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14 5等腰三角形的性质 观察 下列不同形状的三角形 哪些是等腰三角形 1 两条边相等的三角形叫等腰三角形 2 相等的两条边叫做等腰三角形的腰 3 另一边叫做底边 两腰的夹角叫顶角 3 腰和底边的夹角叫做底角 A B C D E 图中 线段AD叫做三角形的高 线段BE叫做三角形的中线 操作 在剪好的等腰三角形中 用量角器画出等腰三角形顶角的平分线AD 沿AD将 ABC翻折 A BDC B C 等腰三角形的两个底角相等 简写成 等边对等角 发现 如图 在 ABC中 已知AB AC 说明 B C的理由解 过点A做 BAC的平分线AD AD和BC相交于点D 因为AD平分 BAC 已知 所以 BAD CAD 角平分线的意义 在 ABD与 ACD中 AB AC 已知 BAD CADAD AD 公共边 所以 ABD ACD S A S 所以 B C 全等三角形的对应角相等 A BDC 由 ABD ACD 可知BD CD 所以AD是底边的中线 由 ABD ACD 可知 ADB ADC 90 所以AD是底边上的高 即 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 简称 等腰三角形的三线合一 等腰三角形是轴对称图形 顶角平分线所在的直线为对称轴 思考 结合图形 将 等腰三角形的三线合一 的性质用符号语言表示 任意一个等腰三角形的底角平分线 腰上的中线和高 是否重合 例1 已知在 ABC中 AB AC B 70 求 C和 A的度数 解 AB AC 已知 C B 等边对等角 B 70 已知 C 70 等量代换 A 180 B C 180 70 70 40 三角形内角和180 例2 等腰三角形一个角是70 求其余的两个角 解 当顶角为70 时 底角 180 70 55 当底角为70 时 则另一个底角也为70 顶角 180 2 70 40 所以 其余两角为55 55 或70 40 问题拓展 把例2中的70 改为100 会得出什么样的结论 求 1 2的度数 BD与CD相等吗 为什么 AD垂直与BC吗 为什么 解 AD平分 BAC 已知 1 2 角平分线的意义 BAC 110 已知 1 2 1 2 BAC 1 2 110 55 等式性质 AB AC AD平分 BAC 已知 BD DC 等腰三角形顶角平分线与底边上的中线互相重合 AD BC 等腰三角形顶角平分线与底边上的高互相重合 例3 已知 AB AC BAC 110 AD平 BAC A B
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