1.2独立性检验的基本思想及其初步应用

独立性检验的基本思想及其初步应用 涪陵高级中学 廖克权 对于性别变量 其取值为男和女两种 这种变量的不同 值 表示个体所属的不同类别 像这样的变量称为分类变量 在日常生活中 主要考虑分类变量之间是否有关系 如是否吸烟 是否患肺癌 宗教信仰 国籍等等 例如 吸烟是否与患肺癌有关系 性别是否对于喜欢数学课程有影响 等等 在统计学中 独立性检验就是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法 为调查吸烟是否对患肺癌有影响 某肿瘤研究所随机地调查了9965人 得到如下结果 单位 人 表1 7吸烟与患肺癌列联表 那么吸烟是否对患肺癌有影响 因此 直观上得到结论 吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异 0 54 2 28 等高条形图 0 54 2 28 上面我们通过分析数据和图形 得到的直观印象是 吸烟和患肺癌有关 这一直觉来自于观测数据 即样本 问题是它能够在多大程度上代表总体呢 能否用数量刻画出有关的程度 结论 ad bc 越小 说明吸烟与患肺癌之间关系越弱 ad bc 越大 说明吸烟与患肺癌之间关系越强 如果 吸烟与患肺癌没有关系 则在吸烟样本中不患肺癌的比例应该与不吸烟样本中相应的比例差不多 即 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准 基于上述分析 我们构造一个随机变量 若H0成立 即 吸烟与患肺癌没有关系 则K2应很小 由列联表中数据 利用公式 1 计算得K2的观测值为 1 其中n a b c d为样本容量 在H0成立的情况下 统计学家估算出如下的概率 也就是说 在H0成立的情况下 随机变量K2超过6 635的概率约为0 01 是一个小概率事件 现在K2的观测值为56 632 远远大于6 635 所以有理由断定H0不成立 即认为 吸烟与患肺癌有关系 但这种判断会犯错误 犯错误的概率不会超过0 01 即我们有99 的把握认为 吸烟与患肺癌有关系 利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为 两个分类变量有关系 的方法称为两个分类变量的独立性检验 独立性检验 若要推断的结论为H1 X与Y有关系 可进行如下操作 2 图形分析法 通过等高条形图 你能从上述探究过程中总结出判断两个分类变量有关系的思路吗 1 频率比较法 根据列联表 3 独立性检验法 查对临界值表 作出判断 如果K2值很大 就断言H0不成立 即认为 两个分类变量有关系 如果很小 则说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝H0 1 如果k 10 828 就有99 9 的把握认为 X与Y有关系 2 如果k 7 879 就有99 5 的把握认为 X与Y有关系 3 如果k 6 635 就有99 的把握认为 X与Y有关系 4 如果k 5 024 就有97 5 的把握认为 X与Y有关系 5 如果k 3 841 就有95 的把握认为 X与Y有关系 6 如果k 2 706 就有90 的把握认为 X与Y有关系 7 如果k 2 706 就认为没有充分的证据显示 X与Y有关系 临界值 例1在某医院 因为患心脏病而住院的665名男性病人中 有214人秃顶 而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中 有175人秃顶 利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系 能否在犯错误的概率不超过0 010的前提下认为秃顶与患心脏病有关系 解 根据题目所得数据得到列联表 1 等高条形图 从图中可以看出 秃顶样本中患心脏病的频率明显高于不秃顶样本中患心脏病的频率 因此可直观地认为秃顶与患心脏病有关系 因此 在犯错误的概率不超过0 010的前提下认为 秃顶与患心脏病有关 即有99 的把握认为 秃顶与患心脏病有关 2 独立性检验法 例2为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系 在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生 得到如下联表 由表中数据计算K2的观测值k 4 513 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系 为什么 这一结论只适用于被调查的学校 在一次天气恶劣的飞行航程中 调查了男女乘客在飞机上晕机的情况 男乘客晕机的有24人 不晕机的有31人 女乘客晕机的有8人 不晕机的有26人 请你根据所给数据判定 在天气恶劣的飞行航程中 男乘客是否比女乘客更容易晕机 某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏 于是该单位领导决定在餐厅墙壁上张贴文明标语 并对文明标语张贴前后餐椅的损坏情况作了一个统计 具体数据如下 1 通过频率比较法 图形分析法判断两个分类变量是否有关系 不精准 1 ad bc 2 a a b c c d a b c d b