概率论第五章 大数定律与中心极限定理.ppt

1 第五章大数定律与中心极限定理 在大量随机现象中 我们不仅看到随机事件频率的稳定性 而且还看到一般的平均结果的稳定性 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定律 大数定律是一种表现必然性与偶然性之间的辩证联系的规律 由于大数定律的作用 大量的随机因素的总和作用必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果 2 5 1大数定律 3 证明由于 在上式中令并注意到概率不能大于1 由契比晓夫不等式可得 即得 4 1 1 式中 是一个随机事件 等式表明 当时 这个事件的概率趋于1 即对于任意正数当n充分大时 不等式几乎都是成立的 通常我们称序列依概率收敛于 5 6 7 证明 显然有由于只依赖于第i次试验 而各次实验是独立的 于是相互独立 且服从相同的 0 1 分布 即 引入随机变量 8 由定理一 得 即 又因为 故有 9 贝努里定理是契比晓夫定理的特例 它从理论上证明了频率的稳定性 只要试验次数n足够大 事件A出现的频率与事件A的概率p有较大偏差的可能性很小 因此在实践中 当试验次数较大时 便可以用事件发生的频率来代替事件发生的概率 10 定理三 辛钦大数定理 设随机变量X1 X2 Xn 互相独立 服从同一分布且具有数学期望E Xk k 1 2 则对任意 0 有 11 在客观实际中有许多随机变量 它们是由大量相互独立的随机因素的综合效应所形成的 而其中的每一个单个因素在总的效应中所起的作用都是微小的 这类随机变量往往近似地服从正态分布 例如 射击命中点与靶心距离的偏差 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和 这些因素包括 瞄准误差 测量误差 子弹制造过程方面 如外形 重量等 的误差以及射击时武器的振动 气象因素 如风速 风向 能见度 温度等 的作用 5 2中心极限定理 12 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的 并且它们中每一个对总和产生的影响不大 在概率论中 论证随机变量和的极限分布是正态分布的一系列定理统称为中心极限定理 下面介绍常用的三个中心极限定理 13 14 定理四表明 当n 时 独立同分布随机变量序列Yn的分布函数收敛于标准正态分布的分布函数 15 定理五 李雅普诺夫定理 设随机变量相互独立 且具有数学期望和方差 记 若存在正数 使得当时 16 的分布函数对任意的x 满足 则随机变量之和的标准化变量 17 定理五表明 在定理的条件下 随机变量 当n很大时 近似地服从标准正态分布N 0 1 由此可知 当n很大时 随机变量近似地服从正态分 18 作为定理四的特殊情况 我们给出下面的定理 定理六 德莫佛 拉普拉斯定理 设随机变量服从参数为的二项分布 则对于任意x 恒有 证明Yn可以看作为n个相互独立 服从相同 0 1 分布的随机变量X1 X2 Xn之和 19 即 其中的分布列为 由于 则定理四中的化为 故由定理四可得上述结论 20 定理六表明 正态分布是二项分布的极限分布 当n充分大时 可以利用该定理来计算二项分布的概率 近似公式1若独立随机变量X1 X2 Xn 满足定理四的条件 则当n充分大时 对任意实数z1 z2 有 21 近似公式2若Xn B n p 则有P a Xn b 在后面将学的数理统计中 我们会看到 中心极限定理是大样本统计推断的理论基础 22 例1在每组射击中 命中目标的炮弹数的数学期望为2 均方差为1 5 求在100组射击中由180到220发炮弹命中目标的概率 设表示第i组命中目标的炮弹数 解 由题设 23 于是 24 例2设一货轮在某海区航行 已知每遭受一次波浪的冲击 纵摇角度大于的概率为 若货轮在航行中遭受了90000次波浪冲击 问其中有29500至30500次纵摇角度大于的概率是多少 解可将货轮每遭受一次波浪冲击看作是一次试验 并认为实验是独立的 在90000次波浪冲击中 纵摇角度大于6 的次数记为X 25 所求概率为 显然 要直接计算是困难的 可以利用德莫 的二项分布 其分布列为 佛 拉普拉斯定理来求它的近似值 即有 则X为一随机变量 它服从 26 将代入有 27 例3售报员在报摊上卖报 已知每个过路人在报摊上买报的概率为1 3 令X是出售了100份报时过路人的数目 求P 280 X 320 解令Xi为售出了第i 1份报纸后到售出第i份报纸时的过路人数 i 1 2 100 几何分布 应用2 28 相互独立 由独立同分布中心极限定理 有 29 例4检验员逐个检查某产品 每查一个需用10秒钟 但有的产品需重复检查一次 再用去10秒钟 若产品需重复检查的概率为0 5 求检验员在8小时内检查的产品多于1900个的概率 解若在8小时内检查的产品多于1900个 即检查1900个产品所用的时间小于8小时 设X为检查1900个产品所用的时间 秒 设Xk为检查第k个产品所用的时间 单位 秒 k 1 2 1900 应用3 30 0 50 5 相互独立同分布 31 32 例5某车间有200台车床 每台独立工作 开工率为0 6 开工时每台耗电量为r千瓦 问供电所至少要供给这个车间多少电力 才能以99 9 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产 解设至少要供给这个车间a千瓦的电力 X为开工的车床数 则X B 200 0 6 X N 120 48 近似 应用4 由德莫佛 拉普拉斯中心极限定理 有 33 问题转化为求a 使 反查标准正态函数分布表 得 34 令 35 例6设有一批种子 其中良种占1 6 试估计在任选的6000粒种子中 良种比例与1 6比较上下不超过1 的概率 解设X表示6000粒种子中的良种数 X B 6000 1 6 应用5 由德莫佛 拉普拉斯中心极限定理 则 有 36 37 例7某校有学生5000人 有一个开水房 现有水龙头数量为45个 由于每天傍晚打开水的人较多 经常出现同学排长队的现象 已知每个学生在傍晚一般有1 的时间要占用一个水龙头 请问 1 未新装水龙头前 拥挤的概率是多少 2 需至少要装多少个水龙头 才能以95 以上的概率保证不拥挤 38 解 1 设占用水龙头学生人数为X 它服从二项分布B 5000 0 01 已知n 5000 p 0 01 q 0 99 np 50 P