复杂的乘法公式与整式除法.doc

复杂的乘法公式及整式除法1 思路导航：归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 换式变化，xy+(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2 增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz2 例题精讲例1（位置）已知，求的值。解： =， =例2 （符号）计算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b解：原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4例3（指数）计算 例4. （系数）计算： 简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。 解：原式 例5.（增项） 计算： 简析：由观察整式，不难发现，若先补上一项，则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。 解：原式 例6.（逆用）（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).解：（1） (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= 1+(x+y)1-(x+y)=12-(x+y)2=1-(x2+2xy+y2)= 1-x2-2xy-y2.（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)= (2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)= (2x+5)2-(y-z)2 =(4x2+20x+25)-(y2-2yz+z2)= 4x2+20x+25-y2+2yz-z2 = 4x2-y2-z2+2yz +20x+25 .例7. （连用）计算：解：原式例8.（换式） 计算：解：原式 例9.计算：(1) (6108)(3103) (-410-4)(2) 9(m-n)43(m-n)3 解：(1) (6108)(3103) (-410-4) 分析：此题可仿同底数 =6 (- )(10810310-4) 幂的乘除混合计算进行 =- 108-3-(-4)= - 108-3+4 第一步运算将10的幂的系数 =- 109 相乘除，10的幂相乘除 第二步再做10的幂的乘法 (2) 9(m-n)43(m-n)3 分析：此题运用两个单项式相除的法则 =9 (m-n)4(m-n)3 (m-n)的系数相除, (m-n)的指数相减 =3(m-n)4-3=3(m-n) 3(m-n)不能作结果，应用乘法分配律计算 =3m-3n. 三.易错点分析1 （ ） 2 （ ）3、（ ） 4 5 6 7例2 计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b（解略）四.即学即练例1（位置）已知，求的值。解： =， 例2（符号）计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5” 两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形 为符合平方差公式的形式解：原式=(2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z) =(2x+5)2-(y-z)2 =4x2+20x+25-y+2yz-z2例3（逆用）计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多解：原式=(a-2b+3c)+(a+2b-3c)(a-2b+3c)-(a+2b-3c) =2a(-4b+6c)=-8ab+12ac例4 （增项）计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =（28-1）（28+1） =216-1例5.（连用） 计算：解：原式例6，（指数）计算(2xy)(2xy)解：原式=(y)2x(y)2x=y24x2例7. 计算： 简析：由观察整式，不难发现，若先补上一项，则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。 解：原式 例8.（换式）如已知m+n=7，mn=18，求m2+n2，m2mn+ n2的值面对这样的问题就可用上述变式来解，即m2+n2=（m+n）22mn=722（18）=49+36=85，m2mn+ n2= （m+n）23mn=723（18）=103例9.计算：(1) 1213(310411)(2) a12b8 a9b6(3) -(-2a2)5 -(-a)33 解：(1) 1213(310411) 分析：将1213进行变形，1213=(34)13用积的乘方逆变形运算 =(34)13(310411) =313413(310411) 第二步可用法则展开 =313-10413-11最后将结果计算出来 =3342=2716 =432 (2) （法一） a12b8 a9b6 分析：法（一）运用两个单项式相除的法则进行计算 =a12-9b8-6=a3b2 （法二） 法（二）运用积的乘方的逆变形转化成(a3b2)的同底数幂相除进行计算 a12b8 a9b6 =(a3b2)4(a3b2)3 =(a3b2)4-3=a3b2 (3) -(-2a2)5 -(-a)33 分析：运算时注意符号，特别是负号较多时 =-(-32a10) (a9) =32a10-9 =32a 五.中考直通车例1. （02年济南中考）请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是_。分析：利用面积公式即可列出或或在上述公式中任意选一个即可。例2. （03年陕西中考）如图2，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是_。分析：利用面积公式即可列出或2. 条件开放例3. （03年四川中考）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是_（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。分析：解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式，得出 或只要再动点脑筋，还会得出 故所加的单项式可以是，或，或，或等。3. 找规律例4. （01年武汉中考） 观察下列各式：由猜想到的规律可得_。分析：由已知等式观察可知 例5. 在公式中，当a分别取1，2，3，n时，可得下列n个等式将这n个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式：_（用含n的代数式表示）分析：观察已知等式可知，后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边，将已知等式左右两边分别相加，得： 移项，整理得：6 分层实战演练 1、位置变化 如（3x+5y）（5y3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了2、符号变化 如（2m7n）（2m7n）变为（2m+7n）（2m7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）3、数字变化 如98102，992，912等分别变为（1002）（100+2），（1001）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了4、系数变化 如（4m+）（2m）变为2（2m+）（2m）后即可用平方差公式进行计算了5：（指数）已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。解析此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=144=56。6：（指数）判断（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1的个位数字是几？解析此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。解：（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1 =（2-1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1 =24096 =161024因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。+7（逆用） 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=(2a+3b)+(4a-5b)2=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b28（增项）计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便解：原式=(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)2 =(a3-1)(a6+a3+1)2 =(a9-1)2=a18-2a9+19：计算19992-20001998解析此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解：19992-20001998 =19992-（1999+1）（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =110计算(1)199821998399419972； 解(1)原式=1998221998199719972 =(19981997)2=111解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。（2）已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。（3）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。（4）已知，求的值。分析：在公式(a+b)2=a2+b2+2ab中，如果把a+b，a2+b2和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。解：（1）a2+b2=13，ab=6 (a+b)2=a2+b2+2ab=13+26=25 (a-b)2=a2+b2-2ab=13-26=1 （2）(a+b)2=7，(a-b)2=4 a2+2ab+b2=7 a2-2ab+b2=4 +得 2(a2+b2)=11，即 -得 4ab=3，即 （3）由a(a-1)-(a2-b)=2 得a-b=-2 （4）由，得 即 即 12.设a= , b= , n=1. 求a2n+1b3n-1an-1b2n-3的值。 分析：求值问题一定先观察代数式是否能进行化简，若能进行化简应先化简再求值。 解：a2n+1b3n-1an-1b2n-3分析: 第一步至第三步应用两个单项式相除的法则进行计算 =a2n+1-(n-1)b3n-1-(2n-3) =a2n+1-n+1b3n-1-2n+3 an+2bn+2再应用积