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3 1 4空间向量的直角坐标运算 空间向量基本定理 思考 空间向量的基本定理是由什么类比推广而得到的呢 在平面直角坐标系中如何用坐标表示向量呢 思考 一 空间直角坐标系 空间直角坐标系的画法 o 1 x轴与y轴 x轴与z轴均成1350 而z轴垂直于y轴 2 y轴和z轴的单位长度相同 x轴上的单位长度为y轴 或z轴 的单位长度的一半 这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底 i j k 这个基底叫做单位正交基底 单位向量i j k都叫做坐标向量 空间向量的直角坐标运算 在空间直角坐标系Oxyz中 已知任一向量a 根据空间向量分解定理 存在唯一数组 x y z 使 分别为向量a在i j k方向上的分向量 空间向量的直角坐标运算 思考 平面向量用坐标表示后 平面向量有哪些线性运算法则 如何类比推广到空间呢 利用学过的知识 你能类比猜想出空间向量运算的坐标表示吗 动动脑 动动手 你会得到意想不到的收获 例1已知a 1 4 8 b 3 10 4 求a b a b 3a 2b a b 1 4 8 3 10 4 1 3 4 10 8 4 4 6 4 a b 1 4 8 3 10 4 3 40 32 69 3a 2b 3 1 4 8 2 3 10 4 3 32 32 变式 已知a b 1 4 8 a b 3 10 4 求3a 2b 法一 由a b 1 4 8 a b 3 10 4 得2a a b a b 4 6 4 2b a b a b 2 14 12 即a 2 3 2 b 1 7 6 所以3a 2b 8 23 6 法二 设3a 2b m a b n a b m n a m n b则m n 3 m n 2 m 1 2 n 5 2 所以3a 2b 1 2 a b 5 2 a b 8 23 6 2 3 1 2 4 1 4 8 2 10 1 8 12 3 9 变式训练 提高能力 变1 已知空间四点A 2 3 1 B 2 5 3 C 10 0 10 D 8 4 9 求证四边形ABCD是梯形 变式训练 提高能力 变2 已知空间四点A 2 3 1 B 2 5 3 C 10 n 10 D 8 4 m 又四边形ABCD是梯形 且AB CD 求实数m n的值 例3 已知向量a 2 2 0 b 2 0 2 求向量n使n a 且n b 已知A 1 0 1 B 4 4 6 C 2 2 3 D 10 14 17 且AD xAB yAC 则x y 空间向量的坐标运算 5 坐标形式下平行与垂直问题 已知a 1 5 1 b 2 3 5 1 若 ka b a 3b 求k 2 若 ka b a 3b 求k 1 3 106 3 坐标形式下平行与垂直问题 已知a 1 5 1 b 2 3 5 1 若 ka b a 3b 求k 2 若 ka b a 3b 求k 1 3 106 3 回顾反思总结提炼
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