高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的立体几何问题课件理北师大版

高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题 考点自测 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 考点自测 1 2015 课标全国 已知A B为双曲线E的左 右顶点 点M在E上 ABM为等腰三角形 且顶角为120 则E的离心率为 答案 解析 ABM为等腰三角形 且 ABM 120 BM AB 2a MBN 60 答案 解析 由 OP OF OF 知 FPF 90 即FP PF 由椭圆定义 得 PF PF 2a 4 8 12 在Rt PFF 中 由勾股定理 答案 解析 设C x1 y1 x1 0 D x2 y2 即2c4 a2b2 a2 a2 c2 a4 a2c2 2c4 a2c2 a4 0 2e4 e2 1 0 2 设B为双曲线的右焦点 如图所示 四边形OABC为正方形且边长为2 又a2 b2 c2 8 a 2 答案 解析 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一求圆锥曲线的标准方程 答案 解析 设A x1 y1 B x2 y2 联立直线与椭圆的方程 又因为a2 b2 9 解得b2 9 a2 18 得 a2 b2 x2 6b2x 9b2 a4 0 思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型 主要利用圆锥曲线的定义 几何性质 解得标准方程中的参数 从而求得方程 跟踪训练1 2015 天津 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一个焦点为F 2 0 且双曲线的渐近线与圆 x 2 2 y2 3相切 则双曲线的方程为 答案 解析 则a2 b2 4 题型二圆锥曲线的几何性质 例2 1 2015 湖南 若双曲线 1的一条渐近线经过点 3 4 则此双曲线的离心率为 答案 解析 即3b 4a 9b2 16a2 9c2 9a2 16a2 答案 解析 思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点 求离心率 准线 双曲线渐近线 是常考题型 解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义 及相关参数间的联系 掌握一些常用的结论及变形技巧 有助于提高运算能力 答案 解析 PF p EF p y p 题型三最值 范围问题 例3若直线l y 过双曲线 1 a 0 b 0 的一个焦点 且与双曲线的一条渐近线平行 1 求双曲线的方程 解答 所以a2 3b2 且a2 b2 c2 4 2 若过点B 0 b 且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M N MN的垂直平分线为m 求直线m在y轴上的截距的取值范围 解答 几何画板展示 由 1 知B 0 1 依题意可设过点B的直线方程为 y kx 1 k 0 M x1 y1 N x2 y2 设MN的中点为Q x0 y0 得1 3k2 1 0 0 1 故直线m在y轴上的截距的取值范围为 4 4 思维升华 圆锥曲线中的最值 范围问题解决方法一般分两种 一是代数法 从代数的角度考虑 通过建立函数 不等式等模型 利用二次函数法和均值不等式法 换元法 导数法等方法求最值 二是几何法 从圆锥曲线的几何性质的角度考虑 根据圆锥曲线几何意义求最值与范围 跟踪训练3如图 曲线 由两个椭圆T1 1 a b 0 和椭圆T2 1 b c 0 组成 当a b c成等比数列时 称曲线 为 猫眼 a 2 c 1 解答 证明 几何画板展示 设斜率为k的直线交椭圆T1于点C x1 y1 D x2 y2 线段CD的中点为M x0 y0 k存在且k 0 x1 x2且x0 0 3 若斜率为的直线l为椭圆T2的切线 且交椭圆T1于点A B N为椭圆T1上的任意一点 点N与点A B不重合 求 ABN面积的最大值 解答 几何画板展示 由 0化简得m2 b2 2c2 由 0得m2 b2 2a2 l1 l2两平行线间距离 题型四定值 定点问题 例4 2016 全国乙卷 设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为A 直线l过点B 1 0 且与x轴不重合 l交圆A于C D两点 过B作AC的平行线交AD于点E 1 证明 EA EB 为定值 并写出点E的轨迹方程 解答 因为 AD AC EB AC 故 EBD ACD ADC 所以 EB ED 故 EA EB EA ED AD 又圆A的标准方程为 x 1 2 y2 16 从而 AD 4 所以 EA EB 4 由题设得A 1 0 B 1 0 AB 2 几何画板展示 2 设点E的轨迹为曲线C1 直线l交C1于M N两点 过B且与l垂直的直线与圆A交于P Q两点 求四边形MPNQ面积的取值范围 解答 几何画板展示 当l与x轴不垂直时 设l的方程为y k x 1 k 0 M x1 y1 N x2 y2 故四边形MPNQ的面积 当l与x轴垂直时 其方程为x 1 MN 3 PQ 8 四边形MPNQ的面积为12 思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种 1 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 2 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 解答 1 求椭圆C的方程 又a2 b2 c2 解得a 2 2 设P是椭圆C上一点 直线PA与y轴交于点M 直线PB与x轴交于点N 求证 AN BM 为定值 证明 几何画板展示 由 1 知 A 2 0 B 0 1 设椭圆上一点P x0 y0 当x0 0时 y0 1 BM 2 AN 2 AN BM 4 故 AN BM 为定值 题型五探索性问题 例5 2015 广东 已知过原点的动直线l与圆C1 x2 y2 6x 5 0相交于不同的两点A B 解答 圆C1 x2 y2 6x 5 0化为 x 3 2 y2 4 圆C1的圆心坐标为 3 0 1 求圆C1的圆心坐标 2 求线段AB的中点M的轨迹C的方程 解答 几何画板展示 设M x y A B为过原点的直线l与圆C1的交点 且M为AB的中点 由圆的性质知MC1 MO 由向量的数量积公式得x2 3x y2 0 易知直线l的斜率存在 设直线l的方程为y mx 把相切时直线l的方程代入圆C1的方程 当直线l经过圆C1的圆心时 M的坐标为 3 0 又 直线l与圆C1交于A B两点 M为AB的中点 点M的轨迹C的方程为x2 3x y2 0 3 是否存在实数k 使得直线L y k x 4 与曲线C只有一个交点 若存在 求出k的取值范围 若不存在 说明理由 解答 几何画板展示 若直线L与曲线C只有一个交点 令f x 0 当 0时 思维升华 1 探索性问题通常采用 肯定顺推法 将不确定性问题明朗化 其步骤为假设满足条件的元素 点 直线 曲线或参数 存在 用待定系数法设出 列出关于待定系数的方程组 若方程组有实数解 则元素 点 直线 曲线或参数 存在 否则 元素 点 直线 曲线或参数 不存在 2 反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法 跟踪训练5已知抛物线C y2 2px p 0 的焦点为F A为C上异于原点的任意一点 过点A的直线l交C于另一点B 交x轴的正半轴于点D 且有 FA FD 当点A的横坐标为3时 ADF为正三角形 1 求C的方程 解答 因为 FA FD 解得t 3 p或t 3 舍去 所以抛物线C的方程为y2 4x 2 若直线l1 l 且l1和C有且只有一个公共点E 证明直线AE过定点 并求出定点坐标 证明 由 1 知F 1 0 因为直线l1和直线AB平行 设A x0 y0 x0y0 0 D xD 0 xD 0 因为 FA FD 则 xD 1 x0 1 由xD 0 得xD x0 2 故D x0 2 0 直线AE恒过点F 1 0 所以直线AE过定点F 1 0 ABE的面积是否存在最小值 若存在 请求出最小值 若不存在 请说明理由 解答 几何画板展示 由 知直线AE过焦点F 1 0 设直线AE的方程为x my 1 所以点B到直线AE的距离为 所以 ABE的面积的最小值为16 则 ABE的面积 课时作业 1 求椭圆E的方程 1 2 3 4 解答 5 a 2 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 当直线l与x轴垂直时不满足条件 即4 x1 2 x2 2 y1 1 y2 1 5 故可设A x1 y1 B x2 y2 直线l的方程为y k x 2 1 代入椭圆方程得 3 4k2 x2 8k 2k 1 x 16k2 16k 8 0 1 2 3 4 5 4 x1 2 x2 2 1 k2 5 即4 x1x2 2 x1 x2 4 1 k2 5 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 设A x1 y1 则B x1 y1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 当l1的斜率为2时 直线l1的方程为y 2x b 从而a2 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解答 由题意 直线l1 l2的斜率存在且不为0 得 4 5k2 x2 20kx 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 求该椭圆的离心率 解答 1 2 3 4 5 2 设直线AB和AC分别与直线x 4交于点M N 问 x轴上是否存在定点P使得MP NP 若存在 求出点P的坐标 若不存在 说明理由 解答 1 2 3 4 5 依题意 直线BC的斜率不为0 设B x1 y1 C x2 y2 设其方程为x ty 1 1 2 3 4 5 假设x轴上存在定点P p 0 使得MP NP 将x1 ty1 1 x2 ty2 1代入上式 整理得 1 2 3 4 5 所以x轴上存在定点P 1 0 或P 7 0 使得MP NP 1 2 3 4 5 解答 1 求椭圆的标准方程 1 2 3 4 5 将点P的坐标代入椭圆方程得c2 1 1 2 3 4 5 解答 2 求四边形ACBD