勾股定理培优.doc

学科：数学教学内容：勾股定理知识精点1勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方2勾股定理表达形式：条件：在RtABC中，C=90，A、B、C所对的边分别为a、b、c结论：3勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）在数轴上作出表示（n为正整数）的点重、难、疑点重点：（1）掌握勾股定理，会利用拼图验证勾股定理；（2）会利用勾股定理解决一些实际问题难点：勾股定理的灵活应用，疑点：勾股定理的作用及变形公式的运用典例精讲例1 已知：一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，求第三边的长方法指导：因为题目没有明确这两边中有无斜边，故应分类讨论，然后再用勾股定理计算第三边解：设第三边长为xcm，当x为斜边长时，由勾股定理得：，x=5cm当4为斜边长时，由勾股定理得：，方法总结：在利用勾股定理时一定要分清斜边和直角边，若题目没有明确指出，则需分类讨论，避免漏解举一反三 以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形面积分别为和，求第三个正方形的面积解：或例2 直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，其斜边扩大到原来的（ ）A2倍 B3倍 C4倍 D不变方法指导：可设两直角边长分别为a、b，斜边长为c，用代数式可清楚地反映它们之间的变化规律解：设两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则变化后两直角边长分别为2a、2b，由勾股定理得：那么由此知斜边也扩大到原来的2倍故应选A方法总结：由本例知直角三角形三边同时扩大相同的倍数后仍是直角三角形举一反三 直角三角形三边都增加相同的长度所得三角形是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定解：A例3 如图，铁路上A、B两地相距25km，C、D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站距离相等，则E站应建在距A地多少km处？方法指导：此题中的E可看作动点当E在AB间移动时，在某处使得DE=CE此点惟一，而AE+BE为定值25故可利用这一关系建立方程解：设AE=x，则BE=25x在RtADE中，在RtCBE中，又DE=CE，即，解得x=10（km）故E站应建在距A地10km处方法总结：对确定点的位置这一类型题先假定此点找到，再依据需满足的关系建立方程求解是解此类题常用方法举一反三 如图，在ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD解：设DC=x，则BD=14x，在RtADB中，由勾股定理得：，在RtADC中，由勾股定理得：解得：x=5=144AD=12例4 如图，在ABC中，C=90，CDAB，垂足为D，BC=5cm，DC=4cm，求ABC的面积方法指导：在RtABC中，已知BC、DC，可直接用勾股定理求出BD的长，但要求就需计算AD的长求AD取决于AC而AC在两个直角三角形中，故可联立关于AC的表达式从而求出AD解：设AD=xcm，AC=ycm在RtBCD中，BD=3cm在RtACD中，在RtABC中，整理得：方法总结：联立方程组其实质是寻找中间量举一反三 如图，在RtABC中，ACB=90，AC=8cm，BC=6cm，CDAB于D，求CD的长解：在RtABC中，ACB=90，AB=10又，ABCD=BCAC即CD=4.8（cm）例5 一个直角三角形的三边为连续自然数，求这个直角三角形的三边长方法指导：根据三边长为连续自然数，可设中间数为n，则其余两数分别为（n1）和（n+1），再根据勾股定理列方程求解解：设中间数为n，则其余两数分别为（n1）和（n+1）这三个数为直角三角形的三边长，由勾股定理得：化简得：，n0，n=4，直角三角形的三边长分别为：3、4、5方法总结：本题主要考察未知数的设法以及勾股定理的应用举一反三 一个直角三形的三边长为连续偶数，求这个直角三角形的三边长解：设中间数为2n，则其余两数分别为2（n1）和2（n+1）由勾股定理得：化简得：，n0，n=4直角三角形的三边长分别为：6、8、10例6 如图所示，正方形ABCD边长为1，以AE为折痕，使AD落在AC上，D与F重合求：DE的长方法指导：折叠问题有它的共同特征，即折叠前后两图形关于折痕对称，这样我们就可利用对称性来解题解：过点E作EFAC于点F，设DE=x，则EF=DE=x，CE=1x，在RtABC中，由勾股定理得：又AD=AF=1，在RtCFE中，由勾股定理得：即解得：方法总结：方程思想是一种重要的数学思想，将未知量用一字母表示，再寻找含未知量的等式即得方程，解之即可，同时也可将几何问题代数化举一反三 将长方形ABCD沿AE折叠后，D点恰与BC边上的F点重合，如图，已知AB=8，BC=10，求EC的长解：EC=3知识网络直角三角形三边关系学法点津勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，我们应了解它的文化价值勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，我们应掌握它的一些重要用途通过观察、归纳、猜想探索勾股定理，体验由特殊到一般的探索数学问题的方法；通过拼图来验证勾股定理，尝试用数形结合的思想来解决问题同步练习1直角三角形两直角边的长分别为8和10，则斜边上的高为_，斜边被高分成的两部分的长分别是_、_2RtABC中，C=90，B=30，b=10，则c=_，a=_3在RtABC中，C=90，A=30，则a：b：c=_4在ABC中，C=90，AB=12cm，AC=BC，则BC=_5等边三角形边长为8cm，它的面积为_6在RtABC中，C=90，BC=6cm，CA=8cm，动点P从C点出发，以每秒2cm的速度沿CA，AB运动到点B，则从点C出发_s时，可使7从边长为2的正方形的一个顶点到正方形四边中点的距离之和是_8如图181-12，在ABC中，C=90，AC：BC=4：3，D在CB延长线上，且BD=AB，则DC：AD=_9在RtABC中，E是斜边AB上一点，把ABC沿CE折叠，点A与B恰好重合，如果AC=4cm，那么AB=_cm10在ABC中，C=90，A，B，C的对边分别是a，b，c（1）若a=8，b=6，则c=_（2）若c=20，b=12，则a=_（3）若a：b=3：4，c=10，则a=_，b=_11一个直角三角形的三边长为12，5和a，则以a为半径的圆的面积是（ ）A BC或 D无法确定12若线段a，b，c能构成直角三角形，则它们之比为（ ）A2：3：4 B3：4：6C5：12：13 D4：6：713已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积为（ ）A BC D14放学以后，小红和小颖从学校分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小组知行走的速度都是40m/min小红用15min到家，小颖用20min到家，则小红家和小颖家的距离为（ ）A600m B800mC1000m D不能确定15为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一个高为2.5m的木梯，准备把拉花挂到2.4m的墙上，则梯脚与墙角的距离应为（ ）A0.7m B0.8mC0.9m D1.0m16直角三角形两直角边长分别为5，12，则它斜边上的高是（ ）A6 B8.5 C D17直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（ ）A121 B120C123 D以上均错18在RtABC中，C=90，A，B，C的对边分别是a，b，c（1）已知a=15，b=20，求c（2）已知c=61，b=60，求a（3）已知，求a（4）已知，求c，a19如图181-13，在四边形ABCD中，BAD=90，CBD=90，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积20直角三角形两条直角边的比为3：4，面积是24求这个三角形的周长21ABC中，ACB=90，a，b，c是A，B，C的对边，ABC的面积是24，a+b=14求c的长22某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园如图181-14所示，ACB=90，AC=80m，BC=60m若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，已知水渠的造价是10元/米，则D点在距A点多远处时此水渠的造价最低？最低造价是多少？在图上标出D点23小明的叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知其面积为，其对角线长为10m，为建起栅栏，需要计算这个矩形养鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？24如图181-15，一个长2.5m的梯子，斜靠在一面竖直的墙上（如AB状态），这时梯子底端离墙距离BC=0.7m，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面2m，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？参考答案1； 220； 3 4 5 62或6.5 7 8 9 10（1）10 （2）16 （3）6；8 11C 12C 13A 14C 15A 16D 17D 提示：设斜边为m，另一直角边为n，则，因m，n为自然数，故m+n=121，mn=1，所以m=81，n=40所以m+n+11=132 18（1）c=25 （2）11 （3）4 （4）c=26，a=10 19 2024 提示：设两条直角边长为3k，4k则，k=2，则12k=24 2110 提示：由题意，得，即ab=48又a+b=14，两边平方，得，即，又因为，所以，即c=10 22过C作CDAB于D，由勾股定理，得AB=100m由面积公式：，得CD=48瑞在直角三角形ADC中利用勾股定理，得故造价为元答：D点在距A点64m处，此时水渠的造价最低，最低造价为480元23设矩形养鱼池的长为xm，宽为ym，则由得将代入，得，则所以矩形周长为28cm 240.8m学科：数学教学内容：勾股定理的逆定理知识精点1勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式，则这个三角形是直角三角形2勾股定理的作用：判断一个三角形是不是直角三角形3用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题重、难、疑点重点：掌握用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，或两条直线是否垂直难点：用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题疑点：如何将实际问题转化为直角三角形的判定问题典例精讲例1 试判断：三边长分别为的三角形是不是直角三角形？方法指导：先确定最大边，再用勾股定理的逆定理判断解：，为三角形的最大边又，由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形方法总结：判定一个三角形是否是直角三角形，先确定最大边，再看最大边的平方是否是另两边的平方和若是则是直角三角形，反之不是举一反三 试判断：三边长分别为的三角形是不是直角三角形？解：mn0，为三角形的最大边，又，由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形例2 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且求证：AEF是直角三角形方法指导：要证AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证即可解：证明：设正方形ABCD的边长为a，则，在RtABE中，由勾股定理得：同理在RtABE中，由勾股定理得：在RtCEF中，由勾股定理得：AEF是直角三角形方法总结：利用代数方法，计算三角形的三边长，看它们是否符合勾股定理的逆定理，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一举一反三 如图，在四边形ABCD中，B=90，AB=BC=4，CD=6，DA=2，求DAB的度数解：连接AC，在RtABC中，B=90，AB=BC=4，BAC=45，在ADC中，ADC是直角三角形，DAC=90DAB=BAC+DAC=45+90=135例3 如图，DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF边上的中线DG=8cm，求DEF的面积方法指导：利用勾股定理的逆定理解题解：EF=30cm，DGE是直角三角形，即DGEF，方法总结：利用勾股定理的逆定理可证两线垂直举一反三 已知如图，B=D=90，A=60，AB=10，CD=6，求四边形ABCD的面积解：延长AD、BC交于点E在RtABE中，B=90，A=60，AB=10，AE=20由勾股定理可得：，在RtCDE中，CDE=90，E=30，CD=6，四边形ABCD的面积为：例4 已知ABC的三边长为a，b，c，且满足，试判断ABC的形状方法指导：要判断三角形的形状，应从已知条件入手，分析各边之间的关系，从而得出正确结论解：，或当时，有由勾股定理的逆定理知，此时三角形是直角三角形；当时，有a=b，此时三角形是等腰三角形综上，ABC是直角三角形或等腰三角形方法总结：此题易犯的错误是由得，漏掉这种情况，从而漏掉等腰三角形这种可能性举一反三 若ABC的三边满足条件，试判断ABC的形状解：，a=5，b=12，c=13，ABC是直角三角形例5 如图，在四边形ABCD中，C=90，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：ADBD方法指导：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题解：在RtBCD中，BC=4，CD=3，由勾股定理得：，即BD=5在ABD中，BD=5，AB=13，AD=12，由勾股定理逆定理知：ABD是直角三角形，且ADB=90，ADBD方法总结：判断三角形中的垂直或证明三角形是直角三角形的时候，应用勾股定理的逆定理，只要满足表达式的形式，就可判断三角形是直角三角形举一反三 如图，在ABC中，ADBD，垂足为D，AB=25，CD=18，BD=7，求AC解：在RtADB中，AB=25，BD=7，由勾股定理得：AD=24在RtADC中，AD=24，CD=18，例6 如图，已知ABC中，AB=AC，D为BC上任一点，求证：方法指导：证明线段的平方关系，应注意到勾股定理的表达式里有平方关系，因此需要构造直角三角形，从而为用勾股定理创造前提条件解：过点A作AEBC于EAB=AC，BE=EC又AEBC，.方法总结：构造直角三角形是解决几何问题的常用方法和手段，往往是通过作高来构造直角三角形在解决问题的过程中，代数和几何的知识经常结合应用举一反三 如图所示，DE=m，BC=n，EBC与DCB互余，求知识网络学法点津勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若，则三角形是直角三角形；若，则三角形是锐角三角形；若，则三角形是钝角三角形所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边同步练习一1已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为正整数），则这个三角形是_三角形，理由是_2若一个三角形的三边长为m+1，8，m+3，当m=_时，此三角形是直角三角形，且其中m+3是斜边3在ABC中，a=2，b=5，则当时，C=904如果一个三角形的三条边长分别是a，b，c，当时，那么这个三角形是_三角形5已知ABC中，AB=k，AC=2k1，BC=3，当k=_时，C=906我们知道，像“3，4，5”，“6，8，10”，“5，12，13”，“7，24，25”这样的每组三个数是勾股数；已知m、n是正整数，mbc），那么其中正确的是（ ）A（1）（2） B（1）（3） C（1）（4） D（2）（4）12如图，ABC中，AB=AC，ADBC，垂足是D，AB=13，BD=5，则ABC的面积是（ ）A65 B120 C60 D3613如图，ABC中，ACB=90，AC=BC，如果ABC的面积是8，那么腰长是（ ）A4 B2 C8 D1614如图，B在A的北偏西方向的6m处，C在A的北偏东方向的8m处，并且，那么B、C两点相距（ ）A6m B8m C10m D12m15如图，在RtABC中，C=90，D为AC上的一点，且有DA=DB=5，又DAB的面积是10，那么DC的长是（ ）A4 B3 C5 D4516在ABC中，AB=AC，如果AB=17，BC=16，则BC边上的中线长是（ ）A8 B15 C10 D617如图，在RtABC中，B=90以AC为直径的圆恰好过点BAB=8，BC=6，则阴影部分的面积是（ ）A BC D三、阅读理解题（5分）18阅读下列解题过程，并回答问题已知a，b，c为ABC的三边，且满足，试判定ABC的形状解：， ， ABC是直角三角形（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出代号_（2）错误的原因为_（3）本题正确结论为_四、解答题（64分）19（8分）下面同学对各题的解答是否正确？为什么？（1）在RtABC中，B=90，a=3，b=4，求c；（2）已知直角三角形两条直角边为40和9，求第三边的长；（3）已知ABC中，AB=10，AC=17，BC边上的高AD=8，求BC的长解：（1）由勾股定理得：，（2）由勾股定理得：，c=41，答：第三边的长为41（3）根据勾股定理：，DB=8；，DC=15故BC=15+8=2420（8分）有一个三角形两边长分别为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边为多少？21（8分）给出一组式子：（1）你能发现关于上式中的一些规律吗？（2）请你运用所发现的规律，给出第5个式子（3）请你证明你所发现的规律22（8分）在ABC中，已知a=15，b=17，c=8，求ABC的面积23（8分）如图，在ABC中，ACB=90，CDAB，D为垂足，DEBC，E为垂足，已知AC=6，AB=10求（1）CD的长；（2）DE的长24（8分）如图，ABC中，ADBC，D为垂足，AE为BC边上的中线，已知AB=5，BC=12，ABC的面积是24求（1）AD的长；（2）判断ABE的形状，并说明理由25（8分）如图，在ABC中，ACB=90，CD为AB边上的高试说明26（8分）如图，在ABC中，AM是BC边的中线，AE为BC边上的高试判断与的关系，并说明理由参考答案1（1）7 （2）34 2（1）1 （2）3 3192 4a 5略 66 先由面积公式，求出AD=8 7或 先说明此三角形为直角