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2 4 1抛物线及其标准方程 生活中存在着各种形式的抛物线 抛物线的生活实例 那么 什么样的曲线是抛物线 它具有怎样的几何特征 它的方程是什么 这就是我们今天要研究的内容 1 掌握抛物线的定义及标准方程 2 能求简单抛物线的方程 什么样的曲线是抛物线 怎么画出一条抛物线呢 探究1抛物线的定义 同学们请看下面的演示过程 一条经过点F且垂直于l的直线 抛物线的定义 在平面内 与一个定点F和一条定直线l l不经过点F 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 MF d 焦点 d 准线 点F叫做抛物线的焦点 直线l叫做抛物线的准线 想一想 定义中当直线l经过定点F 则点M的轨迹是什么 以过点F且垂直于直线l的直线为x轴 垂足为K 以FK的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy K O F M l x y 设M x y 是抛物线上任意一点 H 点M到l的距离为d d 由抛物线的定义 抛物线就是点的集合 探究2抛物线的标准方程 p 0 两边平方 整理得 K O F M l x y H d 其中p为正常数 它的几何意义是 焦点到准线的距离 方程y2 2px p 0 表示焦点在x轴正半轴上的抛物线 若抛物线的开口分别朝左 朝上 朝下 你能根据上述办法求出它的标准方程吗 抛物线的标准方程还有哪些不同形式 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图形 四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的正半轴上 x轴的负半轴上 y轴的正半轴上 y轴的负半轴上 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 F 1 若一次项的变量为X 或Y 则焦点就在X轴 或Y轴 上 如何判断抛物线的焦点位置 开口方向 2 一次项的系数的正负决定了开口方向 即 焦点与一次项变量有关 正负决定开口方向 提升总结 例 1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的焦点是F 0 2 求它的标准方程 解 1 因为 故抛物线的焦点坐标为 准线方程为 2 因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上 且故所求抛物线的标准方程为x2 8y 1 根据下列条件写出抛物线的标准方程 1 焦点是 0 3 2 准线是 2 求下列抛物线的焦点坐标与准线方程 1 y 8x2 2 x2 8y 0 提升总结 1 用待定系数法求抛物线标准方程 应先确定抛物线的形式 再求p值 2 求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程 巩固练习 平面内与一个定点F的距离和一条定直线l l不经过点F 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 一个定义 两类问题 三项注意 四种形式 1 求抛物线标准方程 2 已知方程求焦点坐标和准线方程 1 定义的前提条件 直线l不经过点F 2 p的几何意义 焦点到准线的距离 3 标准方程表示的是顶点在原点 对称轴为坐标轴的抛物线 抛物线的标准方程有四种 y2 2px p 0
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