高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_9圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线的综合问题课件

9 9圆锥曲线的综合问题 基础知识自主学习 课时训练 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立 消去一个变量得到关于x 或y 的一元方程 ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 1 若a 0 可考虑一元二次方程的判别式 有 0 直线与圆锥曲线 0 直线与圆锥曲线 0 直线与圆锥曲线 知识梳理 相交 相切 相离 2 若a 0 b 0 即得到一个一元一次方程 则直线l与圆锥曲线E相交 且只有一个交点 若E为双曲线 则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 若E为抛物线 则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 2 圆锥曲线的弦长设斜率为k k 0 的直线l与圆锥曲线C相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 则 AB 平行 平行或重合 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 1 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切 过椭圆内一点的直线与椭圆相交 2 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点 一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点 一条与对称轴平行或重合的直线 3 过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点 两条切线和两条与渐近线平行的直线 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点 一条切线和两条与渐近线平行的直线 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点 两条与渐近线平行的直线 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线l与抛物线y2 2px只有一个公共点 则l与抛物线相切 2 直线y kx k 0 与双曲线x2 y2 1一定相交 3 与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点 4 直线与椭圆只有一个交点 直线与椭圆相切 5 过点 2 4 的直线与椭圆 y2 1只有一条切线 6 满足 直线y ax 2与双曲线x2 y2 4只有一个公共点 的a的值有4个 考点自测 1 2017 杭州高级中学月考 在同一平面直角坐标系中 方程a2x2 b2y2 1与ax by2 0 a b 0 表示的曲线大致是 答案 解析 2 2016 青岛模拟 直线y kx k 1与椭圆 1的位置关系为A 相交B 相切C 相离D 不确定 答案 解析 答案 解析 4 教材改编 已知与向量v 1 0 平行的直线l与双曲线 y2 1相交于A B两点 则 AB 的最小值为 答案 解析 4 题型分类深度剖析 第1课时直线与圆锥曲线 题型一直线与圆锥曲线的位置关系 例1 2016 烟台模拟 已知直线l y 2x m 椭圆C 1 试问当m取何值时 直线l与椭圆C 1 有两个不重合的公共点 解答 2 有且只有一个公共点 解答 3 没有公共点 解答 1 判断直线与圆锥曲线的交点个数时 可直接求解相应方程组得到交点坐标 也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定 需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0 2 依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时 联立方程并消元 得到一元方程 此时注意观察方程的二次项系数是否为0 若为0 则方程为一次方程 若不为0 则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解 思维升华 跟踪训练1 2016 全国乙卷 在直角坐标系xOy中 直线l y t t 0 交y轴于点M 交抛物线C y2 2px p 0 于点P M关于点P的对称点为N 连接ON并延长交C于点H 解答 2 除H以外 直线MH与C是否有其他公共点 说明理由 解答 题型二弦长问题 例2 2016 全国甲卷 已知A是椭圆E 的左顶点 斜率为k k 0 的直线交E于A M两点 点N在E上 MA NA 1 当 AM AN 时 求 AMN的面积 解答 证明 将直线AM的方程y k x 2 k 0 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中 应熟练的利用根与系数的关系 设而不求法计算弦长 涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系 设而不求法简化运算 涉及过焦点的弦的问题 可考虑用圆锥曲线的定义求解 思维升华 1 求E的离心率 解答 解析 2 设点P 0 1 满足 PA PB 求E的方程 题型三中点弦问题 例3 1 已知椭圆E 1 a b 0 的右焦点为F 3 0 过点F的直线交E于A B两点 若AB的中点坐标为 1 1 则E的方程为 答案 解析 命题点1利用中点弦确定直线或曲线方程 2 已知 4 2 是直线l被椭圆 1所截得的线段的中点 则l的方程是 答案 解析 x 2y 8 0 命题点2由中点弦解决对称问题例4 2015 浙江 已知椭圆 y2 1上两个不同的点A B关于直线y mx 对称 1 求实数m的取值范围 解答 2 求 AOB面积的最大值 O为坐标原点 解答 处理中点弦问题常用的求解方法 1 点差法 即设出弦的两端点坐标后 代入圆锥曲线方程 并将两式相减 式中含有x1 x2 y1 y2 三个未知量 这样就直接联系了中点和直线的斜率 借用中点公式即可求得斜率 2 根与系数的关系 即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组 化为一元二次方程后 由根与系数的关系求解 3 解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外 还要注意 如果点A B关于直线l对称 则l垂直直线AB且A B的中点在直线l上的应用 思维升华 跟踪训练3已知双曲线x2 1上存在两点M N关于直线y x m对称 且MN的中点在抛物线y2 18x上 则实数m的值为 0或 8 答案 解析 课时训练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 2 2016 青岛模拟 已知抛物线y2 2px p 0 与直线ax y 4 0相交于A B两点 其中A点的坐标是 1 2 如果抛物线的焦点为F 那么 FA FB 等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 丽水一模 斜率为1的直线l与椭圆 y2 1相交于A B两点 则 AB 的最大值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 A 1B 2C 1或2D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 设双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线与抛物线y x2 1只有一个公共点 则双曲线的离心率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 过抛物线y2 4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A B两点 它们到直线x 2的距离之和等于5 则这样的直线A 有且仅有一条B 有且仅有两条C 有无穷多条D 不存在 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 抛物线y2 4x的焦点坐标为 1 0 准线方程为x 1 设A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则A B到直线x 1的距离之和为x1 x2 2 设直线方程为x my 1 代入抛物线y2 4x 则y2 4 my 1 即y2 4my 4 0 x1 x2 m y1 y2 2 4m2 2 x1 x2 2 4m2 4 4 A B到直线x 2的距离之和为x1 x2 2 2 6 5 满足题意的直线不存在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 已知抛物线y2 4x的弦AB的中点的横坐标为2 则 AB 的最大值为 答案 解析 6 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 4 那么 AF BF x1 x2 2 又 AF BF AB AB 6 当AB过焦点F时取得最大值6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 过椭圆 1内一点P 3 1 且被这点平分的弦所在直线的方程是 答案 解析 3x 4y 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 已知F1 F2分别是椭圆C 1 a b 0 的左 右焦点 A是其上顶点 且 AF1F2是等腰直角三角形 延长AF2与椭圆C交于另一点B 若 AF1B的面积为6 则椭圆C的方程为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 2 设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切 求直线l的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由 1 得到椭圆的左 右焦点分别是F1 2 0 F2 2 0 F2在C内 故过F2没有圆C的切线 设l的方程为y k x 2 即kx y 2k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 直线l不过原点O且不平行于坐标轴 l与C有两个交点A B 线段AB的中点为M 证明 直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 求点M的轨迹E的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7