高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13_3数学归纳法课件理苏教版

13 3数学归纳法 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 数学归纳法一般地 对于某些与正整数有关的数学命题 我们有数学归纳法公理 如果 1 当n取第一个值n0 例如n0 1 2等 时结论正确 2 假设当n k k N 且k n0 时结论正确 证明当n k 1时结论也正确 那么 命题对于从n0开始的所有正整数n都成立 知识梳理 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 用数学归纳法证明问题时 归纳假设可以不用 4 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 5 用数学归纳法证明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23 6 用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时 n0 3 考点自测 1 用数学归纳法证明1 a a2 an 1 a 1 n N 在验证n 1时 等式左边的项是 答案 解析 1 a a2 当n 1时 n 1 2 左边 1 a1 a2 1 a a2 n k 1时等式成立 n k 2时等式成立 n 2k 2时等式成立 n 2 k 2 时等式成立 答案 解析 因为n为正偶数 n k时等式成立 即n为第k个偶数时命题成立 所以需假设n为下一个偶数 即n k 2时等式成立 3 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n n 3 条时 第一步检验n 答案 解析 凸n边形边数最小时是三角形 故第一步检验n 3 3 答案 解析 4 用数学归纳法证明1 2 3 n2 则当n k 1时左端应在n k的基础上加上 等式左边是从1开始的连续自然数的和 直到n2 故n k 1时 最后一项是 k 1 2 而n k时 最后一项是k2 应加上 k2 1 k2 2 k2 3 k 1 2 k2 1 k2 2 k2 3 k 1 2 5 教材改编 已知 an 满足an 1 nan 1 n N 且a1 2 则a2 a3 a4 猜想an 答案 3 4 5 n 1 题型分类深度剖析 题型一用数学归纳法证明等式 例1设f n 求证 f 1 f 2 f n 1 n f n 1 n 2 n N 证明 当n 2时 左边 f 1 1 左边 右边 等式成立 假设n k k 2 k N 时 结论成立 即f 1 f 2 f k 1 k f k 1 那么 当n k 1时 f 1 f 2 f k 1 f k k f k 1 f k k 1 f k k k 1 f k 1 k 1 k 1 f k 1 1 当n k 1时结论成立 由 可知 f 1 f 2 f n 1 n f n 1 n 2 n N 用数学归纳法证明恒等式应注意 1 明确初始值n0的取值并验证n n0时等式成立 2 由n k证明n k 1时 弄清左边增加的项 且明确变形目标 3 掌握恒等变形常用的方法 因式分解 添拆项 配方法 思维升华 跟踪训练1 2017 南京质检 用数学归纳法证明 证明 左边 右边 等式成立 假设n k k 1 k N 时 等式成立 当n k 1时 左边 右边 等式成立 即对所有n N 原式都成立 题型二用数学归纳法证明不等式 例2 2016 泰州模拟 等比数列 an 的前n项和为Sn 已知对任意的n N 点 n Sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 1 求r的值 解答 由题意 Sn bn r 当n 2时 Sn 1 bn 1 r 所以an Sn Sn 1 bn 1 b 1 由于b 0且b 1 所以n 2时 an 是以b为公比的等比数列 又a1 b r a2 b b 1 证明 由 1 及b 2知an 2n 1 因此bn 2n n N 左式 右式 所以结论成立 假设n k k 1 k N 时结论成立 则当n k 1时 要证当n k 1时结论成立 所以当n k 1时 结论成立 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 1 适用范围 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 若用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 关键 由n k时命题成立证n k 1时命题也成立 在归纳假设使用后可运用比较法 综合法 分析法 放缩法等来加以证明 充分应用基本不等式 不等式的性质等放缩技巧 使问题得以简化 思维升华 跟踪训练2若函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1是过点P 4 5 Qn xn f xn 的直线PQn与x轴的交点的横坐标 试运用数学归纳法证明 2 xn xn 1 3 证明 当n 1时 x1 2 f x1 3 Q1 2 3 所以直线PQ1的方程为y 4x 11 即n 1时结论成立 假设当n k时 结论成立 即2 xk xk 1 3 代入上式 令y 0 即xk 1 xk 2 所以2 xk 1 xk 2 3 即当n k 1时 结论成立 由 知对任意的正整数n 2 xn xn 1 3 题型三归纳 猜想 证明命题点1与函数有关的证明问题 解答 由x2 x4 x6 猜想 数列 x2n 是递减数列 下面用数学归纳法证明 当n 1时 已证命题成立 假设当n k k N 且k 1 时命题成立 即x2k x2k 2 易知xk 0 即x2 k 1 x2 k 1 2 所以当n k 1时命题也成立 结合 知 对于任何n N 命题成立 命题点2与数列有关的证明问题例4在数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 2 2n n N 0 1 求a2 a3 a4 解答 a2 2 2 2 2 2 22 a3 2 22 3 2 22 2 3 23 a4 2 3 23 4 2 23 3 4 24 2 猜想 an 的通项公式 并加以证明 解答 由 1 可猜想数列通项公式为 an n 1 n 2n 下面用数学归纳法证明 当n 1 2 3 4时 等式显然成立 假设当n k k 4 k N 时等式成立 即ak k 1 k 2k 那么当n k 1时 ak 1 ak k 1 2 2k k 1 k 2k k 1 2k 1 2k k 1 k 1 k 1 2k 1 k 1 1 k 1 2k 1 所以当n k 1时 ak 1 k 1 1 k 1 2k 1 猜想成立 由 知数列的通项公式为an n 1 n 2n n N 0 命题点3存在性问题的证明例5设a1 1 an 1 b n N 1 若b 1 求a2 a3及数列 an 的通项公式 解答 再由题设条件知 an 1 1 2 an 1 2 1 从而数列 an 1 2 是首项为0 公差为1的等差数列 下面用数学归纳法证明上式 当n 1时结论显然成立 所以当n k 1时结论成立 2 若b 1 问 是否存在实数c使得a2n c a2n 1对所有n N 成立 证明你的结论 解答 则an 1 f an 下面用数学归纳法证明加强命题 a2n c a2n 1 1 假设n k k N 且k 1 时结论成立 即a2kf a2k 1 f 1 a2 即1 c a2k 2 a2 再由f x 在 1 上为减函数 得c f c f a2k 2 f a2 a3 1 故c a2k 3 1 因此a2 k 1 c a2 k 1 1 1 这就是说 当n k 1时结论成立 则an 1 f an 先证 0 an 1 n N 当n 1时 结论显然成立 假设n k k N 且k 1 时结论成立 即0 ak 1 易知f x 在 1 上为减函数 从而 即0 ak 1 1 这就是说 当n k 1时结论成立 故 成立 再证 a2n a2n 1 n N 有a2f a2k 1 a2k 2 a2 k 1 f a2k 1 f a2k 2 a2 k 1 1 这就是说 当n k 1时 成立 所以 对一切n N 成立 又由 及f x 在 1 上为减函数 得f a2n f a2n 1 即a2n 1 a2n 2 1 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题 存在性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 即先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性 2 归纳 猜想 证明 的基本步骤是 试验 归纳 猜想 证明 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题 思维升华 跟踪训练3 2015 江苏 已知集合X 1 2 3 Yn 1 2 3 n n N 设Sn a b a整除b或b整除a a X b Yn 令f n 表示集合Sn所含元素的个数 1 写出f 6 的值 Y6 1 2 3 4 5 6 S6中的元素 a b 满足 若a 1 则b 1 2 3 4 5 6 若a 2 则b 1 2 4 6 若a 3 则b 1 3 6 所以f 6 13 解答 2 当n 6时 写出f n 的表达式 并用数学归纳法证明 解答 当n 6时 下面用数学归纳法证明 假设n k k N 且k 6 时结论成立 那么n k 1时 Sk 1在Sk的基础上新增加的元素在 1 k 1 2 k 1 3 k 1 中产生 分以下情形讨论 若k 1 6t 则k 6 t 1 5 若k 1 6t 1 则k 6t 此时有 若k 1 6t 2 则k 6t 1 此时有 若k 1 6t 3 则k 6t 2 此时有 若k 1 6t 4 则k 6t 3 此时有 若k 1 6t 5 则k 6t 4 此时有 综上所述 结论对满足n 6的自然数n均成立 典例 14分 数列 an 满足Sn 2n an n N 1 计算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通项公式an 2 证明 1 中的猜想 归纳 猜想 证明问题 答题模版系列9 规范解答 思维点拨 1 由S1 a1算出a1 由an Sn Sn 1算出a2 a3 a4 观察所得数值的特征猜出通项公式 2 用数学归纳法证明 答题模版 1 解当n 1时 a1 S1 2 a1 a1 1 当n 4时 a1 a2 a3 a4 S4 2 4 a4 2 证明 当n 1时 a1 1 结论成立 6分 假设n k k 1且k N 时 结论成立 那么n k 1时 ak 1 Sk 1 Sk 2 k 1 ak 1 2k ak 2 ak ak 1 2ak 1 2 ak 10分 返回 当n k 1时 结论成立 13分 归纳 猜想 证明问题的一般步骤第一步 计算数列前几项或特殊情况 观察规律猜测数列的通项或一般结论 第二步 验证一般结论对第一个值n0 n0 N 成立 第三步 假设n k k n0 k N 时结论成立 证明当n k 1时结论也成立 第四步 下结论 由上可知结论对任意n n0 n N 成立 返回 课时作业 1 如果命题p n 对n k k N 成立 则它对n k 2也成立 若p n 对n 2也成立 则下列结论正确的是 p n 对所有正整数n都成立 p n 对所有正偶数n都成立 p n 对所有正奇数n都成立 p n 对所有自然数n都成立 答案 解析 n 2时 n k n k 2成立 n为2 4 6 故n为所有正偶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 用数学归纳法证明命题 当n是正奇数时 xn yn能被x y整除 在第二步时 正确的证法是 假设n k k N 证明n k 1时命题成立 假设n k k是正奇数 证明n k 1时命题成立 假设n 2k 1 k N 证明n k 1时命题成立 假设n k k是正奇数 证明n k 2时命题成立 相邻两个正奇数相差2 故 正确 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2017 盐城质检 设f x 是定义在正整数集上的函数 且f x 满足 当f k k 1成立时 总能推出f k 1 k 2成立 那么下列命题总成立的是 若f 1 2成立 则f 10 11成立 若f 3 4成立 则当k 1时 均有f k k 1成立 若f 2 3成立 则f 1 2成立 若f 4 5成立 则当k 4时 均有f k k 1成立 答案 解析 当f k k 1成立时 总能推出f k 1 k 2成立 说明如果当k n时 f n n 1成立 那么当k n 1时 f n 1 n 2也成立 所以如果当k 4时 f 4 5成立 那么当k 4时 f k k 1也成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 在数列 an 中 a1 且Sn n 2n 1 an 通过求a2 a3 a4 猜想an的表达式为an 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 2016 盐城质检 利用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n N 时 从 n k 变到 n k 1 时 左边应增乘的因式是 答案 解析 2 2k 1 当n k k N 时 左式为 k 1 k 2 k k 当n k 1时 左式为 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 设数列 an 的前n项和为Sn 且对任意的自然数n都有 Sn 1 2 anSn 通过计算S1 S2 S3 猜想Sn 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 设S1 12 S2 12 22 12 Sn 12 22 32 n 1 2 n2 n 1 2 22 12 用数学归纳法证明Sn 时 第二步从 k 到 k 1 应添加的项为 k 1 2 k2 答案 解析 由S1 S2 Sn可以发现由n k到n k 1时 中间增加了两项 k 1 2 k2 n k N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 设平面内有n条直线 n 3 其中有且仅有两条直线互相平行 任意三条直线不过同一点 若用f n 表示这n条直线交点的个数 则f 4 当n 4时 f n 用n表示 f 3 2 f 4 f 3 3 2 3 5 f n f 3 3 4 n 1 2 3 4 n 1 5 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f x x2 1 且an 1 f an 1 an 1 an 1 2 1 令g an an 1 2 1 函数g x x 1 2 1在 1 上是增函数 于是由a1 1 得a2 a1 1 2 1 22 1 进而a3 a2 1 2 1 24 1 23 1 由此猜想 an 2n 1 下面用数学归纳法证明这个猜想 当n 1时 a1 21 1 1 结论成立 假设n k k 1且k N 时 结论成立 即ak 2k 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当n k 1时 由g x x 1 2 1在区间 1 上是增函数 知ak 1 ak 1 2 1 22k 1 2k 1 1 即n k 1时 结论也成立 由 知 对任意n N 都有an 2n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 2016 苏州模拟 数列 xn 满足x1 0 xn 1 xn c n N 1 证明 xn 是递减数列的充要条件是c 0 充分性 若c 0 由于xn 1 xn c xn c xn 所以数列 xn 是递减数列 必要性 若 xn 是递减数列 则x2 x1 且x1 0 故 xn 是递减数列的充要条件是c 0 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 若0 c 证明 数列 xn 是递增数列 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 这就是说当n k 1时 结论也成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 已知函数f0 x x 0 设fn x 为fn 1 x 的导数 n N 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由已知 得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由已知 得xf0 x sinx 等式两边分别对x求导 得f0 x xf 0 x cosx 2f1 x xf2 x sinx sin x 4f3 x xf4 x sinx sin x 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当n 1时 由上可知等式成立 因为 kfk 1 x xfk x kf k 1 x fk x