高考数学大一轮复习第六章数列6_1数列的概念与简单表示法课件理苏教版

6 1数列的概念与简单表示法 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 数列的定义按照排列的一列数称为数列 数列中的每一个数叫做这个数列的 2 数列的分类 知识梳理 一定次序 项 有限 无限 3 数列的表示法数列有三种表示法 它们分别是 和 4 数列的通项公式如果数列 an 的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 列表法 图象法 解析法 序号n 1 若数列 an 的前n项和为Sn 通项公式为an 3 数列与函数的关系数列是一种特殊的函数 即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数 当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值 就是数列 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 所有数列的第n项都能使用公式表达 2 根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个 3 1 1 1 1 不能构成一个数列 4 任何一个数列不是递增数列 就是递减数列 5 如果数列 an 的前n项和为Sn 则对 n N 都有an 1 Sn 1 Sn 考点自测 1 教材改编 下列有四种说法 其中正确的说法是 填序号 数列a a a 是无穷数列 数列0 1 2 3 不一定是递减数列 数列 f n 可以看作是一个定义域为正整数N 或它的有限子集 1 2 n 的函数值 已知数列 an 则数列 an 1 an 也是一个数列 答案 解析 题中 显然正确 对于 数列只给出前四项 后面的项是不确定的 所以不一定是递减数列 对于 数列可以看作是一个定义域为正整数N 或它的有限子集 1 2 n 的函数 当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 所以 不正确 答案 解析 答案 解析 答案 解析 当n 1时 a1 S1 2 当n 2时 an Sn Sn 1 n2 1 n 1 2 1 2n 1 5 已知数列 an 的前n项和Sn n2 1 则an 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一由数列的前几项求数列的通项公式例1 1 2016 南京模拟 数列1 3 6 10 的通项公式是 答案 解析 观察数列1 3 6 10 可以发现1 1 3 1 2 6 1 2 3 10 1 2 3 4 答案 解析 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 1 常用方法 观察 观察规律 比较 比较已知数列 归纳 转化 转化为特殊数列 联想 联想常见的数列 等方法 2 具体策略 分式中分子 分母的特征 相邻项的变化特征 拆项后的特征 各项的符号特征和绝对值特征 化异为同 对于分式还可以考虑对分子 分母各个击破 或寻找分子 分母之间的关系 对于符号交替出现的情况 可用 1 k或 1 k 1 k N 处理 思维升华 跟踪训练1根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 7 13 19 2 0 8 0 88 0 888 数列中各项的符号可通过 1 n表示 从第2项起 每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6 故通项公式为an 1 n 6n 5 解答 解答 解答 各项的分母分别为21 22 23 24 易看出第2 3 4项的绝对值的分子分别比分母小3 因此把第1项变为 题型二由an与Sn的关系求通项公式例2 1 2016 南通模拟 若数列 an 的前n项和Sn 则 an 的通项公式an 答案 解析 2 n 1 两式相减 整理得an 2an 1 a1 1 an 是首项为1 公比为 2的等比数列 故an 2 n 1 2 已知下列数列 an 的前n项和Sn 求 an 的通项公式 Sn 2n2 3n 解答 a1 S1 2 3 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 5 由于a1也适合此等式 an 4n 5 Sn 3n b 解答 a1 S1 3 b 当n 2时 an Sn Sn 1 3n b 3n 1 b 2 3n 1 当b 1时 a1适合此等式 当b 1时 a1不适合此等式 当b 1时 an 2 3n 1 已知Sn 求an的步骤 1 当n 1时 a1 S1 2 当n 2时 an Sn Sn 1 3 对n 1时的情况进行检验 若适合n 2的通项则可以合并 若不适合则写成分段函数形式 思维升华 跟踪训练2 1 已知数列 an 的前n项和Sn 2n 3 则数列 an 的通项公式为 答案 解析 当n 1时 a1 S1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2n 1 2 已知数列 an 的前n项和为Sn a1 1 Sn 2an 1 则Sn 答案 解析 由an 1 Sn 1 Sn 得Sn Sn 1 Sn 即Sn 1 Sn n 1 又S1 a1 1 所以数列 Sn 是首项为1 公比为的等比数列 所以Sn n 1 题型三由数列的递推关系求通项公式例3根据下列条件 确定数列 an 的通项公式 1 a1 2 an 1 an ln 1 an 1 an ln 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2 lnn n 2 又a1 2适合上式 故an 2 lnn n N 解答 an 1 2nan 2n 1 n 2 2 a1 1 an 1 2nan 2n 1 2n 2 2 1 21 2 3 n 1 又a1 1适合上式 故an 解答 an 1 3an 2 an 1 1 3 an 1 又a1 1 a1 1 2 故数列 an 1 是首项为2 公比为3的等比数列 an 1 2 3n 1 故an 2 3n 1 1 3 a1 1 an 1 3an 2 解答 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 1 当出现an an 1 m时 构造等差数列 2 当出现an xan 1 y时 构造等比数列 3 当出现an an 1 f n 时 用累加法求解 4 当出现 f n 时 用累乘法求解 思维升华 跟踪训练3 1 已知数列 an 满足a1 1 an an 1 n 2且n N 则an 答案 解析 以上 n 1 个式子相乘得 当n 1时也满足此等式 an 2 已知数列 an 的前n项和为Sn 且Sn 2an 1 n N 则a5 当n 1时 S1 2a1 1 a1 1 当n 2时 Sn 1 2an 1 1 an Sn Sn 1 2an 2an 1 an 2an 1 an 是等比数列且a1 1 q 2 故a5 a1 q4 24 16 答案 解析 16 题型四数列的性质命题点1数列的单调性例4已知an 那么数列 an 是数列 填 递减 递增 或 常 答案 解析 递增 an 1 将an看作关于n的函数 n N 易知 an 是递增数列 命题点2数列的周期性例5数列 an 满足an 1 a8 2 则a1 答案 解析 周期T n 1 n 2 3 a8 a3 2 2 a2 2 命题点3数列的最值例6若数列 an 的通项an 则数列 an 中的最大项的值是 答案 解析 1 解决数列的单调性问题可用以下三种方法 用作差比较法 根据an 1 an的符号判断数列 an 是递增数列 递减数列还是常数列 用作商比较法 根据 an 0或an 0 与1的大小关系进行判断 结合相应函数的图象直观判断 2 解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项 确定数列的周期 再根据周期性求值 3 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解 思维升华 答案 解析 an 为周期数列且T 4 a2015 a503 4 3 a3 由二次函数性质 得当n 2或3时 an最大 最大值为0 2 设an 3n2 15n 18 则数列 an 中的最大项的值是 0 答案 解析 解决数列问题的函数思想 思想与方法系列12 典例 1 数列 an 的通项公式是an n 1 n 则此数列的最大项是第项 2 若an n2 kn 4且对于n N 都有an 1 an成立 则实数k的取值范围是 答案 解析 思想方法指导 9或10 3 1 可以将数列看成定义域为正整数集上的函数 2 数列的最值可以根据单调性进行分析 1 an 1 an当n0 即an 1 an 当n 9时 an 1 an 0 即an 1 an 当n 9时 an 1 anan知该数列是一个递增数列 又因为通项公式an n2 kn 4 所以 n 1 2 k n 1 4 n2 kn 4 即k 1 2n 又n N 所以k 3 课时作业 所给数列呈现分数形式 且正负相间 求通项公式时 我们可以把每一部分进行分解 符号 分母 分子 很容易归纳出数列 an 的通项公式an 1 n 1 故a10 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 苏州模拟 已知函数y f x 的定义域为R 当x1 且对任意的实数x y R 等式f x f y f x y 恒成立 若数列 an 满足a1 f 0 且f an 1 n N 则a2015的值为 根据题意 不妨设f x x 则a1 f 0 1 f an 1 an 1 an 2 数列 an 是以1为首项 2为公差的等差数列 an 2n 1 a2015 4029 答案 解析 4029 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 已知a1 1 an n an 1 an n N 则数列 an 的通项公式是 答案 解析 an n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 若数列 an 满足a1 2 a2 3 an n 3且n N 则a2018 数列 an 具有周期性 T 6 a2018 a336 6 2 a2 3 答案 解析 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 an an 1 a2 2 5 数列 an 满足an an 1 n N a2 2 Sn是数列 an 的前n项和 则S21 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 已知数列 an 的前n项和为Sn 且Sn 2n2 1 则a3 a3 S3 S2 2 32 1 2 22 1 10 答案 解析 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 数列 an 中 已知a1 1 a2 2 an 1 an an 2 n N 则a7 由已知an 1 an an 2 a1 1 a2 2 能够计算出a3 1 a4 1 a5 2 a6 1 a7 1 答案 解析 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知数列 an 的前n项和为Sn Sn 2an n 则an 当n 1时 S1 a1 2a1 1 得a1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2an n 2an 1 n 1 即an 2an 1 1 an 1 2 an 1 1 数列 an 1 是首项为a1 1 2 公比为2的等比数列 an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 答案 解析 2n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 2016 无锡期末 对于数列 an 定义数列 bn 满足bn an 1 an n N 且bn 1 bn 1 n N a3 1 a4 1 则a1 因为b3 a4 a3 1 1 2 所以b2 a3 a2 b3 1 3 所以b1 a2 a1 b2 1 4 三式相加可得a4 a1 9 所以a1 a4 9 8 答案 解析 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 已知数列 an 满足a1 2 an 1 n N 则该数列的前2019项的乘积a1 a2 a3 a2019 数列 an 是以4为周期的数列 而2019 4 504 3 a1a2a3a4 1 前2019项的乘积为1504 a1a2a3 3 答案 解析 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 已知数列 an 的前n项和Sn n2 1 数列 bn 满足bn 且前n项和为Tn 设cn T2n 1 Tn 1 求数列 bn 的通项公式 a1 2 an Sn Sn 1 2n 1 n 2 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 判断数列 cn 的增减性 cn bn 1 bn 2 b2n 1 cn 是递减数列 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 已知Sn为正项数列 an 的前n项和 1 求a1 a2 a3 a4的值 同理 a3 3 a4 4 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求数列 an 的通项公式 得 an an 1 1 an an 1 0 由于an an 1 0 所以an an 1 1 又由 1 知a1 1 故数列 an 为首项为1 公差为1的等差数列 故an n 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 已知数列 an 中 an 1 n N a R且a