【命题探究】高考数学知识点讲座 考点32 圆的方程、直线与圆的位置关系、空间直角坐标系.doc

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点32圆的方程、直线与圆的位置关系、空间直角坐标系加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标圆的方程、点与圆的关系；垂径定理的运用；圆的方程的求法；直线与圆的位置关系；圆的切线方程和弦长问题；圆的综合问题的解题思路；会建立右手直角坐标系，准确找到点的坐标.二.知识梳理1.空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；2.空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标3圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆4. 圆的标准方程 ： 圆心为，半径为，若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是5.圆的标准方程的两个基本要素： 6.圆的一般方程：只有当时，表示的曲线才是圆，把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；（2）当时，方程只有实数解，即只表示一个点（-，-）;（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 7.研究圆与直线的位置关系最常用的方法：判别式法；考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。直线与圆的位置关系有三种，若，则 ; ; 8.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为o1，o2，半径分别为r1，r2，9.过圆上一点的切线方程：圆为切点的切线方程是。当点在圆外时，表示切点弦的方程。一般地，曲线为切点的切线方程是：。当点在圆外时，表示切点弦的方程。这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。10.经过两个圆交点的圆系方程：经过，的交点的圆系方程是：在过两圆公共点的图象方程中，若=1，可得两圆公共弦所在的直线方程11.经过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线与圆的交点的圆系方程是：三考点逐个突破1.圆的方程例1. 圆心在曲线y(x0)上，且与直线3x4y30相切的面积最小的圆的标准方程为()a(x1)2(y3)2()2 b(x3)2(y1)2()2c(x2)2(y)29 d(x)2(y)29答案c解析设圆心坐标为(a，)(a0)，则圆心到直线3x4y30的距离d(a1)(41)3，等号当且仅当a2时成立此时圆心坐标为(2，)，半径为3，故所求圆的方程为(x2)2 (y)29.2.与圆有关的最值问题例2. 若直线ax2by20(a0，b0)始终平分圆x2y24x2y80的周长，则的最小值为()a1 b5 c4 d32答案d解析由条件知圆心c(2,1)在直线ax2by20上，ab1，()(ab)332，等号在，即b2，a1时成立3.与其他知识的交汇命题例3. 已知动圆的圆心c在抛物线x22py(p0)上，该圆经过点a(0，p)，且与x轴交于两点m、n，则sinmcn的最大值为_答案1解析当圆心c的纵坐标为p时，c(p，p)为圆心的圆方程为(xp)2(yp)22p2，令y0得，xpp，mcnc，sinmcn1.4.直线与圆的位置关系的判断例4. 已知圆c：x2y2x6ym0与直线l：x2y30.(1)若直线l与圆c没有公共点，求m的取值范围；(2)若直线l与圆c相交于p、q两点，o为原点，且opoq，求实数m的值解析(1)将圆的方程配方，得(x)2(y3)2，故有 0，解得m.将直线l的方程与圆c的方程组成方程组，得消去y，得x2()2x6m0，整理，得5x210x4m270，直线l与圆c没有公共点，方程无解，故有10245(4m27)8.m的取值范围是(8，)(2)设p(x1，y1)，q(x2，y2)，由opoq，得0，由x1x2y1y20，由(1)及根与系数的关系得，x1x22，x1x2又p、q在直线x2y30上，y1y293(x1x2)x1x2，将代入上式，得y1y2，将代入得x1x2y1y20，解得m3，代入方程检验得0成立，m3.5.直线与圆相交例5.(1) 过点(0,1)的直线与x2y24相交于a、b两点，则|ab|的最小值为()a2 b2 c3 d2答案b解析当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|ab|取最小值2.(2)已知直线xya与圆x2y24交于a，b两点，且|(其中o为坐标原点)，则实数a等于()a2 b2 c2或2 d.或答案c解析|，|2|22|2|22，0，画图易知a、b为圆x2y24与两坐标轴的交点，又a、b是直线xya与圆的交点，a2或2.6.圆与圆的位置关系例6. 圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()a内切 b相交 c外切 d相离答案b解析本题考查圆与圆的位置关系两圆圆心分别为a(2,0)，b(2,1)，半径分别为r12，r23，|ab|，324，m在圆外，当过点m的直线斜率不存在时，易知直线x3与圆相切当直线的斜率存在时，设直线的方程为y1k(x3)，即kxy3k10，直线与圆相切，2，解之得k，切线方程为y1(x3)，即3x4y50.所求的切线方程为x3或3x4y50.(2)由axy40与圆相切知2，a0或a.(3)圆心到直线的距离d，又l2，r2，由r2d2()2，可得a.(2)在平面直角坐标系xoy中，动点p到两点(0，)，(0，)的距离之和等于4，设点p的轨迹为c，已知直线ykx1与c交于a、b两点(1)写出c的方程；(2)若以ab为直径的圆过原点o，求k的值；(3)若点a在第一象限，证明：当k0时，恒有|oa|ob|.解析(1)设p(x，y)，由椭圆定义可知，点p的轨迹c是以(0，)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴b1，故椭圆方程为x21.(2)由题意可知，以ab为直径的圆过原点o，即oaob，联立方程消去y得(4k2)x22kx30，设a (x1，y1)，b(x2，y2)，由韦达定理可知：x1x2，x1x2，y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)1，所以，x1x2y1y20，得k2，即k.(3)|2|2xy(xy)xxyy(x1x2)(x1x2)k(x1x2)k(x1x2)22k(1k2)(x1x2)(x1x2).因为a在第一象限，所以x10，又因为x1x2，所以x20，又因为k0，所以|oa|ob|.9.与直线和圆有关的轨迹问题例9（1）设定点m(3,4)，动点n在圆x2y24上运动，以om、on为两边作平行四边形monp，则点p的轨迹方程为_答案(x3)2(y4)24(x且x)解析如图所示，设p(x，y)，n(x0，y0)，则线段op的中点坐标为(，)，线段mn的中点坐标为(，)由于平行四边形的对角线互相平分，故，.从而.因为n(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点(，)和(，)(点p在直线om上时的情况)（2）设圆c与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则圆c的圆心轨迹为()a抛物线 b双曲线 c椭圆 d圆答案a解析动圆圆心c到定点(0,3)的距离与到定直线y1的距离相等