高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_5椭圆课件

9 5椭圆 基础知识自主学习 课时训练 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 椭圆的概念平面内与两个定点F1 F2的距离之和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做 这两个定点叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做椭圆的 集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a 0 c 0 且a c为常数 1 若 则集合P为椭圆 2 若 则集合P为线段 3 若 则集合P为空集 知识梳理 椭圆 焦点 焦距 a c a c a c 2 椭圆的标准方程和几何性质 2a 2b 2c a2 b2 c2 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与两个定点F1 F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 2 椭圆上一点P与两焦点F1 F2构成 PF1F2的周长为2a 2c 其中a为椭圆的长半轴长 c为椭圆的半焦距 3 椭圆的离心率e越大 椭圆就越圆 4 方程mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 表示的曲线是椭圆 考点自测 A 4B 8C 4或8D 12 答案 解析 A 2B 3C 4D 9 由题意知25 m2 16 解得m2 9 又m 0 所以m 3 答案 解析 3 2016 全国乙卷 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点 若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 则该椭圆的离心率为 答案 解析 4 教材改编 已知点P是椭圆 1上y轴右侧的一点 且以点P及焦点F1 F2为顶点的三角形的面积等于1 则点P的坐标为 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一椭圆的定义及标准方程 命题点1利用定义求轨迹例1 2016 济南模拟 如图所示 一圆形纸片的圆心为O F是圆内一定点 M是圆周上一动点 把纸片折叠使M与F重合 然后抹平纸片 折痕为CD 设CD与OM交于点P 则点P的轨迹是 由条件知 PM PF PO PF PO PM OM R OF P点的轨迹是以O F为焦点的椭圆 答案 解析 A 椭圆B 双曲线C 抛物线D 圆 命题点2利用待定系数法求椭圆方程例2 1 已知椭圆以坐标轴为对称轴 且长轴长是短轴长的3倍 并且过点P 3 0 则椭圆的方程为 答案 解析 2 已知椭圆的中心在原点 以坐标轴为对称轴 且经过两点P1 1 P2 则椭圆的方程为 答案 解析 命题点3利用定义解决 焦点三角形 问题 3 答案 解析 引申探究1 在例3中增加条件 PF1F2的周长为18 其他条件不变 求该椭圆的方程 解答 解答 1 求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法 利用椭圆的定义定形状时 一定要注意常数2a F1F2 这一条件 2 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法 具体过程是先定形 再定量 即首先确定焦点所在位置 然后再根据条件建立关于a b的方程组 如果焦点位置不确定 要考虑是否有两解 有时为了解题方便 也可把椭圆方程设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式 3 当P在椭圆上时 与椭圆的两焦点F1 F2组成的三角形通常称为 焦点三角形 利用定义可求其周长 利用定义和余弦定理可求 PF1 PF2 通过整体代入可求其面积等 思维升华 跟踪训练1 1 2016 盐城模拟 已知两圆C1 x 4 2 y2 169 C2 x 4 2 y2 9 动圆在圆C1内部且和圆C1相内切 和圆C2相外切 则动圆圆心M的轨迹方程为 答案 解析 A 4B 3C 2D 1 答案 解析 题型二椭圆的几何性质 例4 1 已知点F1 F2是椭圆x2 2y2 2的左 右焦点 点P是该椭圆上的一个动点 那么的最小值是 答案 解析 2 2016 全国丙卷 已知O为坐标原点 F是椭圆C 1 a b 0 的左焦点 A B分别为椭圆C的左 右顶点 P为C上一点 且PF x轴 过点A的直线l与线段PF交于点M 与y轴交于点E 若直线BM经过OE的中点 则C的离心率为 答案 解析 1 利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围 或者最大值 最小值时 经常用到椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等不等关系 利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 2 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 思维升华 跟踪训练2 2016 江苏 如图 在平面直角坐标系xOy中 F是椭圆 1 a b 0 的右焦点 直线y 与椭圆交于B C两点 且 BFC 90 则该椭圆的离心率是 答案 解析 题型三直线与椭圆 解答 2 设过点A的直线l与椭圆交于点B B不在x轴上 垂直于l的直线与l交于点M 与y轴交于点H 若BF HF 且 MOA MAO 求直线l的斜率 解答 1 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题 其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立 消元 化简 然后应用根与系数的关系建立方程 解决相关问题 涉及弦中点的问题时用 点差法 解决 往往会更简单 思维升华 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 1 求椭圆C的方程 解答 2 过点A作AP OM交椭圆C于点P 求证 BP ON 证明 离心率是椭圆的重要几何性质 是高考重点考查的一个知识点 这类问题一般有两类 一类是根据一定的条件求椭圆的离心率 另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围 无论是哪类问题 其难点都是建立关于a b c的关系式 等式或不等式 并且最后要把其中的b用a c表示 转化为关于离心率e的关系式 这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法 高考中求椭圆的离心率问题 高频小考点7 考点分析 典例1 2015 福建 已知椭圆E 1 a b 0 的右焦点为F 短轴的一个端点为M 直线l 3x 4y 0交椭圆E于A B两点 若 AF BF 4 点M到直线l的距离不小于 则椭圆E的离心率的取值范围是 答案 解析 典例2 15分 2016 浙江 如图 设椭圆 y2 1 a 1 解答 1 求直线y kx 1被椭圆截得的线段长 用a k表示 2 若任意以点A 0 1 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点 求椭圆离心率的取值范围 解答 课时训练 1 2016 湖南六校联考 已知椭圆的中心在原点 离心率e 且它的一个焦点与抛物线y2 4x的焦点重合 则此椭圆方程为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 青岛模拟 已知A1 A2分别为椭圆C 1 a b 0 的左 右顶点 P是椭圆C上异于A1 A2的任意一点 若直线PA1 PA2的斜率的乘积为 则椭圆C的离心率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 南昌模拟 已知椭圆 x2 1 过点P 的直线与椭圆相交于A B两点 且弦AB被点P平分 则直线AB的方程为A 9x y 4 0B 9x y 5 0C 2x y 2 0D x y 5 0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2016 贵州七校联考 以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1 则椭圆长轴长的最小值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 济南质检 设A1 A2为椭圆 1 a b 0 的左 右顶点 若在椭圆上存在异于A1 A2的点P 使得 0 其中O为坐标原点 则椭圆的离心率e的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 若椭圆 1 a 0 b 0 的焦点在x轴上 过点 2 1 作圆x2 y2 4的切线 切点分别为A B 直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方程为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知P为椭圆 1上的一点 M N分别为圆 x 3 2 y2 1和圆 x 3 2 y2 4上的点 则 PM PN 的最小值为 由题意知椭圆的两个焦点F1 F2分别是两圆的圆心 且 PF1 PF2 10 从而 PM PN 的最小值为 PF1 PF2 1 2 7 答案 解析 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 2016 石家庄模拟 椭圆 y2 1的左 右焦点分别为F1 F2 点P为椭圆上一动点 若 F1PF2为钝角 则点P的横坐标的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 则椭圆的离心率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 求椭圆C的离心率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若斜率为2的直线l过点 0 2 且l交椭圆C于P Q两点 OP OQ 求直线l的方程及椭圆C的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 即x1x2 y1y2 0 x1x2 2x1 2 2x2 2 0 5x1x2 4 x1 x2 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 湖州调测 已知点C x0 y0 是椭圆 y2 1上的动点 以C为圆心的圆过点F 1 0 1 若圆C与y轴相切 求实数x0的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若圆C与y轴相交于A B两点 求 FA FB 的取值范围 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 2017 宁波调研 已知椭圆 1 a b 0 的左焦点为F