高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9_5 椭圆课件 理 新人教版

9 5椭圆 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 椭圆的概念平面内与两个定点F1 F2的距离之和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做 这两个定点叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做椭圆的 集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a 0 c 0 且a c为常数 1 若 则集合P为椭圆 2 若 则集合P为线段 3 若 则集合P为空集 知识梳理 椭圆 焦点 焦距 a c a c a c 2 椭圆的标准方程和几何性质 2a 2b 2c a2 b2 c2 点P x0 y0 和椭圆的关系 1 点P x0 y0 在椭圆内 2 点P x0 y0 在椭圆上 3 点P x0 y0 在椭圆外 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与两个定点F1 F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 2 椭圆上一点P与两焦点F1 F2构成 PF1F2的周长为2a 2c 其中a为椭圆的长半轴长 c为椭圆的半焦距 3 椭圆的离心率e越大 椭圆就越圆 4 方程mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 表示的曲线是椭圆 1 教材改编 椭圆的焦距为4 则m等于A 4B 8C 4或8D 12 考点自测 答案 解析 解得m 4或m 8 2 2015 广东 已知椭圆的左焦点为F1 4 0 则m等于A 2B 3C 4D 9 答案 解析 由题意知25 m2 16 解得m2 9 又m 0 所以m 3 3 2016 全国乙卷 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点 若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 则该椭圆的离心率为 答案 解析 4 如果方程x2 ky2 2表示焦点在y轴上的椭圆 那么实数k的取值范围是 答案 解析 0 1 即k0 所以0 k 1 5 教材改编 已知点P是椭圆 1上y轴右侧的一点 且以点P及焦点F1 F2为顶点的三角形的面积等于1 则点P的坐标为 答案 解析 设P x y 由题意知c2 a2 b2 5 4 1 所以c 1 则F1 1 0 F2 1 0 由题意可得点P到x轴的距离为1 题型分类深度剖析 例1 2016 济南模拟 如图所示 一圆形纸片的圆心为O F是圆内一定点 M是圆周上一动点 把纸片折叠使M与F重合 然后抹平纸片 折痕为CD 设CD与OM交于点P 则点P的轨迹是A 椭圆B 双曲线C 抛物线D 圆 题型一椭圆的定义及标准方程 命题点1利用定义求轨迹 答案 解析 几何画板展示 由条件知 PM PF PO PF PO PM OM R OF P点的轨迹是以O F为焦点的椭圆 命题点2利用待定系数法求椭圆方程 例2 1 已知椭圆以坐标轴为对称轴 且长轴长是短轴长的3倍 并且过点P 3 0 则椭圆的方程为 答案 解析 答案 解析 设椭圆方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0且m n 椭圆经过点P1 P2 点P1 P2的坐标适合椭圆方程 命题点3利用定义解决 焦点三角形 问题 答案 解析 3 设 PF1 r1 PF2 r2 4a2 4c2 4b2 又 r1r2 b2 9 b 3 引申探究 1 在例3中增加条件 PF1F2的周长为18 其他条件不变 求该椭圆的方程 由原题得b2 a2 c2 9 又2a 2c 18 所以a c 1 解得a 5 解答 解答 PF1 PF2 2a 又 F1PF2 60 所以 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos60 F1F2 2 即 PF1 PF2 2 3 PF1 PF2 4c2 所以3 PF1 PF2 4a2 4c2 4b2 所以b 3 思维升华 1 求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法 利用椭圆的定义定形状时 一定要注意常数2a F1F2 这一条件 2 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法 具体过程是先定形 再定量 即首先确定焦点所在位置 然后再根据条件建立关于a b的方程组 如果焦点位置不确定 要考虑是否有两解 有时为了解题方便 也可把椭圆方程设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式 3 当P在椭圆上时 与椭圆的两焦点F1 F2组成的三角形通常称为 焦点三角形 利用定义可求其周长 利用定义和余弦定理可求 PF1 PF2 通过整体代入可求其面积等 跟踪训练1 1 已知两圆C1 x 4 2 y2 169 C2 x 4 2 y2 9 动圆在圆C1内部且和圆C1相内切 和圆C2相外切 则动圆圆心M的轨迹方程为 答案 解析 几何画板展示 设圆M的半径为r 则 MC1 MC2 13 r 3 r 16 8 C1C2 所以M的轨迹是以C1 C2为焦点的椭圆 且2a 16 2c 8 答案 解析 PF1 PF2 F1PF2 90 设 PF1 m PF2 n 则m n 4 m2 n2 12 2mn 4 例4 1 已知点F1 F2是椭圆x2 2y2 2的左 右焦点 点P是该椭圆上的一个动点 那么的最小值是 题型二椭圆的几何性质 A 0B 1C 2D 2 答案 解析 2 2016 全国丙卷 已知O为坐标原点 F是椭圆C a b 0 的左焦点 A B分别为椭圆C的左 右顶点 P为C上一点 且PF x轴 过点A的直线l与线段PF交于点M 与y轴交于点E 若直线BM经过OE的中点 则C的离心率为 答案 解析 1 利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围 或者最大值 最小值时 经常用到椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等不等关系 利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 2 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 思维升华 答案 解析 解得B C两点坐标为 又因为b2 a2 c2 题型三直线与椭圆 解答 又a2 c2 b2 3 所以c2 1 因此a2 4 2 设过点A的直线l与椭圆交于点B B不在x轴上 垂直于l的直线与l交于点M 与y轴交于点H 若BF HF 且 MOA MAO 求直线l的斜率的取值范围 解答 设直线l的斜率为k k 0 则直线l的方程为y k x 2 整理得 4k2 3 x2 16k2x 16k2 12 0 由 1 知 F 1 0 设H 0 yH 在 MAO中 MOA MAO MA MO 思维升华 1 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题 其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立 消元 化简 然后应用根与系数的关系建立方程 解决相关问题 涉及弦中点的问题时用 点差法 解决 往往会更简单 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 解答 则4x2 5y2 80与y x 4联立 解答 2 如果 BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F 求直线l方程的一般式 椭圆右焦点F的坐标为 2 0 设线段MN的中点为Q x0 y0 由三角形重心的性质知 又B 0 4 2 4 2 x0 2 y0 故得x0 3 y0 2 即Q的坐标为 3 2 设M x1 y1 N x2 y2 则x1 x2 6 y1 y2 4 即6x 5y 28 0 高考中求椭圆的离心率问题 高频小考点8 离心率是椭圆的重要几何性质 是高考重点考查的一个知识点 这类问题一般有两类 一类是根据一定的条件求椭圆的离心率 另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围 无论是哪类问题 其难点都是建立关于a b c的关系式 等式或不等式 并且最后要把其中的b用a c表示 转化为关于离心率e的关系式 这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法 考点分析 典例1 2015 福建 已知椭圆E a b 0 的右焦点为F 短轴的一个端点为M 直线l 3x 4y 0交椭圆E于A B两点 若 AF BF 4 点M到直线l的距离不小于 则椭圆E的离心率的取值范围是 答案 解析 左焦点F0 连接F0A F0B 则四边形AFBF0为平行四边形 AF BF 4 AF AF0 4 a 2 典例2 12分 2016 浙江 如图 设椭圆 y2 1 a 1 1 求直线y kx 1被椭圆截得的线段长 用a k表示 解答 设直线y kx 1被椭圆截得的线段为AM 2 若任意以点A 0 1 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点 求椭圆离心率的取值范围 解答 假设圆与椭圆的公共点有4个 由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P Q 满足 AP AQ 记直线AP AQ的斜率分别为k1 k2 且k1 0 k2 0 k1 k2 5分 因为 式关于k1 k2的方程有解的充要条件是1 a2 a2 2 1 所以a 因此 任意以点A 0 1 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1 a 10分 课时作业 1 2016 湖南六校联考 已知椭圆的中心在原点 离心率e 且它的一个焦点与抛物线y2 4x的焦点重合 则此椭圆方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由已知可得抛物线的焦点为 1 0 所以c 1 解得a 2 b2 a2 c2 3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当9 4 k 0 即4 k 5时 a 3 c2 9 4 k 5 k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 c2 k 5 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016年1月14日 国防科工局宣布 嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过 正式开始实施 如图所示 假设 嫦娥四号 卫星将沿地月转移轨道飞向月球后 在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行 之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行 若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道 和 的焦距 用2a1和2a2分别表示椭圆轨道 和 的长轴长 给出下列式子 a1 c1 a2 c2 a1 c1 a2 c2 c1a2 a1c2 其中正确式子的序号是A B C D 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 观察图形可知a1 c1 a2 c2 即 式不正确 a1 c1 a2 c2 PF 即 式正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2016 贵州七校联考 以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1 则椭圆长轴长的最小值为 答案 解析 设a b c分别为椭圆的长半轴长 短半轴长 半焦距 依题意知 当三角形的高为b时面积最大 当且仅当b c 1时取等号 故选D 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A1 a 0 A2 a 0 y2 ax x2 0 0 x a 整理得 b2 a2 x2 a3x a2b2 0 其在 0 a 上有解 令f x b2 a2 x2 a3x a2b2 f 0 a2b2 0 f a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图 a3 2 4 b2 a2 a2b2 a2 a4 4a2b2 4b4 a2 a2 2b2 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 若椭圆 a 0 b 0 的焦点在x轴上 过点 2 1 作圆x2 y2 4的切线 切点分别为A B 直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方程为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设切点坐标为 m n 即m2 n2 n 2m 0 m2 n2 4 2m n 4 0 即直线AB的方程为2x y 4 0 直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 2c 4 0 b 4 0 解得c 2 b 4 a2 b2 c2 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知P为椭圆上的一点 M N分别为圆 x 3 2 y2 1和圆 x 3 2 y2 4上的点 则 PM PN 的最小值为 答案 解析 7 由题意知椭圆的两个焦点F1 F2分别是两圆的圆心 且 PF1 PF2 10 从而 PM PN 的最小值为 PF1 PF2 1 2 7 9 2017 石家庄质检 椭圆 y2 1的左 右焦点分别为F1 F2 点P为椭圆上一动点 若 F1PF2为钝角 则点P的横坐标的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设椭圆上一点P的坐标为 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AOP是等腰三角形 A a 0 P 0 a x0 y0 a 2 a x0 y0 解答 4a2 4b2 5a2 4a2 4 a2 c2 5a2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若斜率为2的直线l过点 0 2 且l交椭圆C于P Q两点 OP OQ 求直线l的方程及椭圆C的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设P x1 y1 Q x2 y2 直线l的方程为y 2 2 x 0 即2x y 2 0 得x2 4 2x 2 2 4b2 0 即17x2 32x 16 4b2 0 322 16 17 b2 4 0 解得b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 即x1x2 y1y2 0 x1x2 2x1 2 2x2 2 0 5x1x2 4 x1 x2 4 0 解答 又因为B 0 b F c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8