矩形波导中传播模式的研究

矩形波导中传播模式的研究矩形介质光波导作为波导光学系统最基本的单元之一，是研究光电器件以及波导传播技术等课题的核心内容。为研究矩形介质波导中的传播模式，本文将从平板介质波导入手，运用电磁场基本理论，结合边界条件求解麦克斯韦方程组，得到光场传播模式的表达式，模的传播常数以及截止条件等相关参数。再以此为基础，分别以马卡蒂里理论、库玛尔理论以及有效折射率法在不同电磁波模式下分析比较矩形介质波导，并结合MMI耦合器分析单模和多模中的模场分布。最后使用Matlab绘制传播曲线并且基于BPM算法对不同条件的矩形波导进行模拟，分析并比较其传播模式。1.1 引言随着为微纳加工工艺技术的不断提高，晶体管的特征尺寸越来越小，单片集成的晶体管数目越来越多，由此带来的金属互联问题、漏电流问题以及散热问题难以解决。紧靠减小晶体管尺寸、提高工作频率的手段提高处理器性能的方式已遇到瓶颈1。光具有高传播速度、高宽带、并行性等本征的特质，使得光非常适用于海量数据传输处理等领域，研究并开发以此为核心的新型信息处理技术已成为普遍共识。而随着光通讯正在朝着高速率大容量的方向发展，在SOI材料上制备光波导是技术发展的必然趋势。在此背景下，研究矩形光波导中的传播模式是尤为重要的2。本课题中的矩形波导是指由半导体材料制成的，具有矩形的波导芯层以及包围着芯层但折射率更低的包层结构，可以使光限制在芯层内传播的器件。本课题主要分析矩形光波导中存在的传播模式以及各种模式的传播特性。在第二章中，首先对平板波导理论进行推导，分析了平板波导中单模和多模条件。第三章中运用第二章中的关于平板波导的相关知识，分别在马卡蒂里理论、库玛尔理论以及有效折射率法下对矩形波导进行计算。前两者给出了不同区域内的两种光场分布重点讨论在有效折射率法矩形波导中可以存在的模式同波导横向长度和材料的折射率之间的关系以及不同模式下的场分布，并结合MMI（多模干涉）耦合器对单模和多模的模场分布进行具体分析。为了验证理论的正确性，我们拟基于BPM算法对上述各种情况进行模拟绘图。第二章 平板波导2.1平板波导介绍2.1.1平板波导的结构平面光波导是制作集成光学器件和半导体激光器的关键器件。一般来说，矩形光波导是由矩形芯层和包围着芯层且折射率更低的包层组成的，因此三维分析对于考察矩形波导的传输特性是十分必要的。然而严格的三维分析通常需要大量数值计算而且不能直观的解决问题。因此本文首先对二维平板波导进行分析，在得到对光波导的基本理解后，以此为基础对三维矩形波导进行近似分析。平板波导是许多半导体光电子器件与集成光学的工作基础，异质结半导体激光器和发光二极管的工作原理即是利用异质结形成的光波导效应将光场限制在有源区并延输出方向传播。如图（2.1）所示为Ga1-xAlxAS/GaAs双异质结激光器作为对称平板波导示意图3。图2.1 Ga1-xAlxAS/GaAs双异质结激光器示意图2.1.2电磁场理论光波在介质中的传播可以用麦克斯韦方程组的微分形式表示E=-Bt (2.1a)H=J+Dt (2.1b)B=0 (2.1c)D= (2.1d)其中E、D、B、H、J、分别代表电场强度、电位移矢量、磁感应强度、磁场强度、电流密度和电荷密度。由于E和D、H和B、J和E之间存在以下关系Dr=orrE(r) (2.2a) Br=0r(r)H(r) (2.2b)J=E (2.2c)其中o、0分别为真空中的介电常数和导磁率。rr、r(r)分别是介质的相对张量介电常数和相对张量导磁率，为介质电导率。对麦克斯韦方程组进行简化:假设介质均匀且各向同性；不考虑色散效应；近似相对导磁率r=1,突变电磁场下电阻率为无穷大；忽略传导电流密度Jf。由此可得：E=-Bt=-0Ht (2.3a) H=Dt=r0Et (2.3b)H=0 (2.3c)E=0 (2.3d)求（2.3.b）的旋度并利用（2.3.a）有2E=0r02Et2 (2.4)同理可得2H=0r02Ht2 (2.5)上式称为波动方程，其中2称为拉普拉斯算符，表示为：2=2x2+2y2+2z2 (2.6)对于E，波动方程（2.6）可分解为三个独立的标量波动方程：2Ex=0r02Ext2 (2.7a)2Ey=0r02Eyt2 (2.7b)2Ey=0r02Eyt2 (2.7c)对H也有类似的结果，这里只讨论电场波动方程的解。假设光波的电矢量是沿y方向偏振沿z方向传播的平面电磁波。则E=Ey，Ex=Ez=0。Ey以角频率=2在z方向做周期性变化。由于只存在z方向的空间变化，/x=/y=0。由式（2.7）可得到Eyz,t=Eyzexp(jt) (2.8)将式（2.8）带入（2.4）可得2Exx2=-2Ey (2.9)其中2=20r0则波动方程解为：Eyz,t=Acos(t-z) (2.10)与之垂直的磁场分量Hx可由式（1.2.b）带入（2.5）得到： Hxz,t=(r0A)cos(t-z) (2.11)2.2平板介质波导的射线分析法2.2.1平板波导的相关参数光波导由芯层和包层（或衬底）组成，其中芯层是光被限制住的区域，而包层包围着芯层。芯层的折射率n1比包层的折射率n0高，因此光波被全内反射限制在芯层。如图（2.2）所示：图2.2 平面波导的结构示意图如图（2.3），异质结面的全内反射条件由公式n1sin(2-)n0给出，又由于角与入射角有如下关系sin=n1sin2-n12-n02,我们得到了全内反射的精确条件(2.12)sin-1n12-n02max. (2.12)由于芯层和包层的折射率差一般为n1-n2=0.01，因此max可以近似表示为maxn12-n02.max表示波导可以接受的最大入射角并被称作数值孔径（NA）。图2.3 光波导的基本结构和折射率分布n0和n1的相对折射率差定义为=n12-n022n12n1-n0n1. (2.13)通常表示为百分比的形式。数值孔径NA与相对折射率差的关系可以表示成NA=maxn12. (2.13)2.2.2 波导模式的形成我们计算出了模式限制的方式并且推算出角不能超过临界角。但即使角比临界值小，也并不是任意角度的光线都可以在波导中传播。通过电磁波分析可知每一个模式都和一个分立的传播角度相关。下面我们假设以倾斜角沿着z方向传播的一平面波，如图（2.4）所示4，平面波的相位波前与光束方向垂直。芯层中光的波长以及波数分别为/n1 和kn1(k=2/)，其中是真空中的光波长。Z方向和x方向（横向）的传播常数表示为=kn1cos. (2.14)=kn1sin. (2.15)图2.4 波导中的光线和等相面折射率为r=ArAI=n1sin+jn12cos2-n02n1sin-jn12cos2-n02 (2.16)图2.5 平板波导异质界面的全反射若我们将复折射率r表示成r=exp(-j)，相移的大小为 =-2tan-1n12cos2-n02n1sin=-2tan-12sin2-1 (2.17)其中用到了（2.13）的结论，上面提到的全反射中的相移被称作古斯-亨森相移5。下面考虑图（2.5）中同属一个平面波的两束光的情况6。PQ段光线从P点传播到Q点过程中没有发生反射，而RS段光线在从R传播到Q的过程中经过了两次反射(分别在顶部和底部的异质结界面)。考虑到P点、R点处于同一波前，Q点、S点处于同一波前，PQ和RS的光程差（包括两次全反射引起的古斯-亨森相移）应该相等或者相差2的整数倍。由于QR两点的距离为2a/tan-2atan,PQ两点的距离应表示为 l1=2asin-2atancos=2a1sin-2sin. (2.18)同样的，RS两点的距离可表示为l2=2asin. (2.19)由PQ和RS的光程匹配条件可得kn1l2+2-kn1l1=2m (2.20) 其中m为常数。将（2.17）至（2.19）带入（2.20）可得传播角的条件为 tankn1asin-m2=2sin2-1. (2.21)由上式可以看到，光的传播角是分立的且由波导的结构(包层半径a，折射率n1，折射率差)以及光源的波长（波数为k=2/）决定。满足式（2.21）中的光场称为模式，当m=0时传播角度最小，该模式称为基模。另一方面，角度越大，存在的模式越多（m1）。图2.6 （a）基模的模式形式 （b）高阶模的模式形式图(2.6)表示的是基模以及高阶模的形式，其中实线代表正波阵面，虚线代表负波阵面。当两个极性相同的波阵面相遇时，该点的电场振幅最大。相反的，当正负波阵面相遇在异质结面时，该点的振幅由于互相抵消而接近于零。因此在x方向场的贡献是一个驻波而在z方向波长为p=(/n1)/cos=2/周期性变化的波。由于n1sin=sinn12-n02（2.12）给出的sin2。我们给出参数 =sin2 (2.22)归一化为1，则（2.21）中的相位匹配条件可重写为 kn1a2=cos-1+m/2 (2.23)方程的左边被称作归一化频率，其表达式为 =kn1a2 (2.24)方程（2.23）描述了和的关系，被称作传播方程。如图（2.7）所示，对于每一个模式数m，曲线=cos-1+m2与直线=的交点给出了其参数m，其传播系数m可由公式（2.14）（2.22）得到。由图（2.7）可看出只有当a)Acosa- (-axa)Acosa-ex+a (xa)-Asinx- (-axa)Acosa+ex+a (xn0）中，在归一化频率v的定义中出现的ns被用作包层反射系数。当归一化传播系数/k与ns一致时，截止频率v即可确定。方程（2.41）（2.42）（2.43）是TEm的特征传播方程或特征值方程，当光源或光波导的几何参数确定了，换句话说即归一化频率v与不对称参数确定了，那么传播常数即可由上面的方程确定。由方程（2.32）（2.33）可知，被限制在芯层光场的主要部分的波数是一个实数。那么应该满足下面的条件： nskn1 (2.44)/k是一个与尺寸无关的量且是平面波本身的折射率，通常表示为： ne=k (2.45)当nens时，包层中的电磁场在做横向振动，因此场在放射模式下衰减。当=kns代表场截止并变成无波导模式（放射模式），该条件称为截止条件。在这里我们定义一个新参数，定义为： b=ne2-ns2n12-ns2 (2.46)由方程（2.44）波导模式的条件为 0b1 (2.47)截止条件为（2.44） b=0 (2.48)b称为归一化传播常数，我们将方程（2.39）用归一化传播频率v和归一化传播系数b进行改写，得到： 2v1-b=m+tan-1b1-b+tan-1b+1-b (2.49)同时方程（2.35）改写为 u=v1-bw=vbw=vb+ (2.50)当n0=ns时为对称波导，我们得到=0，方程（2.39）(2.40)化简为 u=m2+tan-1wu (2.51) =m2 (2.52)方程（2.51）也可以表示为 w=utanu-m2 (2.53)或 v1-b=m2+tan-1b1-b (2.54)对称波导中u和w的关系已经给定，且对于一个给定的归一化频率v，波数u和w也满足相应的条件。我们将其绘制在图（2.8）中。图2.8 平板波导中的u-w关系如图所示，当v=4时，传播方程的解即可视作一个半径为4的半圆同u-w关系图像的交点。比如说基模的波数u，w可以通过求半圆和m=0图像的交点得到。使用方程（2.33）和（2.38）可以得到传播常数或者特征值。由图像可得，当v/2时，只存在一个交点，这表示当波导结构与光波长满足不等式v/2时只存在一种传播模式。由于当vc=/2时，对称平板波导中高阶模正好都被截止。vc称为截止频率。可以从m=1的截止条件中得到 b=w=0u=v=/2 (2.55)由式（2.49），TE模截止频率的一般表达式为： vc,TE=m2+12tan-1 (2.56)对称波导中不同模式对应截止条件即为 v=m2 (2.57)TM模截止频率一般表达式可写成： vc,TM=m2+12tan-1(n12n02) (2.58)由色散方程的图示解可以获得一个定性值。然而为了获得色散方程的准确解，我们应当使用数值计算法。我们对色散方程进行数值处理以便对图解法进行比较。将色散方程（2.54）该写成下面的形式：fv,m,b=v1-b-m2-tan-1b1-b=0图（2.9）表示当v=4时fv,m,b的图，f=0时的b值即为给定的v值时的归一化传播常数b。图2.9 特征值方程f（v，m，b）的计算对于每一个归一化频率v，归一化传播常数b都可以计算出来。图（2.10）表示TE模的v-b关系，称作TE模的色散曲线。模式数通过脚标表示，如TEm和TMm模。图（2.10）对不对称度的影响进行测量。在对称波导（=0）中，对于最小的TE0模式不存在截止频率，但不对称波导（0）中，TE0模存在截止频率。图2.10 平板波导中的TE模色散曲线由于基模不会被截止，故在0va (2.61c)总能量P表示为： P=Pcore+Psub+Pclad=aA2201+12w+12w (2.62)常数A可以由下式决定 A=20Pa1+1/2w+1/2w (2.63)第三章 矩形介质波导3.1 marcatilis method10113.1.1 电磁场分布矩形波导在x和y方向都对光进行限制，如图（3.1）所示，它是由芯层和折射率较低的包层组成。如果进行严格求解，则需要对九个区域的场函数进行罗列，并利用十二个截面上的电磁场边界条件，求出导模的传播常数和对应的场分布函数。但该方法在数学处理上十分困难，一般只能求出近似解。本节主要讲述由马卡蒂里为解决三维光波导提出的分析理论。马卡蒂里认为如果模场远离截止频率，光能量将高度集中在芯层，该理论的一个重要假设就是图（3.1）中的阴影部分可以忽略而电磁场可以传播的模式在包层中迅速衰减。因此我们不对阴影部分使用边界条件，使得求解问题大为简化。图3.1 三维矩形波导首先考虑主要包含Ex和Hy的电磁波。根据马卡蒂里的理论，我们令（2.28）和（2.29）中Hx=0。则波动方程和电磁场分布方程可以写成： 2Hyx2+2Hyy2+k2n2-2Hy=0 (3.1) Hx=0Ex=0Hy+10n22Hyx2Ey=10n22HyxyEz=-j0n2HyxHz=-jHyy (3.2)另一方面，我们令Hy=0，带入方程（2.28）和(2.29)中考虑当Ey和Hx是电磁波的主要部分的情况。波动方程和电磁场分布写作下面的形式。 2Hxx2+2Hxy2+k2n2-2Hx=0 (3.3) Hy=0Ex=-10n22HxxyEy=-0Hx-10n22Hxy2Ez=j0n2HxyHz=-jHxx (3.4)满足式（3.1）和（3.2）中的模式称为Epqx模（p和q是整数），Ex和Hy为电磁波主要分量。而满足式（3.3）和（3.4）中的模式称为Epqy模。Ey和Hx是电磁波的主要分量。下面我们将详细讨论Epqx模。3.1.2 Epqx模和Epqy模的传播方程由于图（3.1）中的矩形波导是关于x轴和y轴对称的，我们只需讨论区域-。我们首先将所求区域满足的波动方程表示为：Hy=Acoskxx-coskyy- 区域1Acoskxx-e-x(x-a)coskyy- 区域2Acoskxx-e-y(y-d)coskyy- 区域3 (3.5)其中波数kx，ky，x，y和光相位，满足：-kx2-ky2+k2n12-2=0 区域1x2-ky2+k2n02-2=0 区域2-kx2+y2+k2n02-2=0 区域3 (3.6)和 =(p-1)2=(q-1)2 (3.7)在这里由于我们采用马卡蒂里的模式定义，整数p和q是从1开始计数的。而平板波导的波数是从0开始计数的。由于定义不同，平板波导中允许的最小模式是TEm=0模，它只有一个电场峰值。另一方面，矩形波导中允许的最小模式是Ep=1,q=1x或Ep=1,q=1y，它们在x方向和y方向都只有一个峰值。因此在马卡蒂里的模式定义中，整数p和q分别代表在x方向和y方存在的电场峰值数目。运用边界条件，即电场Ez(1/n2)Hy/x应当在x=a处连续，磁场HzHy/y应当在y=d处连续。我们即可得到下面的方程： kxa=p-12+tan-1n12xn02kx (3.8) kya=q-12+tan-1yky (3.9)横向的波数kx，ky，x，y之间的关系由式（3.6）可得： x2=k2n12-n02-kx2 (3.10) y2=k2n12-n02-ky2 (3.11)kx可由（3.8）和（3.10）得到，ky可由式（3.9）和（3.11）确定。传播常数可由下式确定： 2=k2n12-kx2+ky2 (3.12)为了计算Epqy的传播方程，我们将磁场Hx表示为：Hx=Acoskxx-coskyy- 区域1Acoskxa-e-xx-acoskyy- 区域2Acoskxx-e-yy-dcoskyd- 区域3 (3.13)运用边界条件，磁场HzHx/x应当在x=q处连续，电场Ez1/n2Hx/y应当在y=d处连续。我们可以得到下式： kxa=p-12+tan-1xkx (3.14) kya=q-12+tan-1n12yn02ky (3.15)3.2 kumars method12在马卡蒂里的理论中，图（3.1）中阴影部分没有严格得满足电磁场和边界条件。换句话说，矩形波导中的混合模式被分成如式（3.8）所示的两个独立的平板波导进行近似分析。当我们将式（3.8）和（3.9）中的Epqx模式同（2.39）和（2.40）的平板波导进行比较可以发现，式（3.8）相当于平板波导中的TM模传播方程（2.39），而（3.9）相当于平板波导中的TE模传播方程（2.40）。图3.2 马卡蒂里理论中的矩形波导及其等效的平板波导库玛尔提出了通过计入图（3.3）阴影部分区域，从而对马卡蒂里理论的精度进行改进的方法。我们将此理论称为库玛尔理论并通过分析矩形波导中的Epqx模式描述该理论在库马尔的理论中，矩形波导中的折射率分布表示为： n2x,y=Nx2x+Ny2y+On12-n02 (3.16)其中 Nx2x=n12/2 xan02-n12/2x a (3.17) Ny2y=n12/2 ydn02-n12/2y d (3.18)如图（3.3）所示为式（3.17）和（3.18）的折射率分布图。一般来说，芯层和包层的折射率差很小n1n0，则我们可以得到On12-n020.阴影部分的折射率近似为： 2n12-n02n0 (3.19)图3.3 库马尔理论中矩形波导折射率分布因此由式（3.17）和（3.18）得出的折射率和真实的矩形波导折射率分布很接近。但式（3.19）得出的阴影部分的折射率表达式同真实的值仍有一些差异。在该理论中，通过使用微扰理论对其进行修正。首先我们通过分离变量表示出方程（3.1）Epqx模的解， Hyx,y=XxYy (3.20)将方程（3.16）和（3.20）带入（3.1），波动方程变成： d2Xdx2Y+Xd2Ydy2+k2Nx2+Ny2-2XY=0 (3.21)其中无穷小量On12-n02可以忽略。将式（3.20）通过XY分成两部分：一个是与变量x有关的量，一个是与变量y有关的量。结果如下式： 1Xd2Xdx2+k2Nx2x+1Yd2Ydy2+k2Ny2y=2 (3.22)方程（3.22）的必要条件是对于任意变量x，y有： 1Xd2Xdx2+k2Nx2x=x2 (3.23) 1 Yd2Ydy2+k2Ny2y=y2 (3.24)其中x和y是与x和y无关的常数，我们可以得到两个独立的波动方程： d2Xdx2+k2Nx2x-x2Xx=0 (3.25) d2Ydy2+k2Ny2y-y2Yy=0 (3.26)从式（3.22）到（3.24）我们可以推导出传播常数表达式： 2=x2+y2 (3.27)（3.25）和（3.26）的求解区域使用之前提出的近似方法表示为： Xx=Acoskxx-0xaAcoskxa-e-x(x-a) (xa) (3.28) Yy=Acosky-0ydAcoskyd-e-y(y-d) (xd) (3.29)由于矩形波导的对称性，这里只考虑第一象限，横向的波数kx，x，ky，y以及x，y的关系如下： x2=k2n12-n02-kx2 (3.30) y2=k2n12-n02-ky2 (3.31) x2=k2n122-kx2 (3.32) y2=k2n122-ky2 (3.33)光相位表示为： =p-12p=1,2,3=q-12 (q=1,2,3) (3.34)运用电场边界条件 Ez1n2Hyx=Yn2dXdx (3.35)应当在x=a处连续，磁场 HzHy/y=XdY/dy (3.36)应当在y=d处连续。我们可以得到下面的传播方程： kxa=p-12+tan-1n12xn02kx (3.37) kyd=q-12+tan-1yky (3.38)传播常数由方程（3.27）和（3.32）可得： 2=k2n12-kx2+ky2 (3.39)式（3.37）到（3.39）中传播常数与马卡蒂里理论提出的式（3.8），（3.9）和（3.12）中的传播常数相同。但在库玛尔理论中，通过对阴影部分使用微扰理论可以改进传播常数的精度。我们将矩形波导中的折射率改写为： n2x,y=Nx2x+Ny2y+x,y (3.40)其中是个小量，微扰项x,y可表达为： x,y=n12-n02xa , yd 0 xa , yd (3.41)波动方程表示为 2f+k2n2-2f=0 (3.42)其中2=2/x2+2/y2。场f和特征值2都由一阶微扰形式表示。 f=f0+f1 (3.43) 2=02+12 (3.44)将式（3.43）和（3.44）带入（3.42），比较的每一阶的系数，可以得到下式： 2f0+k2Nx2+Ny2-02f0=0 (3.45) 2f1+k2Nx2+Ny2-02f1+k2f0-12f0=0 (3.46)现在我们考虑如下积分(3.45)*f1-3.46)f0*dxdy (3.47)在区域D中，我们可以得到： 12Df02dxdy=Df0*2f1-f12f0*dxdy+k2Df02dxdy (3.48)右边第一项由格林公式改写为： Df0*2f1-f12f0*dxdy=f0*f1n-f1f0*ndl (3.49)其中/n代表沿着区域边缘的外法向的微分，而dl代表沿着边缘的线积分。当区域D扩大到无穷大时，式（3.49）的积分变为零。因此我们有： 12=k2-x,yf02dxdy-f02dxdy (3.50)式（3.42）对应（3.1），（3.45）对应（3.21）。0为式（3.37）到（3.39）的特征值，f0x,y为式（3.20）,（3.28）（3.29）的场分布。由（3.41）（3.42）（3.50）可得特征值的一阶表达式：2=02+k2-x,yXxYy2dxdy-XxYy2dxdy (3.51) =k2n12-kx2-ky2+k2n12-n02aXx2dxdYy2dy0Xx2dx0Yy2dy =k2n12-kx2-ky2+k2n12-n02cos2kxa-cos2kyd-1+xa1+yd 在式（3.51）的第二项中，我们做近似n12n021，归一化传播常数可由式（2.45）（2.46）（3.51）得到： b=1-kx2+ky2k2n12-n02+cos2kxa-cos2kyd-1+xa1+yd (3.52)3.3 等效折射率法分析13上述两种方法虽然能够给出矩形波导符合界面的模式场分布和导模的传播常数，但求解大量偏微分方程的过程较为复杂。为了获得导模的传播常数，我们可以采用有效折射率法。有效折射率是求解三维波导的一种近似方法，通过数学变换将矩形截面某方向上折射率的变化映射到另一个方向上，从而三维问题简化为二维问题。以矩形波导为例，如图（3.4），矩形波导可视作两个平板波导的叠加，且y方向的折射率分别为n0，n1和n0，x方向的折射率分别为n0，neff和n0。其中neff为有效折射率。图3.4 有效折射率法中折射率分布以Epqx为例，式（3.1）可以改写为 2Hyx2+2Hyy2+k2n2x,y-2Hy=0 (3.53)将磁场分量分离变量为： Hyx,y=XxYy (3.54)将（3.54）带入（3.53）中可得到： 1Xd2Xdx2+1Yd2Ydy2+k02n2x,y-2=0 (3.55)上式分别加上和减去一个与y无关的变量k2neff2x便可得到两个独立的方程： d2Ydy2+k02n2x,y-k02neff2x=0 (3.56) 1Xd2Xdx2+k02neff2x-2=0 (3.57)neff2x称作等效折射率分布。对于矩形波导，通过解方程（3.55）d和(3.56)，结合连续性边界条件，得到等效折射率neff2x分布如下： ak0n12-neff2=(p+1)2-arctann12-neff2ne