高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2_4 二次函数与幂函数课件

2 4二次函数与幂函数 基础知识自主学习 课时训练 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 二次函数 1 二次函数解析式的三种形式 一般式 f x 顶点式 f x 零点式 f x 知识梳理 a x x1 x x2 a 0 a x m 2 n a 0 ax2 bx c a 0 2 二次函数的图象和性质 3 幂函数的性质 幂函数在 0 上都有定义 幂函数的图象过定点 1 1 当 0时 幂函数的图象都过点 1 1 和 0 0 且在 0 上单调递增 当 0时 幂函数的图象都过点 1 1 且在 0 上单调递减 2 幂函数 1 定义 一般地 函数y x 叫做幂函数 其中x是自变量 是常数 2 幂函数的图象比较 2 幂函数的图象和性质 1 幂函数的图象一定会出现在第一象限内 一定不会出现在第四象限 至于是否出现在第二 三象限内 要看函数的奇偶性 2 幂函数的图象过定点 1 1 如果幂函数的图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 二次函数y ax2 bx c x a b 的最值一定是 2 二次函数y ax2 bx c x R不可能是偶函数 3 在y ax2 bx c a 0 中 a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小 4 函数y 2x是幂函数 5 如果幂函数的图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 6 当n 0时 幂函数y xn是定义域上的减函数 考点自测 函数f x x2 4ax的图象是开口向上的抛物线 其对称轴是x 2a 由函数在区间 6 内单调递减可知 区间 6 应在直线x 2a的左侧 2a 6 解得a 3 故选D 1 教材改编 已知函数f x x2 4ax在区间 6 内单调递减 则a的取值范围是A a 3B a 3C a 3D a 3 答案 解析 2 幂函数y f x 的图象过点 4 2 则幂函数y f x 的图象是 答案 解析 答案 解析 3 已知函数y x2 2x 3在闭区间 0 m 上有最大值3 最小值2 则m的取值范围为 1 2 如图 由图象可知m的取值范围是 1 2 4 教材改编 已知幂函数y f x 的图象过点 则此函数的解析式为 在区间 上单调递减 0 答案 解析 单调减区间为 0 题型分类深度剖析 题型一求二次函数的解析式 例1 1 2016 太原模拟 已知二次函数f x 与x轴的两个交点坐标为 0 0 和 2 0 且有最小值 1 则f x 设函数的解析式为f x ax x 2 答案 解析 得a 1 所以f x x2 2x x2 2x 2 已知二次函数f x 的图象经过点 4 3 它在x轴上截得的线段长为2 并且对任意x R 都有f 2 x f 2 x 求f x 的解析式 解答 f 2 x f 2 x 对任意x R恒成立 f x 的对称轴为x 2 又 f x 的图象被x轴截得的线段长为2 f x 0的两根为1和3 设f x 的解析式为f x a x 1 x 3 a 0 又f x 的图象过点 4 3 3a 3 a 1 所求f x 的解析式为f x x 1 x 3 即f x x2 4x 3 求二次函数解析式的方法 思维升华 跟踪训练1 1 已知二次函数f x ax2 bx 1 a b R x R 若函数f x 的最小值为f 1 0 则f x 设函数f x 的解析式为f x a x 1 2 ax2 2ax a 由已知f x ax2 bx 1 a 1 故f x x2 2x 1 答案 解析 x2 2x 1 2 若函数f x x a bx 2a 常数a b R 是偶函数 且它的值域为 4 则该函数的解析式f x 由f x 是偶函数知f x 图象关于y轴对称 又f x 的值域为 4 2a2 4 故f x 2x2 4 答案 解析 2x2 4 题型二二次函数的图象和性质命题点1二次函数的单调性 例2函数f x ax2 a 3 x 1在区间 1 上是递减的 则实数a的取值范围是A 3 0 B 3 C 2 0 D 3 0 答案 解析 当a 0时 f x 3x 1在 1 上递减 满足条件 解得 3 a 0 综上 a的取值范围为 3 0 引申探究若函数f x ax2 a 3 x 1的单调减区间是 1 则a 3 由题意知a 0 答案 解析 命题点2二次函数的最值例3 2016 嘉兴教学测试 已知m R 函数f x x2 3 2m x 2 m g m max f 1 f 1 max 3m 2 4 m max 2 3m 4 m 又 4 m 2 3m 2 2m 0 g m 4 m 解答 2 对任意的m 0 1 若f x 在 0 m 上的最大值为h m 求h m 的最大值 解答 命题点3二次函数中的恒成立问题例4 1 已知函数f x x2 x 1 在区间 1 1 上不等式f x 2x m恒成立 则实数m的取值范围是 答案 解析 1 f x 2x m等价于x2 x 1 2x m 即x2 3x 1 m 0 令g x x2 3x 1 m 要使g x x2 3x 1 m 0在 1 1 上恒成立 只需使函数g x x2 3x 1 m在 1 1 上的最小值大于0即可 g x x2 3x 1 m在 1 1 上单调递减 g x min g 1 m 1 由 m 1 0 得m 1 因此满足条件的实数m的取值范围是 1 2 已知a是实数 函数f x 2ax2 2x 3在x 1 1 上恒小于零 则实数a的取值范围为 2ax2 2x 3 0在 1 1 上恒成立 当x 0时 3 0 成立 答案 解析 1 二次函数最值问题的解法 抓住 三点一轴 数形结合 三点是指区间两个端点和中点 一轴指的是对称轴 结合配方法 根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 2 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 一般有两个解题思路 一是分离参数 二是不分离参数 两种思路都是将问题归结为求函数的最值 至于用哪种方法 关键是看参数是否已分离 这两个思路的依据是 a f x 恒成立 a f x max a f x 恒成立 a f x min 思维升华 跟踪训练2 1 设函数f x ax2 2x 2 对于满足10 则实数a的取值范围为 答案 解析 跟踪训练2已知函数f x x2 2x 若x 2 a 求f x 的最小值 解答 函数f x x2 2x x 1 2 1 对称轴为直线x 1 x 1不一定在区间 2 a 内 应进行讨论 当 21时 函数在 2 1 上单调递减 在 1 a 上单调递增 则当x 1时 f x 取得最小值 即f x min 1 综上 当 21时 f x min 1 题型三幂函数的图象和性质 则k 等于 答案 解析 答案 解析 解2m 1 m2 m 1 得 1 m 2 1 幂函数的形式是y x R 其中只有一个参数 因此只需一个条件即可确定其解析式 2 在区间 0 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越靠近x轴 简记为 指大图低 在区间 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越远离x轴 思维升华 跟踪训练3 2016 绍兴模拟 幂函数的图象经过点 4 2 若0 a b 1 则下列各式正确的是 答案 解析 典例 14分 已知函数f x ax2 2ax 1在区间 1 2 上有最大值4 求实数a的值 分类讨论思想在二次函数最值中的应用 思想与方法系列3 已知函数f x 的最值 而f x 图象的对称轴确定 要讨论a的符号 思想方法指导 规范解答 解f x a x 1 2 1 a 1分 1 当a 0时 函数f x 在区间 1 2 上的值为常数1 不符合题意 舍去 5分 2 当a 0时 函数f x 在区间 1 2 上是增函数 最大值为f 2 8a 1 4 解得a 9分 3 当a 0时 函数f x 在区间 1 2 上是减函数 最大值为f 1 1 a 4 解得a 3 13分 综上可知 a的值为或 3 14分 返回 课时训练 1 函数f x x2 mx 1的图象关于直线x 1对称的充要条件是A m 2B m 2C m 1D m 1 已知函数f x x2 mx 1的图象关于直线x 1对称 则m 2 反之也成立 所以函数f x x2 mx 1的图象关于直线x 1对称的充要条件是m 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 幂函数y m Z 的图象如图所示 则m的值为A 0B 1C 2D 3 y m Z 的图象与坐标轴没有交点 m2 4m 0 即0 m 4 又 函数的图象关于y轴对称且m Z m2 4m为偶数 因此m 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 已知二次函数f x 满足f 2 x f 2 x 且f x 在 0 2 上是增函数 若f a f 0 则实数a的取值范围是A 0 B 0 C 0 4 D 0 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意可知函数f x 的图象开口向下 对称轴为x 2 如图 若f a f 0 从图象观察可知0 a 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 若函数f x x2 ax a在区间 0 2 上的最大值为1 则实数a等于A 1B 1C 2D 2 答案 解析 函数f x x2 ax a的图象为开口向上的抛物线 函数的最大值在区间的端点处取得 f 0 a f 2 4 3a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 已知二次函数f x 2ax2 ax 1 af x2 C f x1 f x2 D 与a值有关 答案 解析 又依题意 得x10 又x1 x2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2016 嘉兴教学测试一 若函数f x 是幂函数 则f 1 若满足f 4 8f 2 则f 设f x x 则f 1 1 由f 4 8f 2 得4 8 2 3 答案 解析 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 当0 x 1时 函数f x x1 1 g x x0 9 h x x 2的大小关系是 如图所示为函数f x g x h x 在 0 1 上的图象 由此可知 h x g x f x 答案 解析 h x g x f x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 当x 1 2 时 不等式x2 mx 4 0恒成立 则m的取值范围是 答案 解析 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 方法一 不等式x2 mx 4 0对x 1 2 恒成立 mx x2 4对x 1 2 恒成立 m 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 方法二设f x x2 mx 4 当x 1 2 时 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 若函数f x x2 a x 1 在 0 上单调递增 则实数a的取值范围是 0 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综上 a的取值范围是 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 已知函数f x x2 2ax 2 x 5 5 1 当a 1时 求函数f x 的最大值和最小值 当a 1时 f x x2 2x 2 x 1 2 1 x 5 5 f x 的对称轴为x 1 当x 1时 f x 取最小值1 当x 5时 f x 取最大值37 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 5 5 上是单调函数 f x x2 2ax 2 x a 2 2 a2的对称轴为x a f x 在 5 5 上是单调函数 a 5或 a 5 即a 5或a 5 故实数a的取值范围为 5 5 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 已知幂函数f x m N 1 试确定该函数的定义域 并指明该函数在其定义域上的单调性 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为m2 m m m 1 m N 而m与m 1中必有一个为偶数 所以m2 m为偶数 所以函数f x m N 的定义域为 0 并且该函数在 0 上为增函数 2 若函数f x 的图象经过点 2 试确定m的值 并求满足条件f 2 a f a 1 的实数a的取值范围 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以m2 m 2 解得m 1或m 2 又因为f 2 a f a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 2016 余姚中学期中 设函数f x x2 px q p q R 1 若p 2 当x 4 2 时 f x 0恒成立 求q的取值范围 当p 2时 f x x2 2x q 0恒成立 只需f x min 0 易知f x x2 2x q在x 4 2 上单调递减 所以f x min f 2 q