北师大版初中数学知识点分类：数与式.doc

数与式一、有理数及其运算（七年级上册第二章）1. 数怎么不够用了借助生活中的实例，理解有理数的意义，体会负数引入的必要性。会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量。正数与负数的意义：像5，1.2，1/2，这样的数叫做正数，它们都比0大；在正数的前面加上“”号的数叫做负数，如，10，3，0既不是正数，也不是负数。正数与负数的引入，是为了表示生活中相反意义的量。引入负数后，“0”的意义不仅仅表示“没有”了，它还是“正数”“负数”的分界线，是“基准”。有理数的意义：正整数、零、负整数统称为整数，正分数、负分数统称为分数，整数与与分数统称为有理数。2. 数轴通过与温度计的类比认识数轴，会用数轴上的点表示有理数。借助数轴了解相反数的概念，知道互为相反数的一对数在数轴上的位置关系。能用数轴比较有理数的大小。数轴：原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。数轴是一个非常有用的数学工具，它使数与数轴上的点建立起对应关系，可以用它提示数与形之间的内在联系，是数形结合的基础。相反数：如果两个数只是符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，零的相反数是零。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。有理数大小的比较：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。3. 绝对值助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，比较两个负数的大小。应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。例如，+2的绝对值等于2，记作|+2|=2，3的绝对值等于3，记作|3|=3。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0绝对值是0。负数大小的比较：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。负数大小的比较，除了用绝对值的方法比较以外，还可以运用数轴进行比较。4. 有理数的加法经历探索有理数加法法则和运算过程，理解有理数的加法法则和运算律；能熟练进行整数加法运算，并能运用运算律简化运算。有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同0相加，仍得这个数。在有理数运算中，加法的交换律、结合律仍然成立。、为任意有理数。加法的交换律：；加法的结合律：。5. 有理数的减法经历探索有理数减法法则的过程，理解有理数减法法则；能熟练进行整数减法的运算。有理数减法的法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。6. 有理数的加减混合运算能进行包括小数或分数的加减混合运算；能根据具体问题，适当运用运算律简化运算。在进行加减混合运算时，可以适当运用加法交换律和结合律来简化运算。7. 水位的变化能综合运用有理数及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系。8. 有理数的乘法经历探索有理数乘法法则及运算律的过程，发展观察归纳、猜测、验证等能力；会进行有理数的乘法运算，能运用乘法律简化计算。有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0。几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号由负因数的个数确定：当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负数有偶数个时，积的符号为正。只要有一个因数为0，积就为0。倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数。在有理数运算中，乘法的交换律、结合律以及分配律仍然成立。、为任意有理数。乘法的交换律：乘法的结合律：乘法对加法的分配律：9. 有理数的除法理解有理数除法的法则，会进行有理数的除法运算；会求有理数的倒数。有理数除法的法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0的数都得0。注意：0不能作除数。除以一个数等于乘于这个数的倒数。10. 有理数的乘方在现实背景中，理解有理数乘方的意义；能进行有理数乘方运算；通过实例感受当底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快。乘方的概念一般地，n个相同的因数a相乘，即。这种求n个相同因数a的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次幂（或a的n次方）。11. 有理数的混合运算掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的运算；在运算中合理地运用运算律简化运算。有理数混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，先算括号里面的。有理数的混合运算中，可以合理地运用加法律、乘法律简化运算。12. 计算器的使用会使用计算器进行有理数加、减、乘、除、乘方运算；经历运用计算器探求规律的活动，发展合情合理的推理能力；能运用计算器进行实际问题的复杂计算。二、字母表示数（七年级上册第三章）1. 字母能表示什么经历探索规律并用代数式表示规律的过程；能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式；体会字母表示数的意义，形成初步的符号感。字母可以表示任何数。如，我们可以用字母表示数的运算律；在面积公式中，我们可以用字母表示圆的半径，长方形的长宽高等。用字母表示数，渗透了从具体数向字母过渡的抽象概括的思维方法，形式简单，使用方便。2. 代数式在具体情境中，进一步理解字母表示数的意义；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感；在具体情境中，能求出代数式的值，并解释它的实际意义。代数式：像4+3（x1），a+b，ab，2(m+n)，a3，s/t等式子都是代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。根据问题的要求，用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。注意代数式的书写要求：字母与字母相乘，数字与字母相乘（数字应写在前面），乘号通常写作“ ”或者省略不写，如xy，2a，ab等。但为避免误会，数与数相乘时仍用“”号，不宜用“ ”号，更不能省略。在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来书写，如3ab5写成。带分数与字母相乘，省略乘号时应把带分数化成假分数。实际问题中需用单位时，若代数式的最后结合含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位。如（x+y）天。3. 代数式求值会求代数式的值；会利用代数式求值推断代数式所反映的规律；能解释代数式值的实际意义。4. 合并同类项在现在情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感；在具体情境中了解合并同类项的法则，能进行合并同类项运算。在代数式1.5v 中，字母前面的数1.5叫做它的系数。代数式abmn3n2，是ab，mn，3n2三项的和，系数分别是1，1，3。代数式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。把同类项合并成一项就叫做合并同类项。在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。5. 去括号在具体情境中体会去括号的必要性，能运用运算律去括号；总结去括号的法则，并能利用法则解决简单的问题。括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号不改变；括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。6. 探索规律经历探索数量关系、运算符号表示规律、通过运算验证规律中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。三、整式的运算（七年级下册第一章）1. 整式在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感；了解整式产生的背景了整式的概念，能求出整式的次数。像等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫作单项式。几个单项式的和叫做多项式。单项式与多项式统称为整式。一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。2. 整式的加减经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感；会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。进行整式加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。3. 同底数幂的乘法经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理地表达能力；了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题。同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。即4. 幂的乘方与积的乘方经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力；了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。幂的乘方，底数不变，指数相乘。即积的乘方等于每个因式的乘方的积。5. 同底数幂的除法经历探索同底数幂的除法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力；了解同底数幂的除法，并能解决一些实际问题。同底数幂相除，底数不变，指数相减。我们规定：6. 整式的乘法经历探索整式乘法运算法则的过程，会进行简单的整式乘法运算；理解整式乘法运算的算理，体会乘法分配率的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语方表达能力。单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。7. 平方差公式经历探索平方差公式过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理；了解平方差公式的几何背景。平方差公式：。两数和与这两数差的积，等于它父的平方差。8. 完全平方公式经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力；会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；了解公式的几何背景。完全平方公式：9. 整式的除法经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算（只要求单项式除以单项式，并且结果都是整式）；理解整式除法运算的算理，发展有条理思考及表达能力。单项式相除，把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。单项式相除，可以用类似于分数约分的方法来计算。多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。四、实数（八年级上册第二章）1. 数怎么又不够用了通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性；借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的意思；会判断一个数是有理数还是无理数。事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何无限小数或无限循环小数也都是无理数。无限不循环小数叫做无理数。2. 平方根了解数的算术平方根、平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根和平方根；了解开方与乘方互为逆运算，会运用互逆运算求某些非负数的算术平方根与平方根。算术平方根：一般地，如果一个正数x平方根等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”。特别地，我们规定0的算术平方根是0。平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根）。一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数，记作；0的平方根是0；负数没有平方根。开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。根据平方根的定义，可以得出：3. 立方根了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫三次方根），记做。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a就叫做被开方数。根据立方根的定义，可以得出：4. 公园有多宽能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小；掌握估算方法，形成估算意识，发展学生的数感。5. 用计算器开方会用计算器求平方根和立方根；经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力。6. 实数了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用；能利用化简对实数进行简单的计算。有理数和无理数统称为实数，即实数可分为有理数和无理数。实数还可分为正实数、0、负实数。在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。实数和数轴上的点是一一对应的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。二次根式的运算法则：五、分解因式（八年级下册第二章）1. 分解因式经历从分解因数到分解因式的类比过程；了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的关系；感受分解因式在解决相关问题中的作用。把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。分解因式与整式的乘法是互逆的关系。2. 提公因式法经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中，能够确定多项式的公因式；会用提公因式法把多项式分解因式；进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维，并渗透化归的思想方法。我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。提公因式法的依据是逆用乘法分配率。即3. 运用公式法经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力；会用公式法分解因式。如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。形如的式子称为完全平方式。六、分式（八年级下册第三章）1. 分式能用分式表示现实情境中的数量关系，进一步发展符号感；了解分式的概念，明确分式与整式的区别，掌握分式的性质，分化简分式。分式的概念：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。对于任意一