高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8_7 立体几何中的向量方法课件

8 7立体几何中的向量方法 基础知识自主学习 课时训练 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 直线的方向向量与平面的法向量的确定 1 直线的方向向量 在直线上任取一向量作为它的方向向量 2 平面的法向量可利用方程组求出 设a b是平面 内两不共线向量 n为平面 的法向量 则求法向量的方程组为 知识梳理 非零 2 用向量证明空间中的平行关系 1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 或l1与l2重合 2 设直线l的方向向量为v 与平面 共面的两个不共线向量v1和v2 则l 或l 3 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l 或l 4 设平面 和 的法向量分别为u1 u2 则 v1 v2 存在两个实数x y 使v xv1 yv2 v u u1 u2 3 用向量证明空间中的垂直关系 1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 0 2 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l 3 设平面 和 的法向量分别为u1和u2 则 v1 v2 v1 v2 v u u1 u2 u1 u2 0 4 两条异面直线所成角的求法设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 5 直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 a与n的夹角为 则sin cos 6 求二面角的大小 1 如图 AB CD分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 2 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足 cos 二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角 或其补角 cos n1 n2 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面的单位法向量是唯一确定的 2 若两平面的法向量平行 则两平面平行 3 若两直线的方向向量不平行 则两直线不平行 4 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角 5 两异面直线夹角的范围是 0 直线与平面所成角的范围是 0 二面角的范围是 0 6 若二面角 a 的两个半平面 的法向量n1 n2所成角为 则二面角 a 的大小是 考点自测 答案 解析 2 2016 杭州模拟 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1 CA CC1 2CB 则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为 答案 解析 3 教材改编 设u v分别是平面 的法向量 u 2 2 5 当v 3 2 2 时 与 的位置关系为 当v 4 4 10 时 与 的位置关系为 当v 3 2 2 时 u v 2 2 5 3 2 2 0 当v 4 4 10 时 v 2u 答案 解析 4 教材改编 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 O是底面正方形ABCD的中心 M是D1D的中点 N是A1B1的中点 则直线ON AM的位置关系是 垂直 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一利用空间向量证明平行问题 例1 2016 重庆模拟 如图所示 平面PAD 平面ABCD ABCD为正方形 PAD是直角三角形 且PA AD 2 E F G分别是线段PA PD CD的中点 求证 PB 平面EFG 证明 平面PAD 平面ABCD ABCD为正方形 PAD是直角三角形 且PA AD AB AP AD两两垂直 以A为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 则A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 P 0 0 2 E 0 0 1 F 0 1 1 G 1 2 0 引申探究本例中条件不变 证明平面EFG 平面PBC 证明 又 EF 平面PBC BC 平面PBC EF 平面PBC 同理可证GF PC 从而得出GF 平面PBC 又EF GF F EF 平面EFG GF 平面EFG 平面EFG 平面PBC 1 恰当建立空间直角坐标系 准确表示各点与相关向量的坐标 是运用向量法证明平行和垂直的关键 2 证明直线与平面平行 只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零 或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面 或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 然后说明直线在平面外即可 这样就把几何的证明问题转化为向量运算 思维升华 跟踪训练1 2016 北京海淀区模拟 正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是C1C B1C1的中点 求证 MN 平面A1BD 证明 如图所示 以D为坐标原点 DA DC DD1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为1 设平面A1BD的法向量为n x y z 取x 1 得y 1 z 1 所以n 1 1 1 又MN 平面A1BD 所以MN 平面A1BD 题型二利用空间向量证明垂直问题 例2 2016 绍兴模拟 如图 在多面体ABC A1B1C1中 四边形A1ABB1是正方形 AB AC BC AB B1C1綊BC 二面角A1 AB C是直二面角 求证 1 A1B1 平面AA1C 证明 二面角A1 AB C是直二面角 四边形A1ABB1为正方形 AA1 平面BAC 又 AB AC BC AB CAB 90 即CA AB AB AC AA1两两互相垂直 建立如图所示的空间直角坐标系 点A为坐标原点 设AB 2 则A 0 0 0 B1 0 2 2 A1 0 0 2 C 2 0 0 C1 1 1 2 2 AB1 平面A1C1C 证明 思维升华 证明垂直问题的方法 1 利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系 准确写出相关点的坐标 从而将几何证明转化为向量运算 其中灵活建系是解题的关键 2 其一证明直线与直线垂直 只需要证明两条直线的方向向量垂直 其二证明线面垂直 只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可 当然 也可证直线的方向向量与平面的法向量平行 其三证明面面垂直 证明两平面的法向量互相垂直 利用面面垂直的判定定理 只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可 跟踪训练2 2016 宁波模拟 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是边长为a的正方形 侧面PAD 底面ABCD 且PA PD AD 设E F分别为PC BD的中点 1 求证 EF 平面PAD 证明 如图 取AD的中点O 连接OP OF 因为PA PD 所以PO AD 因为侧面PAD 底面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD 所以PO 平面ABCD 又O F分别为AD BD的中点 所以OF AB 又ABCD是正方形 所以OF AD 所以OF EF 又因为EF 平面PAD 所以EF 平面PAD 以O为原点 OA OF OP所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间 2 求证 平面PAB 平面PDC 证明 所以PA CD 又PA PD PD CD D PD 平面PDC CD 平面PDC 所以PA 平面PDC 又PA 平面PAB 所以平面PAB 平面PDC 题型三利用空间向量求空间角 命题点1求直线和平面所成的角例3 2016 杭州二中月考 如图1 在Rt ACB中 C 90 BC 3 AC 6 D E分别是AC AB上的点 且DE BC DE 2 将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置 使A1C CD 如图2 1 求证 A1C 平面BCDE 证明 因为 C 90 DE BC 所以BC CD BC A1D 因为CD A1D D CD 平面A1CD A1D 平面A1CD 所以BC 平面A1CD 因为A1C 平面A1CD 所以BC A1C DE A1C 又A1C CD CD BC C CD DE D DE BC 所以A1C 平面BCDE 2 若M是A1D上的点 试确定点M的位置 使得直线CM与平面A1BE所成角的正弦值为 解答 以C为原点 以CB CD CA1所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直 所以M为线段A1D 靠近点A1 四分之一处的点或三分之二处的点 命题点2求二面角例4已知点E F分别在正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1 CC1上 且B1E 2EB CF 2FC1 则平面AEF与平面ABCD所成的二面角的正切值为 答案 解析 利用向量法求空间角的方法 1 先求出直线的方向向量和平面的法向量 将求空间角转化为求两个向量的夹角 2 利用数量积求向量的夹角 然后根据和所求角的关系得到空间角 但要注意所求角的大小 思维升华 跟踪训练3 2016 全国丙卷 如图 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AD BC AB AD AC 3 PA BC 4 M为线段AD上一点 AM 2MD N为PC的中点 1 证明MN 平面PAB 证明 取BP的中点T 连接AT TN 由N为PC中点知TN BC TN BC 2 又AD BC 故TN綊AM 四边形AMNT为平行四边形 于是MN AT 因为AT 平面PAB MN 平面PAB 所以MN 平面PAB 2 求直线AN与平面PMN所成角的正弦值 解答 典例 14分 2016 吉林实验中学月考 如图1所示 正 ABC的边长为4 CD是AB边上的高 E F分别是AC和BC边的中点 现将 ABC沿CD翻折成直二面角A DC B 如图2所示 1 试判断直线AB与平面DEF的位置关系 并说明理由 2 求二面角E DF C的余弦值 3 在线段BC上是否存在一点P 使AP DE 证明你的结论 利用向量法解决立体几何问题 思想与方法系列21 规范解答 思想方法指导 对于较复杂的立体几何问题可采用向量法 1 用向量法解决立体几何问题 是空间向量的一个具体应用 体现了向量的工具性 这种方法可把复杂的推理证明 辅助线的作法转化为空间向量的运算 降低了空间想象演绎推理的难度 体现了由 形 转 数 的转化思想 2 两种思路 选好基底 用向量表示出几何量 利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断 建立空间直角坐标系 进行向量的坐标运算 根据运算结果的几何意义解释相关问题 返回 1 AB 平面DEF 理由如下 在 ABC中 由E F分别是AC BC中点 得EF AB 又AB 平面DEF EF 平面DEF AB 平面DEF 2分 2 以D为原点 建立如图所示的空间直角坐标系 则A 0 0 2 B 2 0 0 C 0 2 0 E 0 1 F 1 0 3分 易知平面CDF的法向量为 0 0 2 设平面EDF的法向量为n x y z 返回 课时训练 1 2017 西安质检 若平面 的法向量分别是n1 2 3 5 n2 3 1 4 则A B C 相交但不垂直D 以上答案均不正确 n1 n2 2 3 3 1 5 4 0 n1与n2不垂直 且不共线 与 相交但不垂直 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 已知平面 内有一点M 1 1 2 平面 的一个法向量为n 6 3 6 则下列点P中 在平面 内的是A P 2 3 3 B P 2 0 1 C P 4 4 0 D P 3 3 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 设u 2 2 t v 6 4 4 分别是平面 的法向量 若 则t等于A 3B 4C 5D 6 则u v 2 6 2 4 4t 0 t 5 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2016 泰安模拟 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为a M N分别为A1B和AC上的点 A1M AN 则MN与平面BB1C1C的位置关系是A 斜交B 平行C 垂直D MN在平面BB1C1C内 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点E为BB1的中点 则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2016 广州质检 已知平面 内的三点A 0 0 1 B 0 1 0 C 1 0 0 平面 的一个法向量n 1 1 1 则不重合的两个平面 与 的位置关系是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 9 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 E F分别是棱BC DD1上的点 如果B1E 平面ABF 则CE与DF的和的值为 答案 解析 以D1为原点 D1A1 D1C1 D1D所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系 设CE x DF y 则易知E x 1 1 B1 1 1 0 F 0 0 1 y B 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 如图 圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形 O为底面中心 M为SO中点 动点P在圆锥底面内 包括圆周 若AM MP 则点P形成的轨迹长度为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 2016 泉州模拟 如图所示 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC为等腰直角三角形 BAC 90 且AB AA1 D E F分别为B1A C1C BC的中点 求证 1 DE 平面ABC 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 以A为坐标原点 AB AC AA1所在直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示空间直角坐标系Axyz 令AB AA1 4 则A 0 0 0 E 0 4 2 F 2 2 0 B 4 0 0 B1 4 0 4 取AB中点为N 连接CN 则N 2 0 0 C 0 4 0 D 2 0 2 2 4 0 2 4 0 DE NC 又 NC 平面ABC DE 平面ABC 故DE 平面ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 B1F 平面AEF 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 杭州模拟 在平面四边形ABCD中 AB BD CD 1 AB BD CD BD 将 ABD沿BD折起 使得平面ABD 平面BCD 如图所示 1 求证 AB CD 证明 平面ABD 平面BCD 平面ABD 平面