2.2.3等差数列的前n项和

2 3等差数列的前n项和 第一课时 1 复习回顾 等差数列 公差 通项公式 等差中项 重要性质 an 1 an d 常数 d an a1 n 1 d 第二通项公式an am n m d 当m n p q时 am an ap aq 注意 这里m n p q N 高斯 Gauss 1777 1855 德国著名数学家 他研究的内容涉及数学的各个领域 是历史上最伟大的数学家之一 被誉为 数学王子 2 创设情景 高斯10岁的时候很快就解决了这个问题 1 2 3 100 你知道高斯是怎样算出来的吗 赶快开动脑筋 想一想 1 1002 99 50 51 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组 首尾配对 每组数的和均相等 都等于101 50个101就等于5050了 高斯算法将加法问题转化为乘法运算 迅速准确得到了结果 此种求和法称为首尾配对相加法 此种求和法称为倒序相加法 倒序相加法 对一般的等差数列 如何求它的前n项和呢 受前面的启发 如何求 若用首尾配对相加法 需要分类讨论 3 数列前n项和的定义 4 等差数列前n项和公式推导 倒序相加法 等差数列的前n项和的公式 思考 公式的特点 不含d 含an 含d 4 推导公式 知三求二 5 应用 例1 根据下列条件求相应的等差数列的有关未知量 3 求及 求Sn 求Sn 解 1 2 3 则由 由 练习1 根据下列各题的条件求相应的等差数列 an 未知量 S8 88 S26 604 6 5 应用 2 等差数列 10 6 2 2 前多少项和是54 解 设题中的等差数列为 an 则a1 10d 6 10 4 设Sn 54 则 即n2 6n 27 0得n1 9 n2 3 舍去 因此等差数列 10 6 2 2 前9项和是54 a9 2 求Sn 求Sn 例2 已知一个等差数列前10项的和是310 前20项的和是1220 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和公式吗 解 由题意可知 由 得 解得 所以 5 应用 5 应用 变式练习3 20 例3 教材43页例1 2000年11月14日教育部下发了 关于在中小学实施 校校通 工程的通知 某市据此提出了实施 校校通 工程的总目标 从2001年起用10年的时间 在全市中小学建成不同标准的校园网 据测算 2001年该市用于 校校通 工程的经费为500万元 为了保证工程的顺利实施 计划每年投入的资金都比上一年增加50万元 那么 从2001年起的未来10年内 该市在 校校通 工程中的总投入是多少 解 由题意 该市在 校校通 工程中每年投入的资金构成等差数列 an 且a1 500 d 50 n 10 故 该市在未来10年内的总投入为 5 应用 答 从2001到2010年 该市在 校校通 工程中的总投入是7250万元 练习4一个屋顶的某一斜面成等腰梯形 最上面一层铺瓦片21块 往下每一层多铺1块 斜面上铺了19层 共铺瓦片多少块 解 该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列 an 于是 屋顶斜面共铺瓦片 答 屋顶斜面共铺瓦片570块 5 应