高斯函数.doc

高斯函数函数，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数是不超过的最大整数，称为的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数由、的定义不难得到如下性质：（1）的定义域为R，值域为Z；的定义域为R，值域为（2）对任意实数，都有.（3）对任意实数，都有.（4）是不减函数，即若则，其图像如图I 451；是以1为周期的周期函数，如图I 452. 图451 图452（5）.其中.（6）；特别地，（7），其中；一般有；特别地，.（8），其中.【证明】（1）（7）略.（8）令，则，因此，.由于，则由（3）知，于是，证毕.取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论.定理一：，且1至x之间的整数中，有个是的倍数.【证明】因，此式说明：不大于x而是n的倍数的正整数只有这个：定理二：在！中，质数的最高方次数是【证明】由于是质数，因此含的方次数一定是1，2，各数中所含的方次数的总和.由定理一知，1，2，n中有个的倍数，有个2的倍数，所以此定理说明：，其中M不含的因数.例如，由于+=285+40+5=330，则2000！=7330M，其中7 M.定理三：（厄米特恒等式）【证法1】引入辅助函数因对一切成立，所以是一个以为周期的周期函数，而当时，直接计算知，故任意，厄米特恒等式成立.【证法2】等式等价于消去后得到与原等式一样的等式，只不过是对，则一定存在一个使得，即，故原式右端另一方面，由知，在这批不等式的右端总有一个等于1，设. 这时，而，因此原式的左端是个1之和，即左端故左=右.【评述】证法2的方法既适用于证明等式，也适用于证明不等式.，这个方法是：第一步“弃整”，把对任意实数的问题转化为的问题；第二步对分段讨论.高斯函数在格点（又叫整点）问题研究中有重要应用. 下面给出一个定理.定理四：设函数上连续而且非负，那么和式内的整数）表示平面区域内的格点个数.特别地，有（1）位于三角形：内的格点个数等于为整数）；（2），矩形域内的格点数等于 （3），圆域内的格点个数等于.（4），区域：内的格点个数等于.这些结论通过画图即可得到.例1：求证：其中k为某一自然数.（1985年第17届加拿大数学竞赛试题）证明2为质数，n!中含2的方次数为若故反之，若n不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2sp，其中p1为奇数，这时总可以找出整数t，使由于n!.这与已知矛盾，故必要性得证.例2：对任意的 （第10届IMO试题）【解】因对一切k=0,1,成立，因此，又因为n为固定数，当k适当大时,例3：计算和式（1986年东北三省数学竞赛试题）【解】显然有：若503是一个质数，因此，对n=1,2,502, 都不会是整数，但+可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，+故例4：设M为一正整数，问方程，在1，M中有多少个解？（1982年瑞典数学竞赛试题）【解】显然x=M是一个解,下面考察在1，M中有少个解.设x是方程的解.将代入原方程，化简得所以上式成立的充要条件是2xx为一个整数.例5：求方程（第36届美国数学竞赛题）【解】经检验知，这四个值都是原方程的解.例6：（第10届美国数学竞赛试题）这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下.【证明】由于例7：对自然数n及一切自然数x，求证：【证明】例8：求出的个位数字.（第47届美国普特南数学竞赛试题）【解】先找出的整数部分与分数部分.=其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.附:C+ Source Part One Zdxxb.cpp: implementation of the CZdxxb class.#include stdafx.h#include WordGLXT.h#include Zdxxb.h#ifdef _DEBUG#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE=_FILE_;#define new DEBUG_NEW#endif ConstructionDestructionCZdxxb:CZdxxb()CZdxxb:CZdxxb()int CZdxxb:GetDWbh()return DWbh;void CZdxxb:SetDWbh(int iDWbh)DWbh=iDWbh;int CZdxxb:GetLBbh()return LBbh;void CZdxxb:SetLBbh(int iLBbh)LBbh=iLBbh;int CZdxxb:GetWDbh()return WDbh;void CZdxxb:SetWDbh(int iWDbh)WDbh=iWDbh;CString CZdxxb:GetGJz()return GJz;void CZdxxb:SetGJz(CString cGJz)GJz=cGJz;CString CZdxxb:GetWDmc()return WDmc;void CZdxxb:SetWDmc(CString cWDmc)WDmc=cWDmc;CString CZdxxb:GetWJlj()return WJlj;void CZdxxb:SetWJlj(CString cWJlj)WJlj=cWJlj;CString CZdxxb:GetMemo()return Memo;void CZdxxb:SetMemo(CString cMemo)Memo=cMemo;CString CZdxxb:GetTjrxm()return Tjrxm;void CZdxxb:SetTjrxm(CString cTjrxm)Tjrxm=cTjrxm;void CZdxxb:sql_insert()ADOConn m_AdoConn;CString strLBbh;strLBbh.Format(%d,LBbh);CString strWDbh;strWDbh.Format(%d,WDbh);CString strDWbh;strDWbh.Format(%d,DWbh);_bstr_t vSQL;vSQL=INSERT INTO Zdxxb(DWbh,LBbh,WDbh,GJz,WDmc,WJlj,Memo,Tjrxm)VALUES(+strDWbh+,+strLBbh+,+strWDbh+,+GJz+,+WDmc+,+WJlj+,+Memo+,+Tjrxm+);m_AdoConn.ExecuteSQL(vSQL); m_AdoConn.ExitConnect();void CZdxxb:sql_update(int iWDbh)ADOConn m_AdoConn;CString strLBbh;strLBbh.Format(%d,LBbh);CString strWDbh;strWDbh.Format(%d,iWDbh);CString strDWbh;strDWbh.Format(%d,DWbh);_bstr_t vSQL;vSQL=UPDATE Zdxxb SET DWbh=+strDWbh+,LBbh=+strLBbh+,GJz=+GJz+,WDmc=+WDmc+,WJlj=+WJlj+,Memo=+Memo+,Tjrxm=+Tjrxm+ WHERE WDbh=+ +strWDbh+; m_AdoConn.ExecuteSQL(vSQL);m_AdoConn.ExitConnect();void CZdxxb:sql_deletelb(int iDWbh,int iLBbh)ADOConn m_AdoConn; m_AdoConn.OnInitADOConn();CString sql;sql.Format(delete from Zdxxb where DWbh=%i,LBbh=%i,iDWbh,iLBbh);m_AdoConn.ExecuteSQL(_bstr_t)sql);m_AdoConn.ExitConnect();void CZdxxb:sql_delete(int iWDbh)ADOConn m_AdoConn; m_AdoConn.OnInitADOConn();CString sql;sql.Format(delete from Zdxxb where WDbh=%i,iWDbh);m_AdoConn.ExecuteSQL(_bstr_t)sql);m_AdoConn.ExitConnect();void CZdxxb:sql_deletedw(int iDWbh) ADOConn m_AdoConn; m_AdoConn.OnInitADOConn();CString sql;sql.Format(delete from Zdxxb where DWbh=%i,iDWbh);m_AdoConn.ExecuteSQL(_bstr_t)sql);m_AdoConn.ExitConnect();void CZdxxb:Load_dep()连接数据库 ADOConn m_AdoConn;m_AdoConn.OnInitADOConn(); 设置SQL语句_bstr_t vSQL;vSQL=SELECTFROM Zdxxb ORDER BY WDbh; _RecordsetPtr m_pRecordset; m_pRecordset=m_AdoConn.GetRecordSet(vSQL);初始化数组a_LBbh.RemoveAll();a_WDbh.RemoveAll();a_WJlj.RemoveAll();a_DWbh.RemoveAll();a_WDmc.RemoveAll();a_GJz.RemoveAll();while(m_pRecordset-adoEOF=0)a_WDbh.Add(LPCTSTR)(_bstr_t)m_pRecordset-GetCollect(WDbh);a_WJlj.Add(LPCTSTR)(_bstr_t)m_pRecordset-GetCollect(WJlj);a_LBbh.Add(LPCTSTR)(_bstr_t)m_pRecordset-GetCollect(LBbh);a_DWbh.Add(LPCTSTR)(_bstr_t)m_pRecordset-GetCollect(DWbh);a_WDmc.Add(LPCTSTR)(_bstr_t)m_pRecordset-GetCollect(WDmc);a_GJz.Add(LPCTSTR)(_bstr_t)m_pRecordset-GetCollect(GJz);m_pRecordset-MoveNext();m_AdoConn.ExitConnect();int CZdxxb:sql_selectwdmc(CString cWDmc)ADOConn m_AdoConn; m_AdoConn.OnInitADOConn();CString sql;sql.Format(select WDmc from Zdxxb where WDmc=%s,cWDmc);_RecordsetPtr m_pRecordset;m_pRecordset=m_AdoConn.GetRecordSet(_bstr_t)sql);if(m_pRecordset-adoEOF)return -1;else return 1;m_AdoConn.ExitConnect();int CZdxxb:HaveId(int iDWbh,int iLBbh,int iWDbh)ADOConn m_AdoConn; m_AdoConn.OnInitADOC