正方形的判定

北师大版九年级上册 第三节 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第一课时正方形的性质 复习回顾 1 平行四边形的对边 对角 对角线 2 菱形的四边 对边 对角 对角线 且每一组对角线平分一组对角 3 矩形的对边 对角 对角线 平行且相等 互相平分且相等 相等 互相平分且互相垂直 平行且相等 互相平分 平行 相等 相等 相等 问题 从这个图形中你能得到什么 你是怎样想到的 90 当 90 时 这个四边形还是菱形 但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形 定义1 有一个角是直角的菱形叫做正方形 90 正方形还可以怎样定义呢 定义2 邻边相等的矩形叫做正方形 正方形在生活中随处可见 你能举出一些生活中正方形的例子吗 与同伴交流 如何在平行四边形的基础上定义正方形呢 一组邻边相等 一内角是直角 定义3 有一组邻边相等 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形具有工整 匀称 美观等许多优点 常被人们用在图案和工艺品设计上 平行四边形 矩形 菱形 正方形的关系 正方形 正方形是矩形吗 正方形是菱形吗 正方形既是矩形 也是菱形 它具有矩形和菱形的所有性质 A B D 探究新知 正方形的性质 菱形的性质 矩形性质 边 对边平行 四边相等 角 四个角都是直角 对角线 相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 图形的对称性 既是轴对称图形 又是中心对称图形 已知 正方形ABCD 求证 AB BC CD AD A B C D 证明 四边形ABCD是正方形 四边形ABCD是菱形 AB BC CD AD 四边形ABCD是正方形 四边形ABCD是矩形 A B C D 证明定理 正方形的四个角都是直角 四条边相等 分析 因为正方形具有矩形和菱形的所有性质 所以结论易证 证明定理 正方形的对角线相等且互相垂直 证明 ABCD是正方形 AB CD ABC DCB BC BC ABC DCB AC BD OB OD AB AD OA OA AOB AOD AOB AOD 又 AOB AOD 90 AOB 90 AC BD 即对角线互相垂直且相等 已知ABCD是正方形 AC BD分别是正方形的两条对角线 且交于点O 求证 AC BD AC BD 例1 正方形ABCD对角线AC BD相交于点O 且AB 2cm 则AC 解析 四边形ABCD是正方形 BC AB 2 ABC 90 在Rt ABC中 例2 已知正方形ABCD中 对角线AC BD相交于点O AC 10 P是AB上一点 PE AC于E PF BD于F 则PE PF 分析 由正方形的性质可推理出PE AE PF OE PE PF OA 解 ABCD是正方形 AO AC 5 BAC 45 AC BD又 PE AC PF BD 四边形PEOF为矩形 PF OE在 APE中 PAE 45 AE PE PE PF AE OE AO 5 5 例3 如图 在正方形ABCD中 E为CD上一点 F为BC边延长线上一点 且CE CF BE与DF之间有怎样的关系 请说明理由 分析 1 由正方形的性质得到 BCD DCF 90 BC CD 结合CE CF 可证 BCE DCF 从而有BE CF 2 延长BE交DE于点M 由全等可知 CBE CDF 借助等量代换得到 BMF 90 从而有BE CF 1 四边形ABCD是正方形 BC DC BCE 90 DCF 180 BCE 180 90 90 BCE DCF 又 CE CF BCE DCF BE DF 解 BE DF 且BE DF 理由如下 2 如图 延长BE交DE于点M BCE DCF CBE CDF DCF 90 CDF F 90 CBE F 90 BMF 90 BE DF 1 判断题 1 四个角都相等的四边形是正方形 2 四条边都相等的四边形是正方形 3 对角线相等的菱形是正方形 4 对角线互相垂直的矩形是正方形 5 对角线垂直相等的四边形是正方形 6 四边相等 有一个角是直角的四边形是正方形 3 正方形ABCD中 M为AD中点 ME BD于E MF AC于F 若ME MF 8cm 则AC 30 16cm 2 以正方形ABCD的一边DC向外作等边 DCE 则 AEB 解 四边形ABCD是正方形 CDE是等边三角形 BCE 90 60 150 CB CE CEB 15 同理 AED 15 AEB 60 15 15 30 提示 AC 2OA 2 ME MF 16cm 1 如图所示 正方形ABCD中 P为BD上一点 PE BC于E PF DC于F 试说明 AP EF 解 连接PC PE BC PF DC 而四边形ABCD是正方形 FCE 90 四边形PECF是矩形 PC EF 又 四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形 AP PC AP EF 2 正方形ABCD中 E是BC延长线上一点 且CE AC AE交DC于点F 试求 E AFC的度数 解 正方形ABCD的四个角均为直角 且对角线平分一组对角 CE AC E CAE ACB是 ACE的一个外角 ACB E CAE 2 E AFC是 CEF的一个外角 AFC E FCE 22 5 90 112 5 E 22 5 AFC 112 5 j F E A B D C 平行四边形 正方形 有一个角是直角 一组邻边相等 正方形既是菱形 又是矩形 因此正方形有下列性质 4 正方形是轴对称图形 两条对角线所在直线 以及过每一组中点的直线都是它的对称轴 1 正方形的四条边都相等 四个角都是直角 2 正方形的对角线相等 且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 3 正方形是中心对称图形 对角线的交点是它的对称中心 1 习题1 7 知识技能第2 3两题2 预习第二课时 第二课时正方形的判定 1 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 2 有一个角是直角的菱形是正方形 3 有一组邻边相等的矩形是正方形 2 正方形的性质 1 正方形的定义 边 角 对角线 正方形的对边平行且相等 四条边相等 正方形的四个角都是直角 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 每条对角线平分一组对角 将一张长方形纸对折两次 然后剪下一个角 打开 怎样剪才能剪出一个正方形 创设情境 满足什么条件的矩形是正方形 什么条件的菱形是正方形 什么条件的平行四边形是正方形 你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗 满足什么条件的矩形是正方形 操作1 你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢 请你与同学交流一下 你能说说矩形与正方形的关系吗 总结 矩形 正方形 1 有一组邻边相等的矩形是正方形 2 对角线互相垂直的矩形是正方形 探究1 或对角线互相垂直 有一组邻边相等的矩形是正方形 在矩形ABCD中 AB AD 矩形四边形ABCD是正方形 正方形的判定 矩形法 几何语言 对角线互相垂直的矩形是正方形 几何语言 在矩形ABCD中 AC BD 矩形四边形ABCD是正方形 3 有一个角是直角的菱形是正方形 4 对角线相等的菱形是正方形 操作2 你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗 如何变 总结 菱形 正方形 你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗 探究2 满足什么条件的菱形是正方形 或对角线相等 有一个角是直角的菱形是正方形 在菱形ABCD中 BAC 90 菱形四边形ABCD是正方形 正方形的判定 菱形法 几何语言 对角线相等的菱形是正方形 几何语言 在菱形ABCD中 AC BD 菱形四边形ABCD是正方形 满足什么条件的平行四边形是正方形 探究3 平行四边形 正方形 你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗 5 有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形 6 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形 在平行四边形ABCD中 A 90 AB AD 平行四边形ABCD是正方形 正方形的判定 定义法 几何语言 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 在平行四边形ABCD中 AC BD AC BD 平行四边形ABCD是正方形 几何语言 探究4 1 四条边相等 四个角都是直角 2 对角线互相垂直 平分且相等 满足什么条件的四边形是正方形 既是菱形又是矩形的四边形是正方形 正方形常用的判定方法 1 有一组邻边相等的矩形是正方形 2 对角线互相垂直的矩形是正方形 3 有一个角是直角的菱形是正方形 4 对角线相等的菱形是正方形 5 有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形 6 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 7 既是菱形又是矩形的四边形是正方形 例1 在四边形ABCD中 O是对角线的交点 能判定这个四边形是正方形的是 A AO BO CO DO AC BDB AD BC A CC AO COBO DOAB BCD AC BD 解析 由正方形的判定 对角线互相平分且相等 互相垂直的四边形是正方形 故选A A 例3 已知 如图 在矩形ABCD中 BE平分 ABC CE平分 DCB BF CE CF BE 求证 四边形BECF是正方形 分析 先由BF CE CF BE得出四边形BECF是平行四边形 又因为 BEC 90 得出四边形BECF是矩形 BE CE邻边相等的矩形是正方形 证明 BF CE CF BE 四边形BECF是平行四边形 又 在矩形ABCD中 BE平分 ABC CE平分 DCB EBA ECB 45 BEC 90 BE CE 四边形BECF是正方形 巩固练习 1 已知四边形ABCD中 A B C 90 如果添加一个条件 即可推出该四边形是正方形 那么这个条件可以是 A D 90 B AB CDC AD BCD BC CD 2 小明在学习了正方形之后 给同桌小文出了道题 从下列四个条件 AB BC ABC 90 AC BD AC BD中选两个作为补充条件 使 ABCD为正方形 如图 现有下列四种选法 你认为其中错误的是 A B C D 由 A B C 90 可判定为矩形 因此再添加条件 一组邻边相等 即可判定为正方形 故选D D B 3 如图 在Rt ABC中 C 90 DE垂直平分AC DF BC 当 ABC满足条件 时 四边形DECF是正方形 要求 不再添加任何辅助线 只需填一个符合要求的条件 解 设AC BC 即 ABC为等腰直角三角形 C 90 DE垂直平分AC DF BC C CED EDF DFC 90 DF AC CE DE BC CF DF CE DE CF 四边形DECF是正方形 故答案为 AC BC AC BC 4 如图 在矩形ABCD中 ABC的角平分线交对角线AC于点M ME AB MF BC 垂足分别是E F 判定四边形EBFM的形状 并证明你的结论 首先证得四边形EBFM为矩形 再进一步利用角平分线的性质得出ME MF 证得结论成立即可 此题考查正方形的判定 矩形的性质以及角平分线的性质 结合图形 利用已知条件灵活解决问题 解 四边形EBFM是正方形 理由如下 矩形ABCD ABC 90 MF BC ME AB BFM MEB 90 ABC BFM MEB 90 四边形EBFM为矩形 BM平分 ABC ME MF 四边形EBFM为正方形 拓展提高 已知D E F G分别是四边形AB BC CD DA的中点 求证 四边形DEFG四平行四边形 证明 如图 连接BD D G分别是AB AD的中点 DG是 ABD的中位线 DG BD E F分别是BC CD的中点 EF是 BCD的中位线 EF BD DG EF DG EF 四边形DEFG是平行四边形 若四边形ABCD变为特殊的四边形 中点四边形EFGH会有怎样的变化呢 特殊四边形的中点四边形 平行四边形的中点四边形是平行四边形 菱形的中点四边形是矩形 矩形的中点四边形是菱形 正方形的中点四边形是正方形 等腰梯形的中点四边形是菱形 直角梯形的中点四边形是平行四边形 梯形的中点四边形是平行四边形 特殊四边形的中点四边形 归纳 特殊四边形的中点四边形 平行四边形的中点四边形是平行四边形 矩形的中点四边形是菱形 菱形的中点四边形是矩形 正方形的中点四边形是正方形 等腰梯形的中点四边形是菱形 直角梯形的中点四边形是平行四边形 梯形的中点四边形是平行四边形 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 对角线相等的四边