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导数在实际生活中应用 生活中的优化问题 1 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为优化问题 2 利用导数解决优化问题的实质是求函数最值 3 解决优化问题的基本思路 类型一 函数类型的优化问题 例1 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 例2 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元 该建筑物每年的能源消耗费用C 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 C x 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 设f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 类型二 几何类型的优化问题 例3 容积为256的方底无盖水箱 它的高 时最省材料 例4 如图 一个圆心角为直角的扇形AOB花草房 半径为1 点P是花草房弧上一个动点 不含端点 现打算在扇形BOP内种花 PQ OA 垂足为Q PQ将扇形AOP分成左右两部分 在PQ左侧部分三角形POQ为观赏区 在PQ右侧部分种草 已知种花的单位面积的造价为3a 种草的单位面积的造价为2a 其中a为正常数 设 AOP 种花的造价与种草的造价的和称为总造价 不计观赏区的造价 总造价为f 1 求f 关于 的函数关系式 2 求当 为何值时 总造价最小 并求出最小值 例5 某湿地公园有一边长为4百米的正方形水域 如图 是其中轴线 水域正中央有一半径为1百米的圆形岛屿 小岛上种植有各种花卉 现欲在线段AF上某点P处 AP的长度不超过1百米 开始建造一直线观光木桥与小岛边缘相切 不计木桥宽度 与BC相交于Q点 过Q点继续建造直线木桥与小岛边缘相切 与中轴线交于N点 N点与E点也以木桥直线相连 1 当AP 1百米时 求木桥的长度 单位 百米 2 问是否存在常数使得为定值 练习 1 如图所示的铁片由两部分组成 半径为1的半圆O及等腰Rt EFH 其中FE FH FE FH 现将铁片裁剪成尽可能大的梯形铁片ABCD 不计损耗 AD BC 且点A B在弧EF上 点C D在斜边EH上 设 AOE 1 求梯形铁片ABCD的面积S关于 的函数关系式 2 试确定 的值 使得梯形铁片ABCD的面积S最大 并求出最大值 2 一儿童游乐场拟建造一个 蛋筒 型游乐设施 其轴截面如图中实线所示 是等腰梯形 米 F在AB
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