第五章 结构的强迫振动响应分析.doc

第五章 结构的强迫振动响应分析5.1概述如果结构已经用有限元方法进行了离散化，当一个结构系统受到外激励作用时，其响应就是一个多自由度系统的强迫振动问题的解。求解多自由度系统强迫振动响应的方法之一就是直接积分法。考虑到实际结构的高维数（自由度数很大）而给求解带来的困难，往往在实际求解中采用模态叠加法。直接积分法和模态叠加法这两种方法都可以得到具有相当精度的振动响应解，并且各有其特点。 5.2 求解强迫振动响应的直接积分法对动力学基本方程 （51）进行直接积分，其含义是指在对方程进行积分之前，不对其进行任何形式的变换，在积分中，实际上是按时间步长逐步积分的。这样做的实质是基于如下考虑：（1） 只在相隔的一些离散时间区间上、而不是在整个时间区间上的任一个时刻上满足方程，即平衡是在求解区间上的一些离散时刻上获得的。（2） 假定位移、速度、加速度在每一个时间区间内按一定规律变化，也正是采用不同的变化形式，决定了各种直接积分解的精度、稳定性和求解速度。首先，设表示初始时刻（）的位移、速度和加速度为已知向量，要求出从到的解，则把时间段均分为个间隔，所用的积分是在上求方程的近似解。即要在的解已知的情况下，求解时刻的解。【中心差分法】若基本方程式的平衡关系作为一个常系数微分方程组，则可以用任一种差分格式通过位移来表示速度和加速度。通常采用中心差分格式，这是一个行之有效的求解微分方程的格式。 （52）假定 及前一时刻的位移已经求得，则将代入方程（51）得到： （53）由此式求出 上述格式是一个显式格式。具体计算时，还有一个步进递推格式启动的问题，即已知时，的求解问题。由的差分表达式，可求出： （54）中心差分法的具体步骤为：1 用有限元素法形成结构的刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵2 计算初始值3 选择步长，并计算积分常数 （55）4 计算 （56）5 形成 （57）6 分解 （58）对每一步长，进行如下计算：1 求时刻的有效载荷 （59）2 求解在时刻的位移 （510）3 如果需要，计算t时刻的加速度和速度： （511）中心差分格式使用中，一个重要的问题是步长必须小于临界步长，以保证步进递推的数值稳定性，这里，为系统的阶数，为系统最小自然周期，即： （512）因此，中心差分格式是条件稳定的。中心差分法作为显式算法的优点是，当质量阵为对角阵，阻尼阵也可以对角化时，可以避免矩阵求逆运算，而矩阵的分解运算非常简单，特别在进行非线性系统的响应分析时，由于需要在每个时间增量步修改刚度矩阵，采用中心差分法可以避免每一增量步对刚度矩阵的分解。【Houbolt方法】Houbolt方法也是一种差分方法，它是基于拉格朗日插值公式的步进方法，该方法利用向后差分，由位移导出速度和加速度的多步隐式公式。Houbolt方法得到的计算结果比较光滑。其差分的格式为： （513）考虑时刻的平衡方程 （514）从而有： （515）显然，要求解必须知道在使用Houbolt方法时，不是用此格式求初始两个时间步上的位移响应，而是用其它方法如中心差分法，步长取的几分之一来求得。Houbolt方法是一个隐式差分格式，其步长可以取得比中心差分法大一些，不受的限制，但为了保证计算精度，步长也不能取得太大。Houbolt方法的求解步骤总结如下：1用有限元素法形成结构的刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵2计算初始值3取步长，求 （516）4 求（一般用一个特殊的启动格式如，中心差分法）5求解 （517）6矩阵分解 （518）7 对每一步长，求（1） （519）（2） （520）（3） 若需要，求出 （521） （522）【Wilson法】Wilson法假定加速度从时刻到时刻为线性变化，所以，可以认为它是线性加速度法的推广。在时，它是无条件稳定的。通常取。具体方法为：令为时间增量，其中，则在时刻到时刻的区间，有： （523）积分上式： （524） （525）当 （526） （527）由此解出： （528） （529）在时刻的平衡方程为： （530）其中 （531）为时刻的载荷。Wilson法的具体步骤为：（1） 用有限元素法形成结构的刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵（2） 计算初始值（3） 取步长，取，计算： （532）（4）形成 （533）（5）矩阵分解 （534）（6） 对每一步长，计算时刻时刻的有效载荷：（535）（7）求解的位移： （536）（7） 计算在时刻的加速度、速度、位移：将代入（5-28）解出，再代入（5-23）式，并令，得到： （537） 将（5-23）代入（5-24）、（5-25）式中，令，得到： （538） （539）【Newmark方法】Newmark方法也可以认为是线性加速度方法的推广。其假定如下： （540） （541）为积分常数。根据积分精度和计算的稳定性来确定。通常取，可以保证算法是无条件稳定的。当时，就是线性加速度法。其具体方法为，根据时刻的平衡方程： （542）由最初的两个假定式（5-40）（5-41），求出用表示的和的表达式，代入上方程求出，然后回代求出和。具体步骤为：（1） 用有限元素法形成结构的刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵（2） 计算初始值（3） 取步长以及参数（），计算： （543）（4）形成 （544）（5）矩阵分解 （545）（6） 对每一步长，计算时刻时刻的有效载荷： （546）（7）求解的位移： （547）（8）计算在时刻的速度、加速度： （548） （549）对一个具体问题，究竟采用何种积分格式，要根据各自的经验来选择，为了保证算法的稳定性，一般使用Wilson-法和Newmark法，从使用上看，当用于求解振动响应时，Newmark法应用较多一些。另外，求解微分方程的积分格式，常用的还有四阶龙格库塔方法，它主要用于求解自由振动响应。对于非线性系统的振动响应分析，由于严格的讲，不能用模态坐标对方程进行解耦，因而直接积分方法成为一种求解非线性系统振动响应的有效方法。5.3方程解耦和模态响应【方程解耦】对于线性振动系统，如果求出了系统的固有振型，则可以通过模态坐标变换 （550）将方程 （551）变为解耦的形式： （552）这里假定阵可以对角化（或者是比例阻尼，或者是强制对角化）。从而使一个阶耦合微分方程组变成了个独立的微分方程，求解物理坐标的响应问题，变成了求解模态坐标的响应问题。实际求解时，只需对其中一个方程进行。【时域分析】第个模态坐标的振动方程为： （553）如果该单自由度系统对于单位脉冲输入的响应是，则在输入的时间内引起的响应为，从而 （554）已知有阻尼系统的单位脉冲响应函数为： （555）第个模态坐标的稳态响应为（Duhamel积分）：（556）当考虑初始条件引起的瞬态响应时， （557）常数，由出初始条件决定。【频域分析】当输入为简谐力或可以分解为简谐力的叠加时（如周期力），则可以采用频域分析方法求解振动响应。第个模态坐标的方程： （558）其解为： （559）代入方程（558）得到： （560）即： （561）5.4 结构的瞬态响应瞬态响应是结构振动中常见的现象之一，它反映了结构对冲击激励的动态响应。实际的结构大多会受到冲击的作用，且对于一般激励，可以将其看成是一系列脉冲激励的叠加。研究结构的瞬态振动响应也有助于研究结构在一般激励下的响应。当结构受到一个突加的（有限作用时间）非周期力作用时，通常不会产生稳态振动过程，而是产生一个称之为瞬态响应的过程，这种非周期激励力可以分解为一系列脉冲激励力的叠加，故我们先看脉冲激励和脉冲响应。【脉冲激励和脉冲响应】由于多自由度系统的振动方程可以通过模态坐标变换，变换为由若干个模态坐标下的单自由系统的振动方程的叠加，故我们考察单自由度系统在脉冲激励力下的响应。1. 单位脉冲冲量定义为力对时间的积分，记为： （562）一个幅值为、作用时间为的冲击力，在时的力趋于无穷大，但力的冲量是一个有限值。当为单位冲量时，在的情况下称为单位脉冲，在数学上，单位脉冲表示为函数。函数有如下性质： （563）2单位脉冲响应结构在冲量作用下，动量会发生变化，但位移无变化，故受脉冲作用的结构（以质量为的单自由度系统为例）会产生一个初速度，已知单自由度系统在初始条件下的瞬态响应为： （564） （565）对单位脉冲，则 （566）冲量作用下，当系统有粘性阻尼时， （567）代入初条件 （568） （569）其中，称为单位脉冲响应。【任意激励下的响应】任意激励力可以分解为一系列脉冲激励力的线性组合，因此任意激励力下的响应可以用一系列脉冲激励响应的线性叠加来得到。考虑一个作用在时刻的脉冲，它产生的冲量是 （570）在时刻的单位脉冲响应为，故对冲量，它在时刻产生的响应为根据叠加原理，在时间的响应为： （571）【响应谱】研究结构在冲击激励下的脉冲响应，一个主要的指标是响应的最大值，它是结构对脉冲激励的反应严重程度的一个度量。显然，它与系统动力学特性有关，通常用响应谱来表示，由于冲击响应的反应时间很短，即使系统有阻尼，阻尼机制也来不及产生作用，因此，常常用无阻尼单自由度系统对脉冲激励的响应来研究冲击响应谱，简称响应谱。它是单自由度系统最大峰值响应与其固有频率间的关系，不同类型的脉冲形成不同类型的响应谱。在实际分析中，是将响应的最大值画成随变化的函数曲线来表示。为脉冲特征时间如脉冲的间隔、持续时间等，为系统的自然周期。纵坐标也用无量纲量来表示，为脉冲力的幅值。对矩形脉冲的响应为：（572）则其冲击谱如图所示。5.5模态叠加法除了用直接积分法来求解结构的振动响应外，对于线性系统的振动，工程中也常用模态叠加法来进行振动响应的求解。它是建立在模态空间中的一种方法。其理论基础是固有模态正交性和展开定理。【模态位移法】物理坐标下结构的振动方程 （573）初始条件为 （574）根据其相应的自由振动方程解得固有模态阵为： （575）利用模态坐标变换（展开定理） （576）及固有模态正交性，对方程进行解耦，得到模态坐标系下结构的振动方程： （577）其中， （578）对初始条件，同样可以利用展开定理，变换成模态坐标下的初始条件: （579） （580） （581）利用（581）的2个初始条件，求解（577）的个单自由度振动方程（其解有2个待定系数），回代到坐标变换式（576）中，就可以求得物理坐标系下结构的振动响应。【模态截断】从上述过程可以看到，如果结构的自由度数较大，则计算量仍然很大，在实际工程振动问题中发现，并非结构的所有模态都会被外激励激发而对结构响应有所贡献，或者即使有贡献，其成分也相当小，忽略这些次要模态的影响并不会使振动响应的计算精度产生明显降低。所以，在实际使用模态叠加法进行振动响应计算时，并不需要求出所有的模态响应进行叠加，而只需求出前面若干阶对振动响应有明显贡献的那些模态的响应（主要是前若干阶低阶模态）。因此在进行模态坐标变换时，就只需要在整个模态序列中截取前面若干阶低阶模态进行坐标变换，这就是所谓的模态截断。注意在进行模态截断时，一般是从最低阶模态开始，顺序截取前面阶模态作为保留模态集，而不是随意选取几阶模态。至于选取多少个模态，则要根据经验来确定，比如，根据经验，可以取或等，是认为对响应有明显贡献的模态数。采用模态截断后，则坐标变换式成为： （582）从而解耦后的振动方程为： （583）【模态位移法】我们以一个简单的情况来分析。假定系统无阻尼，且受到简谐激励力作用，则 （584）模态激励力为： （585）模态坐标下的振动方程为： （586）响应为： （587）为频响函数，当输入为时，输出的稳态响应为，即响应与激励同频。代入到方程（585）得： （588）根据频响函数的定义， （589）模态响应为： （590）其中， （591）称为模态静变形。考虑模态截断后，系统的近似稳态响应为： （592）值得注意的是，在进行模态截断时，还要考虑到外激励的频率成份，如果某阶模态频率刚好与外激励的某个频率相等或接近，则即使该阶模态阶数超过了预先确定的模态截断的最高阶数，该阶模态也不能被截除而必须保留，以保证结果有足够的精度。因此，在进行模态截断之前，应该进行外激励力的频谱分析和结构的固有频率分析。在外激励的频率成分较多时，采用模态位移法计算的结果精度不高，要得到较高精度的响应解，就必须采用更多的模态，但随模态数的增加，收敛速度也较慢。为了解决这个问题，可以采用模态加速度法。模态加速度法改善了收敛特性，可以用较少的模态截断数目获得精度较好的结果。【模态加速度法】为了简化公式表达，采用无阻尼、无刚体位移的多自由度系统，来说明模态加速度法的原理：由运动方程： （593） （594）用模态位移法中的近似代替，则：（595）由特征值问题 （596）得到 （5-97a） （597b）称第一项为“伪静响应项”，第二项称为“模态加速度项”，正是由于模态加速度项中的因子，改善了收敛速度，因为随着的增加，对应项对总响应的影响就越小，当。（597b）式中的模态加速度求解如下： （598）根据变上限积分的导数： （599）有： （5100） （5101）从而求得： （5102）由（597b）和（5102）就组成模态加速度法求响应的公式。对于简谐激励，模态位移和模态加速度响应为： （5103）显然，当时，故即使采用模态加速度法，在进行模态截断时，也必须计及模态频率与激励频率接近或相等的那些模态，才能保证精度。对有阻尼、无刚体位移的多自由度系统，在阻尼矩阵可以对角化的假设下，其模态方程为： （5104）用模态加速度法求得：（5105）模态位移响应为： （5106）由上式求得和，代入（5105）即可由模态加速度法求出阻尼系统的响应。【精细积分法】将结构强迫振动方程化成状态