（新课标）2020高考数学二轮总复习1.5.2求（证明）曲线性质、定值、定点、面积问题专题限时训练文.docx

1.5.2 求（证明）曲线性质、定值、定点、面积问题专题限时训练(小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1如果双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与直线xy0平行，则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.3解析：因为yx与xy0平行，所以，得ba，c2a，所以e2.选C.答案：C2若直线xy2被圆(x1)2(ya)24所截得的弦长为2，则实数a的值为()A2或6 B.0或4C1或 D.1或3解析：圆心坐标为(1，a)，弦长为2，圆心到直线xy20的距离为d，即，|a1|2，a1或a3.选D.答案：D3已知双曲线C：x21，则C的顶点到其渐近线的距离等于()A. B.1 C. D.解析：双曲线的顶点坐标是(1,0)，渐近线方程是yx，因此其顶点到渐近线的距离d.选C.答案：C4已知抛物线y22px(p0)上横坐标为1的点到焦点F的距离为2，则抛物线方程为()Ay2x B.y22xCy24x D.y28x解析：由题意知F，不妨设抛物线上横坐标为1的点为A(1，)，故|FA|22(0)24，又p0，故p2，抛物线方程为y24x.选C.答案：C5已知椭圆1(ab0)的中心为点O，右焦点为F，右顶点为A，直线x与x轴的交点为K，则的最大值为()A. B.C. D.1解析：e2e2.选C.答案：C6(2019江西省五校协作体检测)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线相交于点M，若|MN|AB|，则直线l的倾斜角为()A15 B.30 C.45 D.60解析：分别过A，B，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A，B，N，由抛物线的定义知|AF|AA|，|BF|BB|，|NN|(|AA|BB|)|AB|，因为|MN|AB|，所以|NN|MN|，所以MNN60，即直线MN的倾斜角为120，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30.选B.答案：B7设椭圆1(m0，n0)的一个焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：抛物线y28x的焦点坐标为(2,0)，所以椭圆的焦点在x轴上且半焦距为2，由，得m4，所以n2422212，故椭圆的方程为1.选A.答案：A8设双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|AF2|的最小值为()A. B.11 C.12 D.16解析：由题意，得所以|BF2|AF2|8|AF1|BF1|8|AB|，显然，当AB为通径时，其长度最短，|AB|min23，故(|BF2|AF2|)min11.选B.答案：B9若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A离心率相等 B.虚半轴长相等C实半轴长相等 D.焦距相等解析：因为0k0，b0)的焦距为2c，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.2解析：双曲线的一条渐近线为bxay0，一个焦点为(c,0)，则焦点到渐近线的距离为，得b.又b2c2a2，所以有4a23c2，解得e2，即e.选A.答案：A12(2019武汉高三调研)如图，抛物线E：x24y与圆M：x2(y1)216交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，则PMN的周长的取值范围是()A(6,12) B.(8,10) C.(6,10) D.(8,12)解析：由题意可得抛物线E的焦点为(0,1)，圆M的圆心为(0,1)，半径为4，所以圆心M(0,1)为抛物线的焦点，故|NM|等于点N到准线y1的距离，又PNy轴，故|PN|NM|等于点P到准线y1的距离，由得y3，又点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，所以点P到准线y1的距离的取值范围是(4,6)，又|PM|4，所以PMN的周长的取值范围是(8,10)选B.答案：B二、填空题13(2019成都检测)已知双曲线C：x2y21的右焦点为F，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为_解析：由题意，知双曲线的渐近线方程为xy0，右焦点F(，0)，所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1.答案：114以抛物线y24x的焦点为顶点，原点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程是.解析：因为抛物线y24x的焦点坐标是(1,0)，所以双曲线的焦点在x轴上，且实半轴长a1.又双曲线的离心率为2，所以半焦距c2，则虚半轴长b，所以该双曲线的标准方程为x21.答案：x2115已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形设P为该椭圆上的动点，C，D的坐标分别是(，0)，(，0)，则PCPD的最大值为.解析：由正方形的对角线性质可得bc，又该正方形面积为4，则4b24，所以bc，则C，D即为椭圆的焦点，所以PCPD4.答案：416已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|.解析：由直线l：mxy3m0知其过定点(3，)，圆心O到直线l的距离为d.由|AB|2，得2()212，解得m.又直线l的斜率为m，所以直线l的倾斜角.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CEBD，则DCE.在RtCDE中，可得|CD|24.答案：4专题限时训练(大题规范练)(建议用时：75分钟)1已知动点P到直线l：x1的距离等于它到圆C：x2y24x10的切线长(P到切点的距离)记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，问是否存在常数，使得|AC|BC|QC|2？若存在，求的值；若不存在，说明理由解析：(1)由已知得圆心为C(2,0)，半径r.设P(x，y)，依题意可得|x1|，整理得y26x.故曲线E的方程为y26x.(2)存在常数，使得|AC|BC|QC|2.理由如下：设直线AB的方程为myx2，则直线CQ的方程为ym(x2)，可得Q(1,3m)设A(x1，y1)，B(x2，y2)将myx2代入y26x并整理得y26my120，那么y1y212，则|AC|BC|(1m2)|y1y2|12(1m2)，|QC|29(1m2)，即|AC|BC|QC|2，所以.2(2019福建五校第二次联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，上顶点M到直线xy40的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过点(4，2)，且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值解析：(1)由题意可得解得所以椭圆C的方程为1.(2)易知直线l的斜率恒小于0，设直线l的方程为y2k(x4)，k0)的焦点为F，点M(2，y0)在该抛物线上，且|MF|2.(1)求抛物线C的方程；(2)直线l：ykx2与y轴交于点E，与抛物线C相交于A，B两点，自点A，B分别向直线y2作垂线，垂足分别为A1，B1，记EAA1，EA1B1，EBB1的面积分别为S1，S2，S3.试证明：为定值解析：(1)抛物线C的焦点为F，准线方程为y，点M(2，y0)在该抛物线上，42py0，依定义及|MF|2得y02，由解得p2，抛物线C的方程为x24y.(2)由消y得x24kx80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x28，则A1(x1，2)，B1(x2，2)S1S3(y12)|x1|(y22)|x2|(kx14)(kx24)|x1x2|k2x1x24k(x1x2)16|x1x2|8k24k4k16816(k22)，又S|x2x1|424(x2x1)24(x2x1)24x1x24(16k232)64(k22)，.4如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线上(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(2，)，Q(2，)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由解析：(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)椭圆的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线y2上，b2