 所以 首先把准备购买国库券的资金全部按半年定期存储 如果上半年发行国库券 随时取款购买 如果上半年未发行国库券 7月1日取出本息后改存活期 待发行国库券时即购买 3 1 4既可存款也可购买国库券情形的数学模型 单位资金购买两年国库券 存入银行半年定期和半年活期后的本息为 1 2 55 2 1 0 792 05 1 1 644 05 1 0638 这种存款策略稍逊于存入银行的三年定期的年利率为 1 0638 1 3 0 0213 2 13 同理 单位资金购买三年期国库券 存入银行半年定期和半年活期后的本息 1 2 89 3 1 0 792 05 1 1 644 05 1 09997 这种存储策略稍优于存入银行的四年定期的年利率 1 09997 1 4 0 02499 2 499 单位资金购买五年期国库券 存入银行半年定期和半年活期后的本息为 1 3 14 5 1 0 792 05 1 1 644 05 1 1711 1 1711 1 6 0 02852 2 852 这种存储策略稍优于存入银行的六年定期的年利率 在上面的分析中 因购买国库券而带来的总共半年的两次活期存款 其本息是按一次半年活期计算的 比较三年定期利率可知 应该排除购买两年国库券的选择 如遇购买三年期国库券再加半年活期和半年定期共四年的平均年利率为2 499 大于先存三年定期再存一年定期存款的四年最大平均年利率2 099 所以 四年存款应购买三年期国库券 其四年年利率为2 499 五年期存款年利率为2 304 如果购买三年期国库券再加一年定期存款 半年定期存款和半年活期存款 综合年均利率为2 510 也应该购买三年期国库券 4时尽量购买三年期和五年期国库券 时虽然有机会购买国库券 但是收益少于存款 当 时 由于国库券发行日期正好在1月1日的概率非常小 因此最终国库券到期日可能在第三年的某月 这样就影响了第二年末的奖金发放 所以不购买国库券 六年期的存款 如果购买五年期国库券再加半年活期和半年定期共六年的平均年利率为2 852 大于先存五年定期再存一年定期存款的最大平均年利率2 255 所以 六年定期存款应该购买五年期国库券 其六年年均利率为2 852 同理不难验证 多于六年期的存款都应该购买五年期的国库券 综上分析 凡遇四年或六年存款 改为购买三年期和五年期国库券 另加半年定期存款和半年活期存款 税后年利率调整为右表 时 基金只能存入银行 当6 且 且 年 最佳存款方案应满足 使用 基金 年 设每年奖学金数额为 把 分成 份 1 份基金 存款期限为 或 其中第 时 当6 时 其中 时 的最佳方案 使用Matlab软件计算 得到每年奖学金数额 最后来考虑第三年校庆的因素 学校要在基金到位后的第3年举行校庆 所以此年奖金应是其它年度的12倍 只需将换成其余公式不变 经计算得到 124 754224 万元 10年 关于 由 为求每年奖学金的数额 有 解得 至此不难算出 5000万元时基金使用 125 170318 万元 每笔存款数额及最佳存款策