高三数学一轮复习（3年真题分类考情精解读知识全通关题型全突破能力大提升）第十四章 概率 第四讲 二项分布及其应用正态分布课件 理

目录Contents 考情精解读 考点1 考点2 A 知识全通关 B 题型全突破 考法1 考法2 考法4 考法3 C 能力大提升 易混易错 考情精解读 考纲解读 命题趋势 命题规律 1 了解条件概率和两个事件相互独立的概念 理解n次独立重复试验的模型及二项分布 并能解决一些简单的实际问题 2 利用实际问题的直方图 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 考纲解读 命题规律 命题趋势 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 考纲解读 命题规律 返回目录 1 热点预测利用事件的相互独立性或二项分布求概率 分布列 均值和方差仍然是高考考查本讲内容的重点 独立事件的概率 二项分布 条件概率和正态分布一般以选择题 填空题的形式呈现 分值为5分 分布列 均值和方差一般以解答题的形式呈现 分值12分 2 趋势分析预测2018年 仍以独立事件的概率 二项分布及其应用的考查为主 条件概率和正态分布虽然考查比较少 但也需要引起重视 命题趋势 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 知识全通关 考点1二项分布及其应用 继续学习 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 1 条件概率及其性质条件概率 一般地 设A B为两个事件 且P A 0 称P B A 为在事件A发生的条件下 事件B发生的条件概率 条件概率的性质 1 非负性 0 P B A 1 2 可加性 如果B和C是两个互斥事件 则P B C A P B A P C A 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 注意 P B A 表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率 而P AB 表示事件A B同时发生的概率 这是两个不同的概念 在P A 0的条件下 P AB P A P B A 2 事件的相互独立性设A B为两个事件 若P AB P A P B 则称事件A与事件B相互独立 相互独立事件的性质 1 如果事件A B相互独立 那么A与 与B 与也相互独立 2 若事件A1 A2 An n 2 n N 相互独立 则这n个事件同时发生的概率P A1A2 An P A1 P A2 P An 3 若A与B相互独立 则P B A P B P AB P B A P A P A P B P A 0 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点 1 相同点 二者都是描述两个事件间的关系 2 不同点 互斥事件强调两事件不可能同时发生 相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 相互独立事件不一定互斥 即可能同时发生 而互斥事件不可能同时发生 名师提醒 继续学习 高考帮数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 3 独立重复试验与二项分布 1 独立重复试验 一般地 在相同的条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 注意 1 独立重复实验的条件 每次试验在相同条件下可重复进行 各次试验是相互独立的 每次试验都只有两种结果 即事件要么发生 要么不发生 2 独立重复试验是相互独立事件的特例 只要有 恰好 恰有 字样 用独立重复试验的概率公式计算更简单 2 二项分布 一般地 在n次独立重复试验中 设事件A发生的次数为X 在每次试验中事件A发生的概率为p 则事件A恰好发生k次的概率为P X k pk 1 p n k k 0 1 2 n 则称随机变量X服从二项分布 记作X B n p 并称p为成功概率 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 名师提醒 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 考点2正态分布 1 正态曲线及其特点我们把函数x 其中 是样本均值 是样本标准差 的图象称为正态分布密度曲线 简称正态曲线 正态曲线的性质 1 曲线位于x轴上方 与x轴不相交 2 曲线是单峰的 它关于直线x 对称 3 曲线在x 处达到峰值 最大值 4 曲线与x轴之间的面积为1 5 当 一定时 曲线的位置由 确定 曲线随着 的变化而沿x轴平移 如图14 4 1 1 所示 6 当 一定时 曲线的形状由 确定 越小 曲线越 瘦高 表示总体的分布越集中 越大 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 如图14 4 1 2 所示 图14 4 1 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 2 正态分布 1 正态分布的定义及表示如图14 4 2 如果对于任何实数a b a b 随机变量X满足P a X b x dx 则称随机变量X服从正态分布 常记作N 2 如果随机变量X服从正态分布 则记为X N 2 2 正态分布的三个常用数据 P X 0 6826 P 2 X 2 0 9544 P 3 X 3 0 9974 3 3 原则由P 3 X 3 0 9974 知正态总体几乎总取值于区间 3 3 之内 而在此区间以外取值的概率只有0 0026 通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生 在实际应用中 通常认为服从于正态分布N 2 的随机变量X只取 3 3 之间的值 并简称之为3 原则 图14 4 2 返回目录 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 名师提醒 1 在N 2 中 第二个数是 2 而不是 2 若X N 2 则随机变量X在 的附近取值的概率很大 在离 很远处取值的概率很小 3 标准正态分布在正态分布中 若 0 1 则正态分布称为标准正态分布 相应的分布密度函数为f x x R 相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态分布N 0 1 在正态分布的研究中占有重要的地位 因为任何正态分布的概率问题都可以转化成标准正态分布的概率问题来求解 题型全突破 考法1条件概率的计算 继续学习 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 考法指导计算条件概率的方法一般有下面两种 1 利用定义计算 先分别计算概率P AB 和P A 然后代入公式P B A 2 利用缩小样本空间法计算 局限在古典概型内 即将原来的样本空间 缩小为已知的事件A 原来的事件B缩小为AB 利用古典概型计算概率 P B A 注意 P AB P B A P A B P A P B 之间关系的应用 即P B A P A B P AB P A B P B P B A P A 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 考法示例1在100件产品中有95件合格品 5件不合格品 现从中不放回地取两次 每次任取一件 则在第一次取到不合格品后 第二次取到不合格品的概率为 思路分析 根据条件概率的定义求解或用缩小样本空间的方法求解 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 解析 解法二第一次取到不合格品后 也就是在第二次取之前 还有99件产品 其中有4件不合格的 因此第二次取到不合格品的概率为 解法一设事件A为 第一次取到不合格品 事件B为 第二次取到不合格品 则P AB 所以P B A 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 考法2相互独立事件概率的计算 继续学习 考法指导1 求相互独立事件概率的步骤计算相互独立事件同时发生的概率 一般分为以下几步 第一步 先用字母表示出题中有关事件 第二步 根据题设条件 分析事件间的关系 第三步 将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个乘积之和 相互乘积的事件之间必须满足相互独立 第四步 利用乘法公式计算概率 此外 也可以从对立事件入手计算概率 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 2 相互独立事件的概率的求法 1 直接法 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解 2 间接法 正面计算较烦琐 如求用 至少 表述的事件的概率 或难以入手时 可从其对立事件入手计算 与相互独立事件A B有关的概率的计算公式如下表 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 考法示例2甲 乙两人轮流投篮 每人每次投一球 约定甲先投且先投中者获胜 一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束 设甲每次投篮投中的概率为 乙每次投篮投中的概率为 且各次投篮互不影响 1 求甲获胜的概率 2 求投篮结束时甲的投球次数 的分布列与期望 思路分析 1 直接利用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式求解 2 求出 取各个值的概率 求分布列和期望 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 解析 设Ak Bk分别表示 甲 乙在第k次投篮投中 则 1 记 甲获胜 为事件C 由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 解析 2 的所有可能取值为1 2 3 且P 1 P A1 P B1 P 2 P A2 P B2 综上知 的分布列为 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 一个实际问题中往往涉及多个事件 正确理解这些事件之间的相互关系是解决问题的核心 一般的思路是先把所要解决的随机事件分成若干个互斥事件的和 再把这些互斥事件中的每一个事件分成若干个相互独立事件的乘积 把所要求的随机事件的概率计算转化为已知的一些事件的概率之积 之和的计算 这是化解概率计算问题难点的关键 突破攻略 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 考法3二项分布的应用 继续学习 考法指导1 二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 解题的一般思路是 根据题意设出随机变量 分析出随机变量服从二项分布 找到参数n p 将k值代入求解概率 写出二项分布的分布列 2 若离散型随机变量X B n p 则E X np D X np 1 p 即其均值和方差的求解既可以利用定义 也可以直接代入上述公式 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 考法示例3某气象站天气预报的准确率为80 计算 结果保留到小数点后第2位 1 5次预报中恰有2次准确的概率 2 5次预报中至少有2次准确的概率 3 5次预报中恰有2次准确 且其中第3次预报准确的概率 思路分析 直接代入公式求解 其中第 2 问可以利用对立事件求概率 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 解析 点评 弄清 5次中有2次准确且第3次准确 表示的意义是求解第 3 问的关键 它表示第3次准确 其他4次有1次是准确的 令X表示5次预报中预报准确的次数 则X B 5 故其分布列为 1 5次预报中恰有2次准确 的概率为 2 5次预报中至少有2次准确 的概率为 3 5次预报中恰有2次准确 且其中第3次预报准确 的概率为 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 考法示例4某市为了调查学校 阳光体育活动 在高三年级的实施情况 从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球 重3kg 测试 成绩在6 9米以上的为合格 把所得数据进行整理后 分成5组画出频率分布直方图的一部分 如图14 4 5所示 已知成绩在 9 9 11 4 的频数是4 1 求这次铅球测试成绩合格的人数 2 若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名 记 表示两人中成绩不合格的人数 利用样本估计总体 求 的分布列 均值与方差 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 解析 1 由频率分布直方图 知成绩在 9 9 11 4 的频率为1 0 05 0 22 0 30 0 03 1 5 0 1 因为成绩在 9 9 11 4 的频数是4 故抽取的总人数为4 0 1 40 又成绩在6 9米以上的为合格 所以这次铅球测试成绩合格的人数为40 0 05 1 5 40 37 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 解析 2 的所有可能的取值为0 1 2 利用样本估计总体 从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为 成绩不合格的概率为 可判断 B 2 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 考法4正态分布及其应用 继续学习 考法指导对于正态分布N 2 由x 是正态曲线的对称轴知 1 P x P x 0 5 2 对任意的a 有P X a 3 P X x0 1 P X x0 4 P a X b P X b P X a 服从N 2 的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法 1 利用P X P 2 X 2 P 3 X 3 的值直接求 2 充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 考法示例5若随机变量 服从正态分布N 0 1 已知P 1 96 0 025 则P 1 96 A 0 025B 0 050C 0 950D 0 975 思路分析 由题意可知 0 可知正态曲线关于y轴对称 可得P 1 96 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 解析 由随机变量 服从正态分布N 0 1 得P 1 96 1 P 1 96 所以P 1 96 P 1 96 1 96 P 1 96 P 1 96 1 2P 1 96 1 2P 1 96 1 2 0 025 0 950 答案 C 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 继续学习 考法示例6为了了解某地区高三男生的身体发育状况 抽查了该地区1000名年龄在17 5岁至19岁的高三男生的体重情况 抽查结果表明他们的体重X kg 服从正态分布N 22 且正态曲线如图14 4 6所示 若体重大于58 5kg小于等于62 5kg属于正常情况 则这1000名男生中体重属于正常情况的人数是A 997B 954C 819D 683 思路分析 解决本题的关键是求P 58 5 X 62 5 返回目录 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 解析 由题意 可知 60 5 2 故P 58 5 X 62 5 P X 0 6826 从而体重属于正常情况的人数是1000 0 6826 683 答案 D 能力大提升 混淆二项分布与超几何分布致误 继续学习 高考帮数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 二项分布和超几何分布是两类重要的概率分布模型 这两种分布存在着很多的相似之处 在应用时应注意各自的适用条件和情境 以免混用出错 示例7某农场计划种植某种新作物 为此对这种作物的两个品种 分别称为品种甲和品种乙 进行田间试验 现在在总共8小块地中 随机选4小块地种植品种甲 另外4小块地种植品种乙 种植完成后若随机选出4块地 其中种植品种甲的小块地的数目记为X 求X的分布列和均值 思路分析 判断分布的类型 确定X的取值及其概率 列出分布列并求均值 继续学习 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 解析 继续学习 数学第四讲二项分布及其应用 正态分布 易错提示 本题容易错误地得到X服从二项分布 每块地种植甲的概率为 故X B 4 0 5 错误的根源在于每块地种植甲或乙不是相互独立的 它们之间是相互制约的 无论怎么种植都要保证8块地中有4块种植甲