2.2.2椭圆的几何性质

2 2 2椭圆的简单几何性质 一 复习 1 椭圆的定义 到两定点F1 F2的距离之和为常数 大于 F1F2 的动点的轨迹叫做椭圆 2 椭圆的标准方程是 3 椭圆中a b c的关系是 当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时 一 椭圆的范围 由 即 说明 椭圆位于矩形之中 即 椭圆的对称性 二 椭圆的对称性 从图形上看 椭圆关于x轴 y轴 原点对称 从方程上看 1 把x换成 x方程不变 图象关于y轴对称 2 把y换成 y方程不变 图象关于x轴对称 3 把x换成 x 同时把y换成 y方程不变 图象关于原点成中心对称 三 椭圆的顶点 在 中 令x 0 得y 说明椭圆与y轴的交点 令y 0 得x 说明椭圆与x轴的交点 顶点 椭圆与它的对称轴的四个交点 叫做椭圆的顶点 长轴 短轴 线段A1A2 B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴 a b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 根据前面所学有关知识画出下列图形 1 2 A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 四 椭圆的离心率 1 离心率的取值范围 因为a c 0 所以0 e 1 1 e越接近1 c就越接近a 从而b就越小 椭圆就越扁 2 e越接近0 c就越接近0 从而b就越大 椭圆就越圆 3 特例 e 0 则a b 则c 0 两个焦点重合 椭圆方程变为 2 离心率对椭圆形状的影响 1 椭圆标准方程 所表示的椭圆的存在范围是什么 2 上述方程表示的椭圆有几个对称轴 几个对称中心 3 椭圆有几个顶点 顶点是谁与谁的交点 4 对称轴与长轴 短轴是什么关系 5 2a和2b是什么量 a和b是什么量 6 关于离心率讲了几点 回顾 x a y b 关于x轴 y轴成轴对称 关于原点成中心对称 a 0 a 0 0 b 0 b c 0 c 0 长半轴长为a 短半轴长为b a b x b y a 同前 b 0 b 0 0 a 0 a 0 c 0 c 同前 同前 同前 0 e 1 e越接近于1越扁 例1 已知椭圆方程为9x2 25y2 225 它的长轴长是 短轴长是 焦距是 离心率等于 焦点坐标是 顶点坐标是 外切矩形的面积等于 10 6 8 60 解题的关键 1 将椭圆方程转化为标准方程明确a b 2 确定焦点的位置和长轴的位置 例2 求椭圆16x2 25y2 400的长轴和短轴的长 离心率 焦点和顶点坐标 并作出简图 解 把已知方程化成标准方程 这里 因此 椭圆的长轴长和短轴长分别是 离心率 焦点坐标分别是 四个顶点坐标是 例2 求椭圆16x2 25y2 400的长轴和短轴的长 离心率 焦点和顶点坐标 并作出简图 例3求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 经过点P 3 0 Q 0 2 2 长轴长等于20 离心率等于 或 1 例4如图 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面 椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面 的一部分 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上 片门位于另一个焦点F2上 由椭圆一个焦点F1出发的光线 经过旋转椭圆面反