复件 不变子空间的性质与构造.doc

1 绪论1.1引言 空间中的任何元素经过映射映射后，新的元素仍在这个空间里，这个空间叫做这个映射下的不变空间.不变自空间是原空间的一个子集，对于原空间运算也构成空间且封闭.其作用是可以在子空间去考虑原空间的代数性质，而不必回到原空间，从而将问题简化.这也是本文的主要目的.赞同全文总共分为三部分.第一部分为绪论部分为全文作介绍，方便读者了解本文的中心思想. 第二部分主要介绍基本概念，为下面主体部分作铺垫. 第三部分为全文的主体部分，篇幅较长，突出介绍文章的结论及应用.主要内容包括：1.不变子空间基本概念-定义与性质；2.不变子空间的结论-定理及推论；3.不变子空间的一些探讨-不变子空间的矩阵计算和不变子空间的应用等.2基本概念2.1定义定义11 线性空间的一个变换称为线性变换,如果对于中任意的元素和数域F中任意数，都有定义21 设是数域F上线性空间的线性变换,是的子空间.如果中的向量在下的像仍然在中,换句话说,对于中任意一个向量,有我们就称是的不变子空间,简称子空间.2.2下面介绍几种性质：性质12 设，都是的不变子空间，则都是的不变子空间. 证明 设，则存在,使得.所以,故而 为的不变子空间.同理可证为的不变子空间.性质22 设，若为的不变子空间，则也是的不变子空间，其中是数域上的多项式.证明 由于()是数域上的多项式，不妨设，所以 . 则有 ，故依次可知 ，所以为的不变子空间.性质33 设，若可逆且为的不变子空间，则也为的不变子空间.证明 由于为的不变子空间, ， 有.又因为可逆，故，有 ，所以 ，于是，也是的不变子空间.性质43 设是线性变换，的不变子空间，则在，下也不变. 证明 ，从而 ， 故在，下均不变.性质54 设是线性空间V的线性变换，W是的不变子空间.由于W中向量在下的像仍在W中，这就使得有可能不必在整个空间V中来考虑，而只在不变子空间W中考虑，即把看成是W的一个线性变换，称为在不变子空间W上引起的变换.为了区别起见，用符号来表示.必须在概念上弄清楚和的异同：是V的线性变换，V中每个向量在下都有确定的像；是不变子空间W上的线性变换，对于W中任一向量有 .但是对于V中不属于W的向量来说，是没有意义的. 性质6 W是一维-子空间等价于W=L（），其中是的特征向量.性质74 的属于特征值的特征子空间也是的不变子空间.3结论及应用3.1本节部分主要介绍关于不变子空间的若干定理以及与实际应用之间的联系，如不变子空间与线性变换矩阵化简之间的联系.定理15 1）设是n维线性空间V的线性变换，W是V的-子空间.在W中取一组基，并且把它扩充成V的一组基 . （1）那么，在这组基下的矩阵就具有下列形状 = (2)其中左上角的K级矩阵就是在W的基下的矩阵.2）设V分解成若干个-子空间的直和： .在每一个-子空间中取基 （i=1,2，s）， （3）并把它们合并起来成为V的一组基I，则在这组基下，的矩阵具有准对角形状 （4）其中（i=1,2，s）就是在基（3）下的矩阵.反之，如果线性变换在基I下的矩阵是准对角形（4），则由（3）生成的子空间是-子空间.由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是等价的.定理2 设是n维线性空间V的线性变换，证明V可以分解成的n个一维不变子空间的直和的充分必要条件是，V有一个由的特征向量组成的基.证明 设，其中每个都是的一维不变子空间.取的基，则，且，即是的特征向量，而且构成的一组基.反之，设的n个特征向量构成的一组基，则）是的不变子空间，且.定理31 设线性变换的特征多项式为，它可以分解成一次因式的乘积， 则V可分解成不变子空间的直和 其中 定理46 设是维线性空间，线性变换在某个基下矩阵为，则（1） 若，其中为阶方阵，当且仅当是的不变子空间；（2） 若， 其中 为阶方阵 ， 当且仅当是的不变子空间；（3） 若，其中为阶方阵，其中为阶方阵，当且仅当，及 都是不变子空间.定理52 设是复数域上维线性空间，是的线性变换，在基， 下的矩阵是一若当标准形证明：有且仅有和以下非零不变子空间，证明 由不变子空间性质可知，是的不变子空间.又由于中一阶主子式所在列的其他元素全部是零的只有第列，因此一维不变子空间仅有；中二阶主子式所在列其余元素全部是零的子式只有第，列的主子式，故二维不变子空间只有，以此类推可得，中所在列的其他元素均为零的阶主子式为第列的主子式为.因此的维不变子空间仅有，而维不变子空间只有综上，于是得到的非零不变子空间有且仅有个，.注：由此证明了以下推论：推论1 中包含的的不变子空间只有自身；推论2 中的任一非零不变子空间都包含；推论3 不能分解成的两个非平凡不变子空间的直和；推论4设是复数域上维线性空间，是的线性变换，在基， 下的矩阵是一若当块组成的准对角形矩阵，其中，.则有且仅有和以下非零不变子空间， ，.定理61 在复数域上（1） 如果线性变换是一个对称变换，那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间.（2） 如果线性变换是一个反对称变换，那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间.（3） 如果线性变换是一个酉变换，那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间.3.2不变子空间的一些探讨3.2.1特殊情况下两个相似矩阵的过渡矩阵的求法 我们发现，循环子空间下，在形式上和有理数域上方阵的有理标准型有着非常相似的地方. 一般情形下，已知有理数域k上的方阵A，要求出使得为有理标准型的可逆矩阵p是非常困难的，而对于任意两个相似的矩阵，要求他们之间的过渡矩阵也是比较困难的. 在此，我们先给出一种新的标准型，利用这种标准型，在一定意义上，可以求出两个相似矩阵之间的过渡矩阵.由于本课题讨论的求过渡矩阵的方法是在特殊条件-最小多项式等于特征多项式的情形下进行的，所以，现在仅给出这种情形下的新标准型.一般情形可以类似推广. 设数域F上的方阵为A，已知它的最小多项式等于特征多项式，则我们易知，与等价.设，则A与如下标准型相似： ，其中为伴侣阵. 为方便讨论，这里不妨将上述标准型叫做标准型（*）. 证明 A，B相似等价，故上面结论容易证明. 所以，为得到最小多项式等于特征多项式的两个相似矩阵之间的过渡矩阵，我们只需得到它们分别和标准型（*）之间的过渡矩阵，就容易得到它们之间的过渡矩阵.接下来，我们来对此进行讨论. 已知： 以下，我们先给出两个引理.引理1 对于每个i，.证明 (反证法)若不然，容易证明.所以，有所以，有与为最小多项式矛盾，所以，原结论成立.引理2 以上方法得到的，有，且线性无关.证明：显然.下证线性无关.假设线性相关，则存在不全为0的数使得.即.由于假设，并且最小多项式为，所以,.我们可以得到.因为，所以有.又因为，故.则易有，所以与的取法矛盾，故假设不成立.即线性无关.证毕！由以上讨论，我们来研究复数域上的满足最小多项式等于特征多项式的两个相似方阵之间的过渡矩阵是如何求得的. 若数域F上A的最小多项式和特征多项式相同，在这种情况下，我们来讨论如何求得所要求的可逆矩阵P.定理6 对复数域k上的方阵A，当它的最小多项式和特征多项式相同时，可以求出过渡矩阵P，使得为标准型（*）.证明：我们知道，在复数域上，每个多项式都可以分解成一次因式的乘积，所以，对于每个i，是一次因式.在中，选取，使得这样，就得 是一组无关向量组，并且有个向量，所以，以上向量是线性空间V的一组基.并且，显然有.其中.则容易证明，在这组基下，矩阵为标准型（*）.证毕！根据以上的讨论，我们来看以下例题. 例1 已知，A=，B=证明：A，B相似，并求A，B之间的过渡矩阵. 解：A，B相似容易证明.下面来求它们之间的过渡矩阵.容易知道，因为它们的最小多项式和特征多项式相同，即 所以，我们可以借助之前讨论的方法，来求出复数域上的过渡矩阵.先将A标准化，化成标准型（*）.在中取一个向量，所以， 在中取一个向量，所以， 所以，取，有再将B标准化，化成标准型（*） 在中取一个向量 在中取一个向量所以，取,有.综上，所以.所以，所要求的过渡矩阵为.解得.3.2.2一般数域P上的线性变换的不变子空间例1 对任意的,本身及零子空间都是的不变子空间,称为平凡不变子空间.例2 对任意的,分别称 为的像与核.容易证得与都是的不变子空间.例3 设，是的一个特征值，为的属于的特征向量，由生成的子空间是的不变子空间，即.例47 设，是的一个特征值，为的恒等变换，则称 存在正整数，为的对应于的根子空间，称为的属于的高为的根向量，为的不变子空间.证明 若，其高分别为，令，则， = 0故为的子空间.又设且高为，则 = = = 0故为的不变子空间.例5 若存在非零向量，则 显然是的不变子空间，称为的由生成的循环子空间.证明 在为非零子空间时，存在正整数且，且，使得为基. 事实上，容易证明：若能够被线性表出，则中的任何向量都能被线性表出并且容易证得线性无关，所以，则即为的一组基.例6 设，则必有维的不变子空间.解 在中定义内积使成为酉空间.令为的共轭变换的一个特征向量，则 的正交补空间的维数对任何有 故，所以就是的一个维不变子空间.例7 设为数域上不超过的多项式全体连同零多项式作成的线性空间.，定义，其中为的一阶导数.则求出的全部不变子空间.解 由不变子空间的性质知，及均为的不变子空间.假设是的任一非零不变子空间，则中必有次数最高的多项式，设为，令，则 所以，倒推上去依次可得.故由为中次数最高的多项式知，从而的全部不变子空间为，. 例88 设是数域上的维线性空间，是可逆的线性变换，是的不变子空间，则也是的不变子空间.举例说明有限的条件不能省略.证明 若或时结论显然成立.设，任意取的一组基，则由是的不变子空间知，且线性无关.从而作成的一组基.由此 所以也是的不变子空间.对无限维线性空间此结论不成立，例如：令作线性变换，为自然数（这种线性变换是存在的），既是满射，又是单射，从而可逆，且，但，因为.3.2.3应用举例例99 设是的线性变换，在基下矩阵，求的所有不变子空间 解 在中至少有以下四个的不变子空间：，又，知为可逆的线性变换. 故，=，=，此外若还有其它不变子空间必是一维的，因而应为特征向量所生成，但是由于的特征多项式无实根，故在中无特征值，从而没有实特征向量，这表明仅有两个平凡的不变子空间.结论 （1）在求的所有不变子空间时，既不能漏掉也不能重复. （2）给定后，线性空间中至少有，四个不变子空间， 然后再设法去找其他的不变子空间. （3）对有限维线性空间来讲，可以按照维数去找，能保证既不会漏掉也不会重复.例109 设是复数域上的维线性空间，是的两个线性变换，且满足. （1）证明：的每个特征子空间都在下不变； （2）在中有一公共的特征向量； （3）设是上一组（有限个或无限个）两两可换的线性变换.证明：这组线性变换在中有一公共的特征向量.证明（1）设是的任一特征值，是属于的特征子空间，则所以 故，所以在下不变.（2）设，则是复数域上线性空间的线性变换.在中取必有特征值，与对应的特征向量，则，即是的特征向量，又，所以，这表明在中有一公共的特征向量.（3）对用归纳法.当 时，的任意非零向量都可以构成的基.设，则有（这是因为），即是的公共的特征向量.假设结论对维数的线性空间成立，下证结论对维空间也成立.若中每个非零向量都是中的线性变换的特征向量，结论已证.否则，中至少有一非零向量，它不是中某个的特征向量.设是一个特征值，则属于的特征子空间是的一个真子空间，故，由于中的线性变换两两可换，故是中所有线性变换的不变子空间，于是中每一个线性变换在中有导出变换.由归纳假设，这些导出变换在中有公共的特征向量.而的线性变换与它们的导出变换对的作用相同，